2023版高考数学一轮复习讲义：第八章立体几何初步8-3 空间点、直线、平面之间的位置关系

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

,最新考纲,

1.理解空间直线、平面位置关系的定义.

2.了解可以作为推理依据的公理和定理.

3.掌握空间两条直线的位置关系(相交、平行、异面).

・考向预测•

考情分析：以常见的空间几何体为载体，考查点、直线、平面的位置关系，以及异面直

线所成角、线面角等，与平行关系、垂直关系等相结合考查是高考的热点.

学科素养：通过空间位置关系的判定考查直观想象、逻辑推理的核心素养.

积累必备知识——基础落实赢得良好开端

一、必记3个知识点

1.平面的基本性质

文字语言图形语言符号语言

公理

Aer

如果一条直线上的两

BI

点在一个平面内，那F

公理1>=>LCΣa

么这条直线在此平面

A∈a

内

A,B,C三点不共线

__________的三点，=有且只有一个平面

公理2

有且只有一个平面/a,使B∈ct,

C∈a

如果两个不重合的平

pea

面有一个公共点，那AU

公理3么它们有且只有

______过该点的公共AA7

且

直线σ∩β=/,PGl

2.空间两条直线的位置关系

(1)位置关系分类:

直线：同一平面内，

有且只有一个公共点；

位置共面直线V

直线：同一平面内，

*玄

没有公共点；

异面直线:不同在内.没有公共点

(2)平行公理(公理4)和等角定理：

平行公理：平行于同一条直线的两条直线.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

(3)异面直线所成的角：

①定义：已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a'∕∕a,b'∕∕b,把#与h'

所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

②范围：.

3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系

图形语言符号语言公共点

相交ɪ—1个

直线与平面—a

平行—O个

在平面内)一一无数个

平行—O个

平面与平面

相交—无数个

二、必明3个常用结论

1.公理2的三个推论

论

推

1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.

论

推

：经过两条相交直线有且只有一个平面.

推

论2

3：经过两条平行直线有且只有一个平面.

2.异面直线判定的一个定理

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.

3.唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.

三、必练4类基础题

(一)判断正误

1∙判断下列说法是否正确(请在括号中打“J”或"X”).

(1)如果两个不重合的平面a,β有一条公共直线α,就说平面α,β相交，并记作anB=

«.()

(2)两个平面a,“有一个公共点A,就说a,4相交于过A点的任意一条直线.()

(3)两个平面a,£有一个公共点A,就说a,S相交于A点，并记作anβ=A.()

(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()

(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()

(二)教材改编

2.［必修2∙P43练习Tl改编］下列说法正确的个数为()

①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平

行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则两个

平面重合.

A.OB.1C.2D.3

3」必修2∙P45例2改编］已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的

四边形一定是()

A.空间四边形B.矩形

C,菱形D.正方形

(三)易错易混

4.(异面直线的概念不清)下列关于异面直线的说法正确的是.(填序号)

①若aua,bu#,则a与。是异面直线；

②若a与b异面，人与C异面，则“与C异面；

③若4,人不同在平面α内，则α与〃异面；

④若α,匕不同在任何一个平面内，则。与b异面.

5.(忽视直线在平面内)已知直线α,/?和平面。，若a〃b,且直线匕在平面ɑ内，则直

线a与平面a的位置关系是.

(四)走进高考

6.［2021∙全国乙卷］在正方体A8Cf>-4BIGDl中，P为80∣的中点，则直线尸2与Aa

所成的角为()

A.-B.-C.-D.-

2346

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一平面的基本性质I基础性］

[例1]如图，在正方体A8CO-4B∣GO∣中，E,尸分别为AG,BlG的中点，ACnBD

=P,4C∣nEF=Q.证明：

(I)B,D,F,E四点共面；

(2)若直线4C与平面8。EF的交点为R,则P,Q,R三点共线;

G)DE,BF,CCl三线共点.

听课笔记:

反思感悟共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点线共面问题的两种方法

①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；

②辅助平面法：先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线，确定平面夕，最后证明

平面α,S重合.

(2)证明点共线问题的两种方法

①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；

②直接证明这些点都在一条特定直线上.

(3)证明多线共点问题的步骤

①先证其中两条直线交于一点；

②再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时，依据是第三条直线应为前两条

直线所在平面的交线，即利用公理3证明.

【对点训练】

如图所示，正方体4BCD-4B∣C∣A中，E、尸分别是AB和AAl的中点.求证:

(I)E,C,Di,F四点共面；

(2)CE,DιF,QA三线共点.

考点二空间两直线的位置关系［综合性］

［例2］(1)若小6是异面直线，b,C是异面直线，贝11()

A.a//c

B.a,C是异面直线

C.a,c相交

D.a,C平行或相交或异面

(2)［2019•全国卷HI］如图，点N为正方形ABCf)的中心，∕∖ECD为正三角形，平面ECDL

平面4BCQ,M是线段EQ的中点，则()

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线

听课笔记:

反思感悟

【对点训练】

1.若平面α和直线小6满足“∏α=4,bua,则。与b的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.相交或异面

2.在图中，G,N,M,H分别是正三棱柱（两底面为正三角形的直棱柱）的顶点或所在

棱的中点，则表示直线GH,MN是异面直线的图形有.（填上所有正确答案的序号）

［例3］（l）［2022∙广西南宁三中高三模拟］在正方体ABCD-AiBGa中，O是底面ABCZ）

的中心，E为CG的中点，那么异面直线OE与Ad所成角的余弦值等于（）

（2）四面体AgCZ）中，E,F分别是AB,Cf）的中点，若BD,Ae所成的角为60。，且BO

=AC=I,则EF的长为.

听课笔记：

反思感悟用几何法求异面直线所成角的具体步骤:

【对点训练】

1.直三棱柱48C-AIBlel中，若NBAC=90°,AB=AC=AA∖,则异面直线BAJ与ACl

所成的角等于（）

A.30oB.45°

C.60oD.90°

2.[2022∙黑龙江哈尔滨市哈师大附中高三月考]三棱锥P-ABC所有棱长都为2,E,尸分

别为尸C,AB的中点，则异面直线8E,PF所成角的余弦值为（）

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

积累必备知识

1.过不在一条直线上一条

2.（1）相交平行任何一个平面（2）平行相等或互补（3）锐角（或直角）（0,ɪ]

3.anα=Aa∕∕aa⊂aa//βa∩β=Z

^.、

1.答案：（I）J（2）×（3）×（4）X

（5）√

2.解析：②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个

平面可能相交，①③正确.

答案：C

3.解析：如图所示，易证四边形EFGH为平行四边形.

,：E,F分别为AB,BC的中点，

.,.EF//AC.

又FG//BD,

.∙.NEFG或其补角为AC与BQ所成的角.

而4C与BO所成的角为90°,

.∙.NEFG=90。,故四边形EFGH为矩形.

答案：B

4.解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确.

答案：④

5.

解析：如图，直线〃，Z?和平面仪,若。〃力，且直线b在平面口内，则。与a的位置关

系是a//a或〃u0.

答案：a//a或αuα

6.解析：

方法一如图，连接GP,因为A3CQ-4B∣GO］是正方体，且P为BOl的中点，所

以C∣P±BιD1,又GP∙LB5∣,所以GP_L平面B】BP.又BPU平面B1BP9所以有C∖PLBP.

连接BG,则AoI〃BG,所以NPBG为直线PB与A。1所成的角.设正方体ABCQ-A∣SGDl

的棱长为2,则在直角三角形CIPB中，CIP=WBIDl=笆,BCl=2√Σ,sin/PBCj=岩=；,

所以NPBG=三

6

方法二以©为坐标原点，B1Ci,34,8山所在的直线分别为X轴、y轴、Z轴建立

空间直角坐标系,设正方体ABa)-A出GDl的棱长为2,则2(0,0,2),P(l,1,0),D1(2,

2,0),A(0,2,2),PB=(-1,-1,2),AD1=(2,0,-2).设直线PB与A0所成的角

为仇则8s6=∣裔瑞卜悬r4因为昨(。,1所以T

答案：D

提升关键能力

考点一

例1证明：(1)连接5。|(图略)

•：EF是ADIBICI的中位线，

：.EF/∕BiDl,

在正方体ABCZ)—AIBlGJDl中，B∖D∖∕∕BD,C.EF//BD.

：.EF,8。确定一个平面，即。，B,F,E四点共面.

(2)在正方体ABCZ)-A∣8∣CIDl中，设平面AlACG为α,平面BDEF为£.

∙.,2∈AιC∣,.∙.Q∈α.

又。∈EF,.∙.ρ∈β,

则。是α与4的公共点，同理，P是α与”的公共点，

Λct∩β=PQ.

又AenB=凡.∙.R∈AC,

ΛΛ∈ct,且R∈∕,

则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.

ay：EF//BD,且EF≠BD,

.∙.CE与BF一定相交，设交点为M.

：8尸U平面BCGS,OEU平面OCelo1,平面BCClBm平面OCGOl=CC∣,

.".MeCC1.

.'.DE,BF,CG三线共点.

对点训练

证明：（1）如图所示，连接Cr>∣,EF,A∣B,

•；E、F分别是AB和AA的中点，

.".FE∕∕A↑B且EF=^A↑B.

∙.∙AιO四边形AIBCd是平行四边形,

AEB

J.A∖B∕∕D∖C,.∖FE∕∕DiC,

.∙.EF与CZ）I可确定一个平面，即E,C,Dl,F四点共面.

证明：（2）由⑴知EF〃CQi,且EF=TCD1，

二四边形CdFE是梯形，

直线CE与。/必相交，设交点为尸，

则PeCEU平面ABCD,

且PGOlFU平面A↑ADD↑,

.∙.P∈平面ABCD且P∈平面A∣AOQ∣,

又平面ABCD。平面AiADDi=AD,

ΛP∈AD,：.CE,DιF,D4三线共点.

考点二

例2解析：（1）若”,6是异面直线，b,C是异面直线，那么α,C可以平行，可以相

交，可以异面.

（2）

取CC的中点0,连接OMEO,因为AECD为正三角形，所以EOlCD,又平面ECDl

平面ABCD,平面ECDrl平面ABCD=CD,所以EO_L平面ABCD设正方形ABCD的边长

为2,则E0=√5,ON=I,所以EN2=EO?+ON2=4,得EN=2.过M作CQ的垂线，垂足

为P,连接BP,则MP=*CP=∣,所以BM1=MP2+BP2ɪ（y）2+（∣）2+22=7,得BM二甲,

所以BMWEN.连接BD,BE,因为四边形ABCQ为正方形，所以N为的中点，即EM

均在平面8。E内，所以直线BM,EN是相交直线，选B.

答案：（I）D（2）B

对点训练

1.解析：当Aeb时，α与匕相交，当Aib时，α与匕异面.

答案：D

2.解析：图①中，直线GH〃MN；图②中，G,H,N三点共面，但M《平面GHM因

此直线G”与MN异面；图③中，连接MG,GM//HN,因此GH与MN共面；图④中，G,

M,N三点共面，但“在平面GMM因此G4与MN异面，所以图②④中G”与MN异面.

答案：②④

考点三

例3解析：（1）取BC的中点F,连接EF,OF,BCi,

D,G

Al

如图所示，为CG的中点，EF//BCi//ADt,故NoEF即为异面直线OE与AQ所

成角，

设