中考数学第4-5题（方程、概率统计）（解析版）

押中考数学第4-5题(方程、概率统计)

专题诠释：方程和概率统计为历年中考选择题的高频考点，虽然知识点难度不大，

但是错误率较高，做对需要细心和耐心，要对知识点有精准的掌握，区分不

同的定义，掌握不同题型对应的算法，保证全对！

目录

知识点一：方程................................................................................1

模块一K真题回顾』.........................................................................1

解方程.......................................................................................1

分式方程特殊解..............................................................................3

一元二次方程综合............................................................................6

方程的实际应用..............................................................................8

模块二K押题冲关力.......................................................................11

模块三K考前预测』.......................................................................15

知识点二：统计概率...........................................................................21

模块一K真题回顾』.......................................................................21

模块二K押题冲关』.......................................................................26

模块三K考前预测』.......................................................................31

知识点一：方程

模块一K4t-ft-WΛ∑

斛方程

1.(2022・贵州黔西•统考中考真题)小明解方程等-1=辞的步骤如下：

解：方程两边同乘6,得3(x+1)-1=2(x-2)①

去括号，得3尤+3-l=2x-2(2)

移项，得3%一2Λ：=—2-3+l③

合并同类项，得X=-4④

以上解题步骤中，开始出错的一步是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案.

【详解】解：方程两边同乘6,得3（x+1）-6=2（x-2）①

回开始出错的一步是①，

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是

解决问题的关键.

2.（2022•湖南株洲•统考中考真题）对于二元一次方程组（y=X-1®,将①式代入②式，

消去y可以得到（）

A.%÷2x—1=7B.%+2x-2=7

C.x+x-1=7D.%+2x÷2=7

【答案】B

【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果.

【详解】解：将①式代入②式得，

X+2（x-1）=X+2x—2=7,

故选B.

【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键.

3.（2020・四川凉山•统考中考真题）一元二次方程X2=2x的根是（）

=石=

A.X=0B.X=2C.X1=0,%2-2D.0,X2=2

【答案】D

【分析】首先移项，将方程右边2x移到左边，再提取公因式X,可得x（x-2）=0,再根据"两

式相乘值为0,这两式中至少有一式值为0",即可求得方程的解.

【详解】解：X2=2x,

移项得：χ2-2x=0,

因式分解得：x（x-2）=0,

0x—0或X—2=0,

解得：故正确.

x1=0,X2=2,D

故选：D.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键在于要根据方程的特点灵活选用合

适的方法，本题运用的是因式分解法.

4.（2022•辽宁营口•统考中考真题）分式方程三==-的解是（）

XX-Z

A.X=2B.%=-6C.X=6D.X=-2

【答案】C

【分析】先去分母，去括号，移项，合并同类项得出答案，最后检验即可.

【详解】解：三=三，

Xx-2

去分母，得3（x-2）=2x,

去括号，得3x-6=2x,

移项，得3x-2x=6,

所以X=6.

经检验，X=6是原方程的解.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键.

5.（2022•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）方程三=三的解为（）

x-3X

A.%=3B.X=-9C.%=9D.%=-3

【答案】C

【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得

到分式方程的解.

【详解】解：W=三

x-3X

去分母得：2x=3（x-3）,

去括号得：2x=3x-9,

移项、合并同类项得：-x=-9,

解得：×=9,

经检验：x=9是原分式方程的解，

故选：C.

【点睛】本题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解题的关键是解分式方程注意要检验，

避免出现增根.

6.（2022・四川德阳•统考中考真题）如果关于X的方程W=I的解是正数，那么小的取值

X-I

范围是（）

A.m>—1B.m>—1且m≠0

C.m<—1D.m<—1且nɪ≠—2

【答案】D

【分析】根据—=1得出X=-m-l,为正数，即-m-l>0,从而得出m的取值范围.再

X-I

根据x-l≠O,推出m≠-2.

【详解】解：≡=1

2x÷m=X—1

解得：X=-m-1

方程与P=I的解是正数,

X-I

：,X=-m—1>O

・•・m<-1

VX-1≠O即X≠1

-m—1≠1

・•・m≠—2

ʌm<—1且m≠—2

故选：D

【点睛】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键.

7.(2022•黑龙江牡丹江,统考中考真题)若关于X的方程安=3无解，则机的值为()

X-I

A.1B.1或3C.1或2D.2或3

【答案】B

【分析】先将分式方程化成整式方程(m-3)x=-2,再分①整式方程(m-3)x=-2无解，

②关于X的方程嘿=3有增根两种情况，分别求解即可得.

【详解】解：将方程嘿=3化成整式方程为mx-l=3x-3,即(m-3)x=-2,

因为关于X的方程岑=3无解，

X-I

所以分以下两种情况：

①整式方程(m-3)x=-2无解，

则m—3=0,解得m=3：

②关于X的方程嘿=3有增根，

则X—1=0,即X=1,

将X=1代入(m-3)x=-2得：m-3=-2,解得m=1；

综上，m的值为1或3,

故选：B.

【点睛】本题考查了分式方程无解，正确分两种情况讨论是解题关键.

8.(2021•四川巴中・统考中考真题)关于X的分式方程岁-3=0有解，则实数相应满足的

2-X

条件是()

A.In=-2B.m≠-2C.m=2D.m≠2

【答案】B

【分析】解分式方程得:m+x=6-3x即4x=m-6,由题意可知X≠2,即可得到6-m≠8.

【详解】解：尸-3=0

2-X

方程两边同时乘以2-X得：m+x-6+3x=0,

04x=m—6,

团分式方程有解,

02—X≠0,

团X≠2,

06—m≠8,

0m≠—2,

故选B.

【点睛】本题主要考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程有意义的

条件是解题的关键.

9.(2021・四川宜宾♦统考中考真题)若关于X的分式方程-¾-3=T有增根，则根的值是

x-2x-2

()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】C

【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解.

【详解】解：ɪ-ɜɪɪ,

x-2X-2

去分母得：X-3(x-2)=m,

团关于X的分式方程卷-3=义有增根，增根为：×=2,

X-2x-2

02—3(2—2)=m,即:m=2,

故选C.

【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的

关键.

10.(2022・重庆•统考中考真题)关于X的分式方程詈+言=1的解为正数，且关于y的

(y+9≤2(y+2)

不等式组2y-α的解集为y≥5,则所有满足条件的整数a的值之和是()

(3

A.13B.15C.18D.20

【答案】A

【分析】先通过分式方程求出a的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a的另一个取

值范围，两个范围结合起来就得到a的有限个整数解.

【详解】由分式方程的解为整数可得：3x-a-x-l=x-3

解得：X=a-2

又题意得：a-2>0且a—2≠3

团a>2且a≠5,

由y+9≤2(y+2)得：y≥5

由第>1得：y>等

El解集为y≥5

a<5

2

解得：a<7

综上可知a的整数解有：3,4,6

它们的和为：13

故选：A.

【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题

关键.

一无二次方程候会

11.(2022∙四川攀枝花•统考中考真题)若关于X的方程/-X一爪=O有实数根，则实数相

的取值的范围是()

A.zπ<-B.zu≤—C.zu≥—D.πι≥—

4444

【答案】C

【分析】根据一元二次方程有实数根Q△≥0,列不等式求解即可.

【详解】解析：••・关于X的方程χ2-X-m=。有实数根，

.∙.Δ=(-1)2-4(-m)=1+4m≥0,

解得m≥-J

故选C.

【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之

间的关系是解答此题的关键.

12.(2022•内蒙古•中考真题)对于实数0,%定义运算"软'为α⑤b=加一时，例如302=

22-3X2=-2,则关于X的方程(k-3)0X=/c-1的根的情况,下列说法正确的是()

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.无法确定

【答案】A

【分析】先根据新定义得到关于X的方程为χ2-(k-3)x+1-k=0,再利用一元二次方程

根的判别式求解即可.

【详解】解：0(k-3)<8>x=k-l,

0x2—(k—3)x=k—1,

0x2-(k-3)x+l-k=O,

0Δ=b2—4ac=(k-3)2—4(1—k)=k2—6k+9—4+4k=(k—l)2+4>0,

回方程χ2-(k—3)x+1—k=。有两个不相等的实数根，

故选A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于X

的方程为χ2-（k-3）x+1-k=O是解题的关键.

13.（2022•西藏•统考中考真题）已知关于X的一元二次方程（W-I）f+2χ-3=0有实数根，

则，”的取值范围是（）

2222

A.m≥-B.m<-C.，〃>-且7〃#1D.m2-且mH1

3333

【答案】D

【分析】方程为一元二次方程，二次项系数不能为0,方程有实根，0≥O,综合以上两方面

进行计算即可.

【详解】解回关于X的一元二次方程（m-l）x2+2χ-3=0有实数根，

2

r5∣f∆=2—4（m—1）×（—3）≥0

（m—1≠0

解得：m≥∣且m≠l∙

故选D.

【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围.注意不要忽略一元二次方

程的系数不为。这一条件.

14.（2022•内蒙古呼和浩特•统考中考真题）已知修,犯是方程/-x-2022=0的两个实数

根，则代数式婢-2022x1+好的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.1

【答案】A

【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解.

【详解】解：解：0x1,X2是方程x2—x—2022=0的两个实数根，

2

0x1—2022=x1>x1x2=-2022,x1+x2=1

22222

Xi—2022x1+xf=x1（x1—2022）+xz=x1+x2=（x1+X2）—2x1x2=1-2×

（-2022）=4045

故选A

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次

方程根与系数的关系是解题的关键.

15.（2022•贵州安顺•统考中考真题）定义新运算α*b,对于任意实数a,b满足α*b=

（α+b）（α-h）-l,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如4*3=（4+3）（4-

3）-1=7-1=6,若x*k=x（k为实数）是关于X的方程，则它的根的情况是（）

A.有一个实根B.有两个不相等的实数根C.有两个相等的实数

根D.没有实数根

【答案】B

【分析】将X*k按照题中的新运算方法展开，可得X*k=(x+k)(x-k)-1,所以x*k=x

可得(X+k)(x—k)—1=X,化简得：X2-X—k2—1=O,Δ=(―I)2—4×1•(―k2—1)=

4k2+5,可得A>0,即可得出答案.

【详解】解：根据新运算法则可得：X*k=(x+k)(x-k)-1=X2-k2-1,

则X*k=X即为χ2-k2-1=X,

整理得：x2-x-k2-l=0,

则a=1,b=—1,c=-k2—1,

可得：A=(-1)2-4×1∙(-k2-1)=4k2+5

∙.∙kz≥0,

：.4k2+5>5；

.∙.Δ>0»

二方程有两个不相等的实数根；

故答案选：B.

【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的

计算方法，不能出错；在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注

意各项系数的符号.

方程的实舔念用

16.(2022•湖北十堰•统考中考真题)我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒

一斗直粟十斗，酷酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、酷酒各几何？”意思是：

现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醋酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，

问清、惜酒各几斗，设清洒有X斗，那么可列方程为()

A.IOx+3(5—x)=30B.3x+10(5—x)=30

X,30-X_-X,30-X

rC.-----5InD.-H-----5c

103310

【答案】A

【分析】设清洒有X斗，则酷酒有(5-X)斗，然后根据一共有30斗谷子列出方程即可.

【详解】解：设清洒有X斗，

由题意得，IOx+3(5—x)=30,

故选A.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键.

17.(2022∙内蒙古通辽•统考中考真题)《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中

国传统数学的基本框架.其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题："今有共买物，人

出八，赢三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？"译文："今有人合伙购物，每人出8

钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱,问人数、物价各多少？〃设人数为X人，物价为

y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是()

数

今

物

有

价

共

各

买

几

物

何

人

出

八

赢

;

人

出

七

不

足

四

问

人

(8x+3=y(8x—3=y(8x+3=y(8x—3=y

,(7x-4=y，(7x+4=y,(7x÷4=y(7%—4=y

【答案】B

【分析】设人数为X人，物价为y钱，根据每人出8钱，会多出3钱可得方程8x-3=y,

根据每人出7钱，又差4钱可得方程7x+4=y,据此列出方程组即可.

【详解】解：设人数为X人，物价为y钱，

由题意得，伊二：=y,

(7x+4=y

故选B.

【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系

是解题的关键.

18.(2022∙宁夏•中考真题)受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势.某地92号

汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的

增长率为X,根据题意列出方程，正确的是()

A.6.2(1+x)2=8.9B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+X2)=8.9D.6.2(1+x)+6.2(1+x)z=8.9

【答案】A

【分析】设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为X,根据三月底和五月底92号

汽油价格，得出关于X的一元二次方程即可.

【详解】解：依题意，得6.2(l+x)2=8.9.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程解决实际问题的知识，找准数量关系，正确列出一元

二次方程式解题关键.

19∙(2022∙山东淄博•统考中考真题)为扎实推进“五育"并举工作，加强劳动教育，某校投入

2万元购进了一批劳动工具.开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购

一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费

用降低了15%.设第二次采购单价为尤元，则下列方程中正确的是()

A20000_20000x(1-15%)

*XX-IO

20000__20000×(l-15%)

D.---------=---------------------------

X-IOX

C20000_20000x(1-15%)

•XX+10

20000_20000x(1-15%)

U∙——

χ+10X

【答案】D

【分析】设第二次采购单价为X元，则第一次采购单价为(x+10)元，根据单价=总价÷数量,

结合总费用降低了15%,采购数量与第一次相同，即可得出关于X的分式方程.

【详解】解：设第二次采购单价为X元，则第一次采购单价为(x+10)元，

依题意得：逊=2。。。。X(I-15%),

X+10X

故选：D.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是

解决问题的关键.

20.(2022•山东潍坊•中考真题)观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比

2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%(计算方法：—×100%≈6.6%).2022年3

月当月增速为-14.0%,设2021年3月原油进口量为X万吨，下列算法正确的是()

原油进口月度走势

4月1-2月

匚口当月进口量(万吨)-当月增速(%)

A.^V∙-4^77X1loo%=-14.0%B.ɪ4.2ɪ71-—ɪr×100%=-14.0%

42714271

C.三r—4卫271iX100%=—14.0%D.4丝271上TXlOO%=-14.0%

【答案】D

【分析】根据题意列式即可.

【详解】解：设2021年3月原油进口量为X万吨,

则2022年3月原油进口量比2021年3月增加（4271-x）万吨,

依题意得：丝乃X100%=-14.0%,

故选：D.

【点睛】本题考查了列分式方程，关键是找出题目蕴含的数量关系.

馍块二R押獗片某D

1.（2022•陕西•统考模拟预测）若方程3%-12=0的解，是一个一次函数的函数值为5时,

对应的自变量的值，则这个一次函数可以是（）

A.y=3久—7B.y=-3%+12C.y=3x—12D.y=—3%+7

【答案】A

【分析】由3x-12=0得X=4,再分别求出各选项在X=4时的函数值，即可得到答案.

【详解】由3x-12=0得X=4,

当X=4时,

y=3x—7=3x4-7=5,故A符合题；

y=-3x+12=—3×4+12=0,故B不符合题意；

y=3x-12=3×4-13=3×4-12=0,故C不符合题意；

y=-3x+7=-3x4+7=-5,故D不符合题意；

故选:A.

【点睛】本题考查一次函数的表达式，根据题意得出X=4是解题的关键.

2.（2022・贵州遵义•统考一模）将4个全等的小长方形按如图所示的方式摆放拼成一个大长

方形4BCD,且AB=12cm.设小长方形的宽为XCm,长为ycm,依题意列二元一次方程组

正确的是（）

∕∣--------------IC

X+y=12X-y=12X+y=12

.y=3x.y=3x.X=3y

【答案】A

【分析】根据图可得等量关系：①1个长+1个宽=12cm,②3个宽=1个长，根据等量关系

可得方程组.

【详解】解回根据题意，得Ftf二J2.

故选ElA.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题

目中的等量关系.

3.(2022・广东汕头•统考二模)一元二次方程/一(α-2)x+α-I=O(α为实数)的实数

根的情况是()

A.有两个不同实数根B.有两个相同实数根

C.没有实数根D.不能确定

【答案】D

【详解】先计算出A=I-(a—2)产—4xlX(a—1)的值，判断出△的符号，进而可得出结

论.

【解答】解：0Δ=[-(a-2)产-4×1×(a-1)=a2-8a+8=(a-4)2-8,

El方程根的情况不能确定.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程ax?+bx+c=0(a声0)的根的判别式A=b2-4ac,正确

记忆当A>0,方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实数根；当A<0,

方程没有实数根是解题关键.

4.(2022・湖南娄底•校考模拟预测)一个等腰的底边为4,腰是方程/一5x+6=0的一个

根.则这个等腰三角形的周长可能是()

A.8B.10C.8或10D.9

【答案】B

【分析】求出方程的解，得出三角形的三边长，即可得出答案.

【详解】Hx2-5x+6=0,

0(x-2)(x-3)=0,

ElX-2=0或X-3=0,

0x1—2或X2—3,

当三边是2,2,4时，

02+2=4,

回此时不符合三角形三边关系定理，舍去：

当三边是3,3,4时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是3+3+4=10.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，解一元二次方程的应用，

解题的关键是能求出方程的解.

5.(2022•河北邢台・二模)解分式方程-J+二T=卷分以下四步,其中错误的一步是()

x+1x-1Xz-I

A.方程两边分式的最简公分母是(X-I)(X+1)

B.方程两边都乘以(X-I)(X+1),得整式方程2(x-1)+3(尤+1)=6

C.解这个整式方程，得X=I

D.原方程的解为X=1

【答案】D

【分析】分式方程两边乘以最简公分母，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检

验即可得到分式方程的解.

【详解】解：分式方程的最简公分母为(x-l)(x+l),

方程两边乘以(X-l)(x+1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6,

解得：X=L

经检验x=l是增根，分式方程无解.

故选：D.

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是"转化思想"，把分式方程转化为

整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

6.(2022・重庆铜梁•铜梁中学校校考模拟预测)关于X的方程三=F的解为正整数，且关于X

XZ-X

f5x-34

的不等式组丁+3恰有4个整数解，则满足条件的所有整数α值之和为()

I4x≥a

A.-1B.0C.3D.4

【答案】D

【分析】表示出分式方程的解，由分式方程的解为正整数确定出a的值，表示出不等式组的

解集，由不等式组恰好有7个整数解，得到a的值相加即可.

【详解】解：分式方程去分母得：6-3x=ax-x,

解得：X=三,

a+N

由分式方程解为正整数，且XH2,x≠0得到

a+2≠3,

ʌa+2=1,2,6,

解得：a=-1,0,4,

fx<5

不等式组整理得：∣χ>a,

解得：^≤x<5,

由不等式组有解且恰有4个整数解，得到整数解为4,3,2,1,

0<-<1,

4

ʌ0<a≤4,

则满足题意a的值只能为4,

故选：D.

【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法

是解本题的关键.

7.（2022•广东深圳•深圳市华胜实验学校校考一模）若X=3是关于X的一元二次方程好一

mx-3=。的一个解，则方程的另一个解是（）

A.2B.-1C.0D.-2

【答案】B

【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得x”2=-3,然后将X=3代入求解.

【详解】设方程χ2-mx-3=0的两个根为X］、X2

由一元二次方程根与系数的关系可得XιX2=-3,

0X1=3为方程的解，

03X2=-3,

解得X2=-1.

团方程的另一个解是X=-1.

故选：B.

【点睛】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，解题关键是利用一元二次方程的根与

系数的关系求解.

8.（2022•广东东莞・校考一模）关于X的一元二次方程（1-a）x2+2x-1=。有两个实数根，

则实数”的取值范围是（）

A.α≥2B.ɑ≤2且α≠1C.α>2D.ɑ<2且α≠1

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义可得1-a力0,再根据一元二次方程根的判别式，即可

进行解答.

【详解】解：回该方程为一元二次方程，

01-a≠O,解得a≠l,

回该方程有两个实数根，

0Δ=b2-4ac=4+4（1-a）≥0,解得：a≤2,

综上：实数a的取值范围是a≤2且awl.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方

程的二次项系数不能为0,当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0

时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根.

9.（2022•安徽合肥•校考二模）方程/=4X的解是（）

A.%=+√2B∙ɪɪ=2,%2=-2

C.ɪɪ=%2=4D.ɪɪ—O,%2=4

【答案】D

【分析】利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答.

【详解】解：X2=4x

X2-4x=0

X(X-4)=0

X=0或X-4=0

xɪ=0,X2=4

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程-因式分解法

是解题的关键.

(%+y=1

10.(2022∙Γ东江口•校考一模)方程组，％+y司-y_1的解为()

I23-2

A(X=IC(X=3

Iy=-2n'I(yX==_21_'I(xy==-2lIy=-2

【答案】B

【分析】根据加减消元法求解即可.

X+y=l(ɪ)

【详解】解：∣x+yx-y_Zjx，

.23-2

由②得：x+5y=-3③，

由①一③得：-4y=4,

解得：y=-l∙

将y=-l代入①得：x+(-1)=1,

解得：X=2.

故原方程组的解为:.

故选B.

【点睛】本题考查解二元一次方程组.掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键.

演块三［［考鼎笈涮H

1.(2022•黑龙江绥化•校考模拟预测)如图，2022年疫情期间，黑龙江省齐齐哈尔市捐赠

150吨马铃薯驰援武汉，这些蔬菜将分别捐赠给武汉市红十字会医院、武汉市东西湖区人民

医院和方舱医院等20余家医院.在运输过程中，其中甲、乙两车在同一地点出发且相约在

距出发地36Okm的A地汇合.两车在一条笔直的路上匀速行驶，甲车先出发，乙车后出发，

乙车超过甲车后出现故障，停车检修，当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以原

来的速度继续行驶.如图是甲、乙两车行驶的路程y(单位：km)与甲车行驶时间X(单位：

h)的函数图象.直接写出乙车出发多少小时，两车相距40km()

【答案】C

【分析】根据函数图象知甲车没有停留，6小时行驶360km,由此求出速度；利用甲车的速

度和时间求出a,利用5到5.6小时段的路程和时间求出乙车的速度；再由图象，分两种情

况：在乙车出故障前，在乙车出故障后，根据题意列方程解答.

【详解】解：甲车的速度为360÷60=6(km∕h)

.∙.a=5×60=300(km∕h)

•••乙车的速度为(360-300)÷(5.6-5)=100(km∕h)

甲车先出发的时间为60÷60=Ih

∙∙∙B(l,0)

在乙车出故障前,由题意得∣60X-100(x-1)|=40,

解得：X=I或X=I

在乙车出故障后，由题意得60x+40=300或IloO(X-5)-60(x-5)∣=40

解得：X=弓或X=6(不合题意，舍去)

1310

・'・------1=—

33

综上，乙车出发三h或三h或Uh时，两车相距40km.

223

故选：C.

【点睛】此题考查一元一次方程的应用(行程问题).根据图像理解题意，利用速度、时间、

路程的关系解决实际问题是接着提的方法.理解图象中各拐点的意义是解题的关键.

2.(2022•湖南湘潭•校考模拟预测)明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题(如

图)，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还

差八两.请问：所分的银子共有()两.(注：明代时1斤=16两，故有"半斤八两”这个

成语)

隔墙听得客分银，

不知人数不知银。

七两分之多四两，

九两分之少半斤。

《算法统宗》

A.45B.46C.47D.48

【答案】B

【分析】设有X人，根据等量关系"每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八

两"列出方程进行求解即可.

【详解】解：设有X人，依题意有

7x+4=9x—8,

解得X=6,

7x+4=42+4=46.

答：所分的银子共有46两.

故选：B.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意,找准等量关系列出方程是解题的关键.

3.（2022•内蒙古赤峰•模拟预测）已知X,），满足方程组则x+y的值为（）

A.15B.18C.20D.22

【答案】A

【分析】两个方程相加，可得5x+5y=75,即可求出x+y的值.

【详解】解：fχ+3y=350,

（3x+2y=40（2）

①+②，得5x+5y=75,

即X+y=15,

故选A.

【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和整体思想.

4.（2022•重庆璧山•统考一模）我国很早就开始对数学的研究，其中不少成果被收入古代数

学著作《九章算术》中，《九章算术》的"方程"一章中，有许多关于一次方程组的内容，这

一章的第一个问题译成现代汉语是这样的："上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得

粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等

谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗.问上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？”如图1

的算筹代表了古代解决这个问题的方法，设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食X斗、

3%+2y+z=39,

y斗、Z斗，则可列方程组为：2x+3y+z=34,类似地，图2所示的算筹我们可以表示为

%+2y+3z=26.

()

上等谷（束）中等谷（束）下等谷（束）♦♦•斗颗•••

扭Hɪ=HHIlIll=III

II扭≡HHIllIlll三下

•♦•♦••图

IM扭一M2

图1

CZx+3y=23,CZx+3y=23,（3x+3y=23,（llx+3y=23,

AB,D

'（3X+4y=37.（3x+4y=32.&14χ+3y=37.'ɪ3x+y=32.

【答案】A

【分析】根据题意可得，在算筹中，第一列代表X的系数，第二列代表y的系数，最后一列为

式子的和，据此求解即可.

【详解】解：根据题意可得，在算筹中，第一列代表X的系数，第二列代表y的系数，最后一

列为式子的和，

则图2所示的算筹我们可以表示为

（3X÷4y=37.

故选：A

【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解算筹中各个符号代表的含义.

5.（2022•广东深圳•北大附中深圳南山分校校考一模）已知。是方程产+3久+2=0的一个

根，则代数式α2+3α的值为（）

A.-2B.2C.-4D.-4或-10

【答案】A

【分析】根据一元二次方程解的的定义，将a代入已知方程，即可求值.

【详解】解：回a是方程*2+3*+2=0的一个根，

团把a代入得：a2+3a+2=0,

a2+3a=-2,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值的应用，用整体思想把a?+3a看成

一个整体是解题的关键.

6.（2022•内蒙古呼伦贝尔・统考模拟预测）若关于X的一元二次方程k/-6x+9=0有实数

根，则k的取值范围是（）

A./c<1B.k≤lC.k<1且k≠0D.k≤1且k≠0

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断.

【详解】解：团一元二次方程1«2-6*+9=0有实数根，

0(-6)2-4×9k≥0,且k≠0,

解得k≤1且k≠0,

故选：D.

【点睛】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根

的判别式是解题的关键.

7.(2022•河北保定・保定十三中校考二模)定义运算：TnEIn=mn2-2mn-1,例如：402=

4×22-2×4×2-l=-l.若关于X的方程α≡)x=0有实数根，则a的取值范围为()

A.—1≤ɑ≤0B.-1≤a<0C.ɑ≥0或a≤—1D.a>0或a≤—1

【答案】D

【分析】根据新定义运算法则列出关于X的方程，根据根的判别式进行判断即可.

【详解】解：由题意可知：a0x=ax2—2ax—1=0,

当a=0时一，原来方程变形为一1=0,方程无解；

当a≠。时，

关于X的方程a!3x=。有实数根，

.∙∙0=4a2+4a=4a(a+1)≥0,

解得a≤-1或a>0.

故选：D.

【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，难度不大.

8.(2022・辽宁锦州・统考二模)《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录了一

道驿站送信的题目，大意为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时

间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍,

求规定时间.设规定时间为X天，则可列出正确的方程为()

„900900900—900C900r900

A.2X——=——≡∙^×≡=≡——=2×——D.—=2×—

x-1x+3x-lx+3χ+lX-3

【答案】B

【分析】根据快马、慢马所需时间及规定时间之间的关系，可得出慢马所需的时间为(x+1)

天，快马所需的时间为(X-3)天，利用速度=路程+时间，结合快马的速度是慢马的2倍，

即可得出关于X的分式方程，此题得解.

【详解】解：:规定时间为X天，

•••慢马所需的时间为(x+1),快马所需时间为(x—3),

又••・快马的速度是慢马的2倍,

C900

・••可列出方程多×2=一

故选：B.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分

式方程是解题的关键.

9.（2022•河北石家庄•校联考三模）小明和小亮在解答"解分式方程：三二=1-匕”的过程

XX

如框，对他们的解答过程（每一步只对上一步负责）有以下判断，判断错误的是（）

小明的解法：解：去分母得：2x+3=l-

小亮的解法：解：去分母得：2x+3=X-

（x-D①