高斯定理在引力场中的应用

高斯定理在引力场中的应用摘要：本文根据库仑定律和万有引力定律的相似性，从静电场的的电场强度、高斯定理出发，运用类比法，导出引力场的高斯定理。运用引力场的高斯定理在求解某些具有对称性的引力场问题时可以大大简化计算过程。关键词:高斯定理，库仑定律，引力场，万有引力定律1引言万有引力是自然界普遍存在的一种相互作用，任何实物之间都存在万有引力，只要质量不为零，它的引力大小就不等于零。在天体中质量还算很小的地球，对其他的物体的万有引力具有巨大的影响，它把人类、大气和所有地面物体束缚在地球上，它使月球和人造地球卫星绕地球旋转而不离去。万有引力是四种基本相互作用中最弱的，但是在天文学和天体物理领域，引力作用起着主导作用，引力是支配天体运动的唯一的一种力，引力也是促使天体演化的重要因素。利用万有引力我们发现了天王星，冥王星等等一些星体。同时它和热是维持恒星和星系生存的一对矛盾。计算万有引力我们一般用积分的方法，有的时候计算过程会很繁琐，比如说一个质点到一球壳距离一定，求该质点受到的万有引力等等。如果能够找到另一种更简单方法解决之，那么就能节省许多复杂的计算过程。本文找到一种方法。前人对此做了一些研究[1～5]，本文跟着前人的脚步，从万有引力定律与库仑定律的相似性出发，运用类比的方法，即由静电场和引力场类似性质，来引入引力场的高斯定理。然后处理一些具有对称性的引力场问题。像球壳问题等等一些比较典型的问题。2万有引力定律与库仑定律的对比2.1两个定律的表述2.1任何二物体间存在相互吸引力。若物体可视为质点，则二质点的相互吸引力沿两质点的连线方向，与二质点的质量和乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比[7]。比例系数为任何彼此吸引的物体都适用的普适常量。叫做引力常量。数学表达式是(2-1-1)2.1(1)在真空中的两个静止的点电荷及之间的相互作用与与的乘积成正比，和它们之间的距离成反比[8]。(2)作用力的方向沿它们的联线；同号电荷相互排斥，异号电荷相互吸引。令代表给力。代表到方向的单位矢量(2-1-2)2.2万有引力与库仑力的叠加原理2.质点受多个质点(i=1,2,……n)引力的作用时，受到的总的引力是各质点单独存在时所受引力的矢量和，。若求质点与连续体之间的万有引力时，利用叠加原理，将连续体看成许多“质点”组成，每个质点为微元，所以F可以用积分的方法求的(为连续体的密度)2.2当空间有两个以上的点电荷时，作用于每个电荷上的总静电力等于其它电荷单独存在时，作用该电荷的静电力的矢量和。若求点电荷于连续带电体Q之间的库仑力，利用叠加原理，可将连续的带电体看成许多“点电荷”组成，每个点电荷为一微元。库仑力用积分求的得(为带电体的电荷体密度。不考虑的方向)2.3小结综上所述，不难发现(1)万有引力定律与库仑定律的数学表述即(2-1-1)式和(2-1-2)式都是平方反比定律。(2)万有引力定律与库仑定律表述上相似。(3)同时两定律在可叠加性上也惊人的相似。电磁学中学过静电场的高斯定理是由库仑定律和场强的叠加原理导出来的[9]，那么我们可不可以这样想呢？在引力场中也存在高斯定理。同时这个高斯定理是由万有引力定律和类似静电场中场强即引力场的场强的叠加原理导出来的。同时我们还知道万有引力场和静电场也有相似性，存在引力场强度，电场强度；引力线和引力通量，电力线和电通量。这就更加的说明静电场的高斯定理可以类比到引力场来。换句话说引力场中也存在着高斯定理。那么下面我们就应用类比的方法由静电场的场强和高斯定理来引入引力场的强度和引力场的高斯定理。3引力场的高斯定理3.1类比法简介类比[6]，在古希腊中，它的原意是表示比例，后来它被赋予了多种含义，成为一个多义词。广义的类比不仅指两个对象之间的类比相符或有同样的关系，还指修辞中的隐喻和比拟。本文所讨论的类比就是逻辑学中定义的“类比推理”。类比推理就是根据两(个)类对象之间在某些方面的类似或同一，推断它们在其它方面也可能类似或同一的逻辑思想方法。它是以比较为基础的。通过对两个(类)不同的对象进行比较,找出它们之间的相似点或相同点,然后以此为根据,把其中某一对象的有关知识或结论推移到另一个(类)对象中去。也简称为类比或类推。它的本质是归纳和演绎的辩证综合。在传统的基本原理可用下列公式表示：对象A具有属性,,,式中，、是指不同的对象；对象的属性a、b、c与B对象的属性、、、可能相同，也可能相似；对于推理结果，与对象的属性可能相同，也可能相似。3.2两种场的强度3.2.1某处电场强度矢量定理为这样的一个矢量，其大小与单位电荷在该处所受电场力的大小，其方向与正电荷在该处所受电场力的方向。(3-2-1)3.2.2万有引力场中某点的强度称为某点的场强[5]，它是单位质量的质点在该点所受的场力。就是一个试验物体在该处所受的场力除以试验物体的质量。场强可以用实验方法测得。场强是场的性质的表征。场强是矢量。在国际单位制中场强的单位是牛顿/千克。在距离地心远处，质量为的物体所受地球的引力为：(3-2-2)所以在距地心远处，地球引力场的场强为：(3-2-3)当然两场的强度都有相似的叠加原理。3.3引力线和引力通量3.3(1)概括的讲，如果在电场中作出许多曲线，使这些曲线上的每一点的切线方向和该点的场强方向一致，那么所有这样作出的曲线，叫做电场的电力线。(2)电通量通过一面元的电通量定义为该点场强的大小与在垂直于场强方向的投影面积的乘积(3-3-1)对于非无限小的曲面来说(3-3-2)对于所有的面元趋于无限小时(3-3-3)3.3(1)抽象地认为引力场中有一系列曲线，这些曲线上的点的切线方向为该点的引力场强度的方向，那么这样的曲线，叫做万有引力场的引力线。(2)通过某一面元的引力通量为为该点引力场强的大小与在垂直引力场强度方向的投影面积的乘积(3-3-4)对于非无限小的曲面(3-3-5)对于所有的面元趋于无限小是(3-3-6)综上所述，不难发现两种场的强度是相似的，同时引力线、引力通量与电力线、电通量之间也对应着相似的，对照类比公式，更加的说明万有引力场中也存在高斯定理，并由万有引力定律和引力场的强度的叠加原理导出来的。3.4引力场高斯定理3.4通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的素有电荷电量的代数和除以，与闭合面外的电荷无关。用数学公式表达高斯定理，则有(3-4-1)这里表示沿一个闭合曲面的积分，这个闭合曲面习惯是那个叫做高斯面。事实上，高斯定理的可以由库仑定律和场强的叠加原理导出的。那么万有引力定律和引力场强度的叠加原理就可以导出引力场的高斯定理。3.4.2前面的论证已经说明用万有引力定律和场强的叠加原理可以导出引力场的高斯定理。下面我们就来导出引力场中的高斯定理。我们先用类比的方法导出引力场的高斯定理，再用上面的方法来证明一下。类比出的结果是：导出过程：(1)通过包围质点的同心球面的引力通量都等于。以质点所在处为中心，任意半径作一球面。在球面上任意取一面元，其外法线矢量是沿半径方向向外的，与夹角所以通过的引力通量为(3-4-2)整个通过闭合球面的引力通量为：(3-4-3)(2)通过包围质点的任意闭合面S的引力通量都是。为了把结论(3-4-2)推广到任意曲面，我们需要借助立体角的概念。因此在每个元立体角内引力通量是。如果我们把立体角的锥面延长，使闭合面上截去一个面元。设到质点的距离为，的法线与矢径的夹角为，则通过的引力通量为：(3-4-4)式中的是在垂直于矢径方向投影面积，所以即为立体角。由此可见，通过面元的引力通量和通过球面上与对应的面元的引力通量一样，都等于乘以它们的共同的立体角，所以通过整个闭合面s的引力通量都必定和通过球面的的引力通量一样，等于×4=(3)通过不包围质点的任意闭合曲面的引力通量恒为0(4)多个质点的引力通量等于它们单独存在时的引力通量的代数和。当物体由多个质点组成时，它们在高斯面上每个面元dS处产生的总的强度为：…。因此各质点总引力场的引力通量为…=…因为个质点同时存在时通过的总的引力通量为所以引力场的高斯定理的数学表述为：令即则上式就变为：(3-4-5)比较(3-4-1)和(3-4-5)式我们发现两者惊人的相似。这就论证了引力场和静电场是相似的，更论证了我们前面所讲的引力场的高斯定理可以通过静电场的高斯定理类比过来的。4应用4.1密度分布不均匀问题一个密度关于对称分布(即密度仅为半径的函数)的大球，对球外质点的吸引作用就好像球的质量集中在球心一样[2],而直接应用万有引力定律：图1对称质量分布的大球与封闭的球面牛顿对此进行了证明，常用的证明方法是:将大球细分成薄的球壳,球壳再细分成圆环，再把圆环细分成质元，而后应用质点间的万有引力定律和矢量迭加原理而得证。但计算复杂，这里不再赘余现应用引力场的高斯定理公式图1对称质量分布的大球与封闭的球面已知对称质量分布的大球密度为,质量为,半径为,球心为O,球外质点在距球心O的距离为()点,如图1所示,设点的万有引力场强度为，现以为心,r为半径,作一封闭的球面,则由得到：根据球对称性。所以球外质点受到得引力的大小为：。证毕。从这个问题中我们发现应用引力场的高斯定理该问题实际上是一个相当简单得问题。比前面说的分割法简单的多了。4.2引力场的球壳问题4.2图2球壳外一质点引力一个密度均匀分布球壳[10],对球壳外质点的吸引作用就好像球壳的质量集中在中心一样。图2球壳外一质点引力已知质量为,半径为,中心为,球壳外质点在距中心的距离为()点。厚度为。(比它的半径小的多)证明：证法一(牛顿法)考虑球上的一个环带，该环带长为，宽为，厚度为。因此，它的体积为。设其密度为，则环带的质量为：对位于P点处质量为m的质点所施的力是水平的，其值为：(4-2-1由(4-2-2由(4-2-3将(4-2-2),(4-2-3)代入(4-2-1)因为，所以的范围为由于证法二：引力场的高斯定理法，首先我们作一半径为的高斯面，考虑到对称性，则有所以球外质点m受到得引力的大小为：。证毕。比较上面两种方法，可以发现第一种方法计算过程相当的繁琐，而第二种方法计算过程相当简单。下面我们就来再来应用引力场高斯定理求多球壳的问题。4.如图3，两个密度均匀的的同心球壳的质量各为和，试求出作用在质量为m的质点的引力的大小。假设它在eq\o\ac(○,1)处；eq\o\ac(○,2)处；eq\o\ac(○,3)处。为球壳中心量起的距离。解：eq\o\ac(○,1)以为球心，为半径作一高斯面，设处万有引力场的强度为，由万有引力场的高斯定理根据球对称性所以。质点在r=a处的引力的大小为：图3质量为，图3质量为，的密度均匀的同心球壳eq\o\ac(○,2)以为球心，为半径作一高斯面，设处万有引力场的强度为，由引力场的高斯定理得根据球对称性所以质点在处的引力的大小为：eq\o\ac(○,3)以为球心，为半径作一高斯面，设处万有引力场的强度为，由引力场的高斯定理得根据球的对称性得=0，所以质点在处不受力。4.3周期问题图4质点在地球隧道中的运动示意图rRPSOm如图4，假设能沿着地球直径挖一条通过地心的隧道，试证明落入隧道的一个质点的运动是简谐运动[4]。并求出它的周期。这里略去所有摩擦力，并假设地球的图4质点在地球隧道中的运动示意图rRPSOm证明设质点在距离球心为r处的万有引力场强为g,以球心为中心,r为半径作一高斯面。由高斯定理得到根据球对称性得到即：所以隧道中的质点受的引力的大小为：令:=常数,即。由上式可知：力与位移成正比，且方向与位移方向相反，故质点在隧道内的运动为简谐运动。∵及代入得∴∴∴，代入数据R=6400km，所以4.4无限大平面问题图5均匀无限大平面的引力图5均匀无限大平面的引力证明：假设该质点到薄板的距离为，该质点质量为，设薄板的面密度为。证法一：定义法。如图5所示。，因为。所以又因为沿z方向才有效。即。又，∴。∴。这里，，都是已知量。所以该质点受到的引力只与该质点本身的质量有关。证法二：引力场的高斯定理法图6均匀无限大平面引力场的强度先作一高斯面图6均匀无限大平面引力场的强度∴。这里，，都是已知量所以该质点受到的引力只与该质点本身的质量有关。结束语综上所述，我们从万有引力定律和库仑定律的相似出发，运用类比法得出了引力场的高斯定理。同时发现运用引力场的高斯定理处理具有对称性的引力场问题计算过程大大简化了。这说明事物之间存在相似点或相同点，这使类比成为可能。同时说明物理规律之间存在着必然联系，只要注意这种联系，就能更好的理解物理规律。由上面所说的，我们能不能思考这个问题，是不是所有的平方反比有心力场都存在高斯定理呢，它们之间的形式是不是一样的呢?参考文献[1]陈学文，李彦敏．万有引力场的强度与万有引力场的高斯定理．商丘师范学院学报，2005，21(5)：161~163[2]蔡香民．万有引力与高斯定理—类比在物理学中的应用．安徽师范大学报(自然科学版)，2002，25(2)：147~150[3]高雁．引力场中的高斯定理．山西师范大学报(自然科学版)，2006，20(4)：62~63[4]高赠禹．对万有引力场的讨论．鞍山师专学报，1993，03：95~99[5]赵景员，王淑贤．力学．北京：人民教育出版社，1979，371~373[6]袁希娟，龚耘．浅谈类比法．河北理工学院学报(社会科学版)，2003，01：84~88[7]漆安慎，杜婵英．力学．北京：高等教育出版社，1997，171~173[8]赵凯华，陈熙谋