（江苏专用）高考数学二轮复习 附加题满分练2 理-人教版高三数学试题

附加题满分练21.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点.求证：直线PC经过点E.证明连结AE，EB，OE，则∠AOE＝∠BOE＝90°.因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，所以∠APE＝eq\f(1,2)∠AOE＝45°.同理可得∠BPE＝45°，所以PE是∠APB的平分线.又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合.所以直线PC经过点E.2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2)).设变换T1,T2对应的矩阵分别为M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))，N＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,01))，求对△ABC依次实施变换T1,T2后所得图形的面积.解依题意，依次实施变换T1,T2所对应的矩阵NM＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,01))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,02))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,02)).则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,02))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,02))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6,0))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,02))

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,2))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,4)).∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，2))分别变为点A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，B′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，0))，C′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，4)).∴所得图形的面积为eq\f(1,2)×6×4＝12.3.已知两个动点P，Q分别在两条直线l1：y＝x和l2：y＝－x上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(OQ,\s\up6(→))，求动点M的轨迹的普通方程.解设M(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinθ＋cosθ，,y＝sinθ－cosθ，))两式平方相加得x2＋y2＝2.又x＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))，y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，θ∈[0，π]，所以x∈[－1，eq\r(2)]，y∈[－1，eq\r(2)].所以动点M轨迹的普通方程为x2＋y2＝2(x，y∈[－1，eq\r(2)]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a>0，b>0，证明：(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.证明因为a>0，b>0，所以a2＋b2＋ab≥3eq\r(3,a2·b2·ab)＝3ab>0，ab2＋a2b＋1≥3eq\r(3,ab2·a2b·1)＝3ab>0，所以(a2＋b2＋ab)(ab2＋a2b＋1)≥9a2b2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为eq\f(2,5)，乙每次投篮命中的概率为eq\f(2,3)，且各次投篮互不影响.现由甲先投.(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的概率分布与数学期望.解(1)设甲第i次投中获胜的事件为A1(i＝1,2,3)，则A1，A2，A3彼此互斥.甲获胜的事件为A1＋A2＋A3.P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(3,5)×eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,25)，P(A3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\f(2,5)＝eq\f(2,125).所以P(A1＋A2＋A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(2,5)＋eq\f(2,25)＋eq\f(2,125)＝eq\f(62,125).(2)X的所有可能取值为1,2,3.则P(X＝1)＝eq\f(2,5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,5)，P(X＝2)＝eq\f(2,25)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,25)，P(X＝3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×1＝eq\f(1,25).即X的概率分布为X123Peq\f(4,5)eq\f(4,25)eq\f(1,25)所以数学期望E(X)＝1×eq\f(4,5)＋2×eq\f(4,25)＋3×eq\f(1,25)＝eq\f(31,25).6.设n个正数a1，a2，…，an满足a1≤a2≤…≤an(n∈N*且n≥3).(1)当n＝3时，证明：eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a3a1,a2)≥a1＋a2＋a3；(2)当n＝4时，不等式eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a4)＋eq\f(a3a4,a1)＋eq\f(a4a1,a2)≥a1＋a2＋a3＋a4也成立，请你将其推广到n(n∈N*且n≥3)个正数a1，a2，…，an的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.证明(1)因为an(n∈N*且n≥3)均为正实数，左—右＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1a3,a2)＋\f(a1a2,a3)－2a1))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2a3,a1)＋\f(a1a2,a3)－2a2))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2a3,a1)＋\f(a1a3,a2)－2a3))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(a1a3,a2)×\f(a1a2,a3))－2a1))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(a2a3,a1)×\f(a1a2,a3))－2a2))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(a2a3,a1)×\f(a1a3,a2))－2a3))＝0，所以原不等式eq\f(a2a3,a1)＋eq\f(a1a3,a2)＋eq\f(a1a2,a3)≥a1＋a2＋a3成立.(2)归纳的不等式为：eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a4)＋…＋eq\f(an－2an－1,an)＋eq\f(an－1an,a1)＋eq\f(ana1,a2)≥a1＋a2＋…＋an(n∈N*且n≥3).记Fn＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a4)＋…＋eq\f(an－2an－1,an)＋eq\f(an－1an,a1)＋eq\f(ana1,a2)－(a1＋a2＋…＋an)，当n＝3(n∈N*)时，由(1)知，不等式成立；假设当n＝k(k∈N*且k≥3)时，不等式成立，即Fk＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a4)＋…＋eq\f(ak－2ak－1,ak)＋eq\f(ak－1ak,a1)＋eq\f(aka1,a2)－(a1＋a2＋…＋ak)≥0.则当n＝k＋1时，Fk＋1＝eq\f(a1a2,a3)＋eq\f(a2a3,a4)＋…＋eq\f(ak－2ak－1,ak)＋eq\f(ak－1ak,ak＋1)＋eq\f(akak＋1,a1)＋eq\f(ak＋1a1,a2)－(a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1)＝Fk＋eq\f(ak－1ak,ak＋1)＋eq\f(akak＋1,a1)＋eq\f(ak＋1a1,a2)－eq\f(ak－1ak,a1)－eq\f(aka1,a2)－ak＋1＝Fk＋ak－1akeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ak＋1)－\f(1,a1)))＋ak＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ak,a1)－1))＋eq\f(a1,a2)(ak＋1－ak)≥0＋aeq\o\al(2,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ak＋1)－\f(1,a1)))＋ak＋1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c