第7章 三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（解析版）

第7章三角函数（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022春·上海崇明·高一统考期末）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（

）A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】B【分析】根据函数图象变换直接求解.【详解】因为,所以要得到函数的图象，只需要将函数的图象向右平移个单位,故选:B.2．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：因为，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为；故选：B二、填空题3．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数的单调递增区间是___________.【答案】【分析】利用整体代入法求得函数的单调递增区间.【详解】由，解得，所以函数的单调递增区间是.故答案为：4．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）函数的最小正周期为______．【答案】##【分析】直接代入正切型函数的周期公式运算求解.【详解】函数的最小正周期.故答案为：.5．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）函数的初始相位是______．【答案】【分析】由初始相位的定义可得结论.【详解】因为，所以函数的初始相位是，故答案为：.6．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______．【答案】【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可.【详解】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为.故答案为：.7．（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）函数的单调增区间是_____．【答案】,【分析】可先求出的单调增区间,取的单增区间与的交集即可,注意单调区间不可写并集.【详解】解:由题知的单调增区间为,即,当时,单增区间为,当时,单增区间为,,,是的单调增区间.故答案为:,8．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）已知，且，则______.【答案】-5【分析】从得到，从而利用函数奇偶性求出.【详解】，故，所以故答案为：-59．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）函数的定义域为______.【答案】，【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域.【详解】由题意得：，即，所以.故答案为：，10．（2022春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为___________.【答案】【分析】直接利用三角函数图象的变换知识求解.【详解】解：将函数的图像上的所有点向右平移个单位，则所得的图像的函数表达式为.故答案为：11．（2022春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是______．【答案】【分析】利用正切函数的性质即得.【详解】直线与的图象的相邻两个交点的距离刚好是函数的一个周期，因为函数的最小正周期为，所以直线y＝a与函数的图象的相邻两个交点的距离是.故答案为：.三、解答题12．（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）已知函数的最小值为，最大值为2，求、的值.【答案】.【分析】根据正弦函数的性质求解.【详解】由题意得，解得.13．（2022春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）设函数部分图像如图所示．(1)求；(2)求函数的单调递减区间．【答案】(1)，，(2)．【分析】（1）利用最低点的值找到的值，由图像得，从而取出周期，进而求出，将图像上的点代入表达式中，结合题目所给即可求出的值；（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间.【详解】（1）由题意得，则周期为，则，所以，将代入得，所以，即，由可得，则；（2），令，得，令，则，因为，所以单调递减区间为．14．（2022春·上海闵行·高一校考期末）函数的部分图象如图所示．(1)写出的最小正周期及图中、的值；(2)求在区间上的最大值和最小值．【答案】(1)周期为，，(2)最大值是3，最小值是【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求；（2）首先求的范围，再求函数的最值.【详解】（1）,令，，解得：，由图可知，当时，，此时函数取得最大值；（2）当时，，此时所以函数的最大值是3，最小值是15．（2022春·上海崇明·高一统考期末）已知函数．(1)当时，用五点法作出函数一个周期内的图像；(2)若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）化简，列表，描点，平滑曲线连接即可；（2）利用三角函数单调性求参数取值范围即可.【详解】（1）由题知，所以，当时，，列表0200作图（2）由（1）得，因为，所以，又函数在区间上是严格增函数，所以，，解得，，又解得，所以的取值范围为.16．（2022春·上海奉贤·高一校考期末）已知函数，.(1)求的值；(2)求的最小正周期；(3)求的单调减区间.【答案】(1)(2)(3)（）【分析】（1）直接代入计算；（2）结合正弦函数的周期求解；（3）由正弦函数的单调性求解．【详解】（1）；（2）；（3），解得，，所以减区间是（）．17．（2022春·上海宝山·高一校考期中）已知函数.(1)将函数化为的形式，求的值；(2)当时，求的最大值和最小值，并指出取得最值时x的值.【答案】(1)，，，；(2)时，，时，．【分析】（1）利用两角和的正弦公式变形可得；（2）求出的范围，然后由正弦函数的性质可得最值．(1)，所以，，；(2)时，，所以，即时，，，即时，．【典型】一、单选题1．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）下列命题中正确的是（

）A．函数的定义域是B．第一象限的角必是锐角C．若，则与的终边相同D．不是周期函数．【答案】D【分析】根据正切函数的定义可知A错误；容易举出反例判定BC错误；根据正弦函数的性质和周期函数的定义，的利用反证法可以证明D正确.【详解】由正切函数的定义可知函数的定义域为，x=0时正切函数是有意义的，0∉，故A错误；380°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；60°和120°的正弦值相等，但终边不相同，故C错误；假若函数是周期函数，存在T>0,使得f(x+T)=f(x)对于任意实数x恒成立，当x≥0时,由正弦函数的周期性得,T=2kπ,k∈N*，但,,，所以函数不是周期函数，故D正确.故选：D.2．（2021春·高一课时练习）“”是“函数的最小正周期为”的（

）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充分且必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】先利用二倍角的三角函数公式化简函数的表达式,根据时函数的解析式,利用余弦函数的周期性求得最小正周期，从而判定充分性；反之，当函数最小正周期为时，利用周期公式求得a的值，从而判定是否必要；注意函数的最小正周期公式，不要遗漏绝对值.【详解】解：当时，的最小正周期为，故充分性成立当函数的最小正周期为时，所以,不能得出，故必要性不成立，综上：“”是“函数的最小正周期为”的充分而不必要条件.故选：A.3．（2022春·上海浦东新·高一校考期末）把函数的图象沿着轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断：（1）该函数的解析式为；（2）该函数图象关于点对称；（3）该函数在上是增函数；（4）若函数在上的最小值为，则.其中正确的判断有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】利用正弦型函数的图象变换规律求得函数的解析式，然后利用正弦函数的基本性质可得出结论.【详解】把函数的图象沿着轴向左平移个单位，可得的图象，再把纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）后得到函数的图象，对于函数，故（1）错误；由于当时，，故该函数图象关于点对称，故（2）正确；在上，，故函数该函数在上不是增函数，故（3）错误；在上，，故当时，函数在上取得最小值为，，故（4）正确，故选：B.【点睛】本题主要考查正弦型三角函数图象变换，同时也考查了正弦型函数基本性质的判断，考查推理能力，属于中等题.二、填空题4．（2021春·高一单元测试）已知函数，，给出下列四个结论：①函数的值域是；②函数为奇函数；③函数的图象关于直线对称；④若对任意，都有成立，则的最小值为.其中正确结论的序号是___________.【答案】①③④【分析】利用辅助角公式化简，结合正弦函数和余弦函数的性质，分别判断即可．【详解】.①的值域是，结论正确；②为偶函数，结论错误；③当时，，取最大值，结论正确；④因为，分别为的最小值点和最大值点，则，结论正确.所以正确结论的序号是①③④.故答案为：①③④5．（2021春·上海嘉定·高一上海市嘉定区第一中学校考期中）已知是定义在（0，3）上的函数，的图象如图所示，则不等式的解集是______.【答案】【分析】根据的图象可得到，及时的取值范围，结合余弦函数在上函数值符号的变化情况可得到不等式的解集．【详解】由图象可知：时，；当时，．又余弦函数在时，时，当时，，故答案为：．6．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数的图象的对称中心为________．【答案】【分析】由正切函数的图象的对称性,结合图象平移变换即可得到答案.【详解】的对称中心是.∵函数的图象由的图象向上平移1个单位得到，∴函数的对称中心为故答案为：.7．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）已知，将的图象向左平移2个单位，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，则____________．【答案】【分析】先利用同角三角函数的关系和诱导公式化简后，再利用平移伸缩变换法则得到答案.【详解】,图象向左平移2个单位，得到的图象，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到的图象，即为的图象，则,故答案为：.8．（2021春·上海金山·高一上海市金山中学校考期中）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于_______．【答案】4【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图象，利用函数的图象的对称性求得所有交点的横坐标之和.【详解】由于函数与函数均关于点成中心对称，结合图形两函数有如图所示的共4个交点，其中和都关于点对称.其横坐标分别记作,则有，同理有，所以所有交点的横坐标之和为4.故答案为：4.【点睛】本题考查利用数形结合方法，涉及分式函数，三角函数的图象和对称性之，属中档题，关键是熟练掌握分式函数和正弦型函数的图象的对称性.三、解答题9．（2021春·上海·高一期中）已知，求它的最小值【答案】2【分析】由题意，可得，利用二次函数的性质，即可求解函数的最小值，得到答案.【详解】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值２.【点睛】本题主要考查了正切函数的值域，以及二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记正切函数的值域，合理应用二次函数的性质求解是解答的关键，注重考查了推理与计算能力，属于基础题.10．（2021春·高一课时练习）已知函数．（1）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的所有零点．【答案】（1）；（2）所有零点是0，，．【分析】（1）先求得函数的在轴右侧的包含0的单调递增区间，进而得到实数的取值范围；（2）利用正弦函数的性质，利用整体代换法求得函数的所有零点，进而得到在上的所有零点.【详解】（1）由，得，．取，可得，∵函数在区间上是严格增函数，∴实数的取值范围是．（2）由，得，则或，．即或，．又，∴，，．即函数在区间上的所有零点是0，，．【点睛】关键要注意求函数的零点时不要丢根.或.11．（2021春·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．（1）求在上的解析式；（2）求不等式的解集．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根据偶函数的性质，以及时，，即可求出在上的解析式；（2）分和两种情况，结合正弦函数的性质，解正弦函数的不等式即可求出结果.【详解】（1）令，则，所以，又函数是定义在上的偶函数，所以，所以时，；即，；（2）当时，，即，所以；当时，，即，所以，所以；综上不等式的解集.12．（2022·上海·高一专题练习）对于函数，若在其定义域内存在实数，t，使得成立，称是“t跃点”函数，并称是函数的“t跃点”．(1)若函数，x∈R是“跃点”函数，求实数m的取值范围；(2)若函数，x∈R，求证：“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；(3)是否同时存在实数m和正整数n使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)存在，或或.【分析】（1）根据函数解析式计算，，，根据“跃点”函数的定义，利用辅助角公式和三角函数的性质求得实数的取值范围；（2）先将“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价转化为“对于任意实数，关于的方程都有解”，然后利用取特值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性；（3）代入计算，化简得，根据正弦函数的周期性和图象，讨论可得答案.【详解】（1）由已知得存在实数，使得，∴，∴实数m的取值范围是.（2）由题意得“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”等价于：对是任意实数，关于的方程都有解，则对于时有解，即,∴；反之，当时，,等价于，显然，是此方程的解，故此方程对于任意实数都有实数解.综上所述，“”是“对任意t∈R，为‘t跃点’函数”的充要条件；（3）由已知得，，化简得，的最小正周期为；根据函数在上的图象可知：①当时，在有个“跃点”，故不可能有2021个“跃点”；②当时，在有个“跃点”，此时；③当或时，在上有个“跃点”，故；综上：或或.【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于紧抓函数的新定义，综合运用函数的单调性、周期性、值域等性质，运用参变分离等方法得以解决.【易错】一．选择题（共2小题）1．（2022春•浦东新区校级期中）对于函数f（x）＝sin（2x+），下列命题：①函数图象关于直线x＝﹣对称；②函数图象关于点（，0）对称；③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的．（纵坐标不变）而得到；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】①把x＝﹣代入函数的表达式，函数是否取得最大值，即可判定正误；②把x＝，代入函数，函数值是否为0，即可判定正误；③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位，推出函数的表达式是否相同，即可判定；④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的表达式是否相同，即可判定正误．【解答】解：①把x＝﹣代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，所以，①不正确；②把x＝，代入函数f（x）＝sin（2x+）＝0，函数值为0，所以②正确；③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位得到函数为f（x）＝sin（2x+），所以不正确；④函数图象可看作是把y＝sin（x+）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数f（x）＝sin（2x+），正确；故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的基本性质的应用，考查逻辑推理能力，常考题型．2．（2022春•浦东新区校级期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y＝2020相交于A，B两点，且|AB|＝2，则＝（）A． B． C． D．﹣【分析】根据平行于横轴的直线与平行曲线截得的线段长度相等，得到|AB|＝2是周期，利用周期公式求得ω的值，再求f（）的值．【解答】解：由题意知，T＝|AB|＝2，所以＝2，解得ω＝；所以f（x）＝tan（x+），所以f（）＝tan（+）＝tan＝．故选：A．【点评】本题考查了正切函数的周期性与三角函数值计算问题，解题的关键是准确理解给定的信息，得出该函数的周期．二．填空题（共6小题）3．（2021春•浦东新区校级月考）设函数在[﹣π，π]的图像大致如图，则f（x）的最小正周期为．【分析】结合图象中标的数据，得到关于最小正周期满足不等关系和等量关系，据此求解．【解答】解：据图可知：，即，所以……①，结合图像可知＝0，则，，结合①式可知，k＝0时，符合题意，故即为所求．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．4．（2021春•普陀区校级月考）方程，在[0，2π]内的解集是{，}．【分析】根据余弦函数的值，结合x的取值集合，即可求出方程在[0，2π]内的解集．【解答】解：方程，所以x+＝2kπ±，k∈Z解得x＝2kπ±﹣，k∈Z；又因为x∈[0，2π]，所以x＝或，所以方程在[0，2π]内的解集是{，}．故答案为：{，}．【点评】本题考查了由三角函数值求角的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．（2021春•杨浦区校级期中）函数的单调递增区间为．【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，结合余弦函数的单调性求解即可．【解答】解：函数，即，解得，所以单调递增区间为．故答案为：．【点评】本题考查余弦函数的单调性的求解，诱导公式的应用，是基础题．6．（2021春•奉贤区月考）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，x∈R）满足：，且上具有单调性，则满足条件的ω取值个数为2．【分析】根据函数的单调性，确定周期满足的条件，得到0＜ω≤12．根据，得到对称中心与对称轴之间的关系，进而求出ω的值．【解答】解：∵上具有单调性，∴﹣＝≤，即T≥，则≥，则0＜ω≤12．∵，∴x＝是一条对称轴，（，0）是一个对称中心，则﹣＝，若＝，即T＝，即＝，则ω＝3，满足0＜ω≤12，若＝，即T＝，即＝，则ω＝9，满足0＜ω≤12，若＝，即T＝，即＝，则ω＝15，不满足0＜ω≤12，故满足条件的ω＝3或9，故ω取值个数为2个，故答案为：2【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调区间，对称轴和对称中心的距离判断周期满足的条件是解决本题的关键．7．（2022春•杨浦区校级期末）已知函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝；③函数f（x）图象的一个对称中心为（，0）；④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．其中正确的结论序号②③④．【分析】化简函数f（x），由定义判断函数f（x）不是奇函数，判断①错误；由f（）＝1取得最大值，得出直线x＝是f（x）的一条对称轴，判断②正确；由f（）＝0，得出点（，0）是f（x）的一个对称中心，判断③正确；由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间，判断④正确．【解答】解：函数f（x）＝cos（2x+）﹣cos2x＝﹣cos2x﹣sin2x＝﹣sin（2x+），其中x∈R：对于①，f（﹣x）＝﹣sin（﹣2x+）＝sin（2x﹣）≠﹣f（x），∴函数f（x）不是奇函数，①错误；对于②，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝1为最大值，∴函数f（x）图象的一条对称轴是直线x＝，②正确；对于③，当x＝时，f（）＝﹣sin（2×+）＝0，∴函数f（x）图象的一个对称中心为（，0），③正确；对于④，令+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，④正确．综上，正确的结论序号是②③④．故答案为：②③④．【点评】本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．8．（2022春•徐汇区校级期中）函数的值域是．【分析】利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，＝，由正弦函数的性质可得，代入函数可求函数的值域．【解答】解：∵＝＝＝＝又∵∴故答案为：【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的综合运用，把不同名的三角函数化简为y＝Asin（ωx+φ）的形式，利用正弦函数的性质研究y＝Asin（ωx+φ）的性质．三．解答题（共4小题）9．（2021春•奉贤区期中）已知函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内，当x＝时，y有最大值为2，当x＝时，y有最小值为﹣2．（1）求函数y＝Asin（ωx+φ）表达式；（2）并画出函数y＝Asin（ωx+φ）在一个周期内的简图．（用“五点法”）；（3）当x∈[0，]时，求函数的最值．【分析】（1）根据题意得A＝2，周期为T＝π，求出ω＝2，φ＝，从而得到函数的解析式；（2）结合（1）的解析式，用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；（3）求出x∈[0，]时2x+的取值范围，即可求得函数的最小值和最大值．【解答】解：（1）在1个周期内，当x＝时y有最大值为2，当时y有最小值为﹣2，所以A＝2，且函数的周期T＝2×（﹣）＝π，所以ω＝＝2．把（，2）代入f（x）＝2sin（2x+φ），得2×+φ＝+2kπ，k∈Z；解得φ＝+2kπ，k∈Z，结合|φ|＜，取k＝0，得φ＝；所以函数表达式为y＝2sin（2x+）．（2）由题意列表如下：2x+0π2πx﹣y＝2sin（2x+）020﹣20描点、连线，画出函数在1个周期[﹣，]上的简图如下：（3）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[﹣，1]，所以2x+＝，即x＝时，y＝2sin（2x+）＝﹣1为最小值；2x+＝，即x＝时，y＝2sin（2x+）＝2为最大值．所以，当x＝时，y有最小值为﹣1，当x＝时，y有最大值为2．【点评】本题考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．10．（2022春•嘉定区校级期末）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图像如图所示．（1）求f（x）的解析式及对称中心；（2）先将f（x）的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位后得到g（x）的图像，求函数y＝g（x）在上的单调减区间和最值．【分析】（1）根据零点、最高点的坐标，结合图像求出A、最小正周期、ω的值，再令f（x）＝0求出对称中心的坐标；（2）根据图像变换的规律，即可求出g（x）的解析式，进而求出函数的单调减区间、最值．【解答】解：（1）易知A＝2，，解得T＝π，所以，故，k∈Z，即，k∈Z，又|φ|＜π，故k＝0时，即为所求，故f（x）＝2sin（2x﹣），f（x）的对称中心为（+，0），k∈Z．（2）易知g（x）＝＝＝sin（2x）＝﹣cos2x，要求g（x）的单调递减区间，只需﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得，k∈Z，令k＝1可得函数g（x）的一个单调递减区间为[]，显然g（x）在[]单调递增，故y＝g（x）在上的单调减区间为[]，而＝，g（）＝1，g（）＝0，故g（x）在上的最小值为，最大值为1．【点评】本题考查三角函数的据图求式、以及三角函数的图像与性质，属于中档题．11．（2021春•静安区校级期中）已知函数．（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．【分析】（1）a＝1时f（x）＝（2cos2+sinx）+b，利用三角恒等变换求出f（x）的解析式，再求单调递增区间（2）由三角恒等变换化简f（x），讨论a的正负，求出对应a、b的值．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（2cos2+sinx）+b＝cosx+1+sinx+b＝sin（x+）+1+b，2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；（2）f（x）＝a（2cos2+sinx）+b＝a（cosx+1+sinx）+b＝asin（x+）+a+b，当x∈[0，π]时，sin（x+）∈[﹣，1]；当a＞0时，由，解得；当a＜0时，由，解得；综上知，a＝﹣1，b＝3；或a＝1﹣，b＝4．【点评】本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．12．（2022春•松江区校级期末）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分图像如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC的三内角A、B、C的正弦值依次成等比数列，求f（B）的值域；（3）将f（x）图像上所有点先向右平移个单位，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图像，记h（x）＝g（x）g（x+）﹣m，是否同时存在实数m和正整数n，使得函数h（x）在[0，nπ]上恰有2022个零点？若存在，请求出所有符合条件的m和n的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像求出T、ω和φ的值，写出函数解析式，求出f（x）的单调递增区间；（2）根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式，即可求得cosB的取值范围，从而求出f（B）的值域；（3）根据平移变换求出g（x）的解析式，再利用三角恒等变换求出h（x）的解析式，从而求出满足条件的m和n的值．【解答】解：（1）由函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的部分图像知，T＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，由五点法画图知，2×+φ＝2kπ+π，k∈Z，解得φ＝+2kπ，k∈Z；因为|φ|＜π，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）△ABC中，sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得，b2＝ac，由余弦定理得：cosB＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取“＝”，所以0＜B≤，所以＜2B+≤π，所以0≤sin（2B+）≤1所以0≤f（B）≤2，即f（B）的值域为[0，2]；（3）将f（x）图像上所有点向右平移个单位，得y＝f（x﹣）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin（2x+）的图像，再将所得图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，得y＝g（x）＝2sin（x+）的图像，因为h（x）＝g（x）g（x+）﹣m＝4sin（x+）sin（x+）＝4cosx（sinx+cosx）＝2sinxcosx+2cos2x＝sin2x+cos2x+1＝2sin（2x+）+1，假设同时存在实数m和正整数n满足条件，函数h（x）＝2sin（2x+）+1在x∈[0，nπ]上恰有2022个零点，即函数y＝2sin（2x+）与直线y＝﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点．当x∈[0，π]时，2x+∈[，]，作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象如下图所示：①当m﹣1＞2或m﹣1＜﹣2，即m＞3或m＜﹣1时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上无交点，②当m﹣1＝2或m﹣1＝﹣2，即m＝3或m＝﹣1时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有一个交点，此时要使函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点，则n＝2022；③当﹣2＜m﹣1＜1或1＜m﹣1＜2，即﹣1＜m＜2或2＜m＜3时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有两个交点，此时函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上有2022个交点，n＝1011；④当m﹣1＝1即，m＝2时，函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，π]上有三个交点，此时要使函数y＝2sin（2x+）与直线y＝m﹣1在[0，nπ]上恰有2022个交点，不符合题意；综上所述，存在实数m和n满足题设条件：m＝﹣1或m＝3时，n＝2022；m∈（﹣1，2）∪（2，3）时，n＝1011．【点评】本题考查了三角函数的图像与性质的应用问题，也考查了函数的值域，函数零点个数的判断问题，是难题．【压轴】一、单选题1．（2021春·高一课时练习）关于函数的判断，正确的是A．最小正周期为，值域为，在区间上是单调减函数B．最小正周期为，值域为，在区间上是单调减函数C．最小正周期为，值域为，在区间上是单调增函数D．最小正周期为，值域为，在区间上是单调增函数【答案】C【详解】的值域为，故排除选项A、B，因为的最小正周期为，故排除选项D；故选C.2．（2022春·上海杨浦·高一同济大学第一附属中学校考期中）设函数，其中m，n，，为已知实常数，，则下列4个命题：（1）若，则对任意实数x恒成立；（2）若，则函数为奇函数；（3）若，则函数为偶函数；（4）当时，若，则，其中错误的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】可根据各选项中的条件得到参数的关系，再反代入原函数，从而可判断（1）（2）（3）的正确与否，利用反例可判断（4）的正误.【详解】对于（1），即为，即，两边平方后可得，故或.若，则，故，此时，若，则，故，此时，若或，则，故（1）成立.对于（2），因为，则，若均为零，则,其定义域为，且，故为奇函数；若不全为零，不妨设，则，故，此时函数的定义域为，而，故为奇函数；故（2）正确.对于（3），因为，则，若均为零，则，此时函数的定义域为，而，故为偶函数；若不全为零，不妨设，则，故，此时函数的定义域为，而，故为偶函数；故（3）正确.对于（4），因为，故，整理得到：，取，则，即，故，令，则，而，故，故（4）错误，故选：A.【点睛】思路分析：对多变量的三角函数问题，需根据题设条件得到参数的关系，再根据关系式的形式合理消元反代，从而简化问题的讨论.二、填空题3．（2021春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期中）方程，（）的所有根的和等于2024，则满足条件的整数的值是________【答案】1008或1009【分析】根据图象可得图象关于点（1,0）对称，且两函数交点成对出现，每一对关于点（1,0）对称，结合题意，可得或，即可求得答案.【详解】设，作出两函数图象，如图所示两函数图象关于点（1,0）对称，定义域也关于点（1,0）对称，所以求方程的根，即求两函数图象的交点，且交点成对出现，关于点（1,0）对称，因为所有根的和等于2024，所以两函数图象共有1012对关于点（1,0）对称的交点，所以或，解得或.故答案为：1008或1009【点睛】解题的关键是分析得图象关于点（1,0）对称，根据函数的对称性，结合题意，进行求解，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.4．（2022春·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）在角，，，…，的终边上分别有一点，，，…，，如果点的坐标为，，，则______【答案】【分析】结合诱导公式和三角函数定义可求得，利用正弦函数的奇偶性可求得所求式子的值.【详解】，，，，又，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够利用诱导公式确定，从而根据三角函数定义化简所求式子，利用正弦函数的奇偶性进行求值.5．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知，存在实数，使得对任意，总成立，则的最小值是______．【答案】【分析】作出单位圆，根据终边位置可得；结合，即可求得最小值.【详解】作出单位圆如图所示，由题意知：的终边需落在图中阴影部分区域，，即，对任意，总成立，，即，又，，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，解题关键是能够根据三角函数定义，结合单位圆，确定角的终边的位置，进而利用位置关系构造不等式求得所求变量所满足的范围.6．（2021春·上海·高一期中）若函数，则__________【答案】3032【分析】根据正弦函数的周期性进行求解即可.【详解】因为函数的最小正周期为，所以有当时，，，，因此有：，于是有：，故答案为：3032【点睛】关键点睛：根据所求的代数式的值联想到正弦型函数的周期性是解题的关键.7．（2021春·上海宝山·高一上海市行知中学校考阶段练习）若，，且，则______（提示：在上严格增函数）【答案】1【分析】根据已知条件先分析的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得，根据单调性奇偶性可知的关系，则结果可求.【详解】因为，所以，所以，所以且，设，在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，又因为，定义域关于原点对称，所以为奇函数，由可知，所以，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如的等式的思路：（1）利用奇偶性将等式变形为；（2）根据单调性得到与的等量关系；（3）结合函数定义域完成相关计算.8．（2021春·上海·高一期末）已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，求=____.【答案】【分析】由已知写出的对称轴方程及其周期，判断端点、的值，问题转化为在上与的交点问题，画出函数图象的草图即可确定根，进而根据目标表达式及对称轴求值.【详解】由，则，而，知：关于对称，又最小正周期为，，∴在上的函数图象如下，其与的交点横坐标，即为的根，，，，，，∴如图，区间内共有6个根，且有，∴.故答案为：.【点睛】关键点点睛：转化为两个函数在某闭区间上的交点问题，结合正弦函数的性质得到草图，应用数形结合的方法确定根及各根之间的对称轴.9．（2021春·上海·高一期末）已知函数，若函数的所有零点依次记为且，，若，则__________.【答案】【详解】由题意，令，解得.∵函数的最小正周期为，，∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得.∴函数在上有条对称轴根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，.∵∴∴故答案为.点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.三、解答题10．（2021春·上海·高一期末）已知，，是同一平面内自上而下的三条不重合的平行直线.（1）如图1，如果与间的距离是1，与间的距离也是1，可以把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，求这个正三角形ABC的边长.（2）如图2，如果与间的距离是1，与间的距离是2，能否把一个正三角形ABC的三顶点分别放在，，上，如果能放，求BC和夹角的正切值并求该正三角形边长；如果不能，试说明理由.（3）如果边长为2的正三角形ABC的三顶点分别在，，上，设与间的距离为，与间的距离为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）能放，边长为；（3）【分析】（1）根据到直线的距离相等，可得过的中点，，从而求得边长的值.（2）假设能放，设边长为，BC与的夹角，不妨设，可得，，两式相比化简可得，由此能求出的值，从而得出结论.（3）利用两角和差的正弦、余弦公式化简为，再根据正弦函数的定义和值域求出的取值范围.【详解】（1）到直线的距离相等，过的中点，，边长（2）假设能放，设边长为，BC与的夹角，由对称性，不妨设，，，两式相比可得：，即，，，，故边长，综上可得，能放.（3）.，，，所以，又，，所以.【点睛】本题是一道考查三角函数应用的题目，解题的关键是掌握等边三角形的性质以及三角函数的恒等变换，属于中档题.11．（2020春·上海徐汇·高一位育中学校考期中）已知函数，(1)化简到，并求最小正周期；(2)求函数在区间上的单调减区间；(3)将函数图像向右移动个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图像，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围.【答案】(1)，最小正周期是；(2)；(3).【分析】(1)根据给定条件利用和角的余弦公式、二倍角的正弦、余弦公式，辅助角公式变形即可得解.(2)利用(1)的结论结合正弦函数的单调性列式计算作答.(3)利用(1)的结论结合给定的变换求出的解析式，再借助的性质列式计算作答.(1)依题意，，其中，则，所以，最小正周期是.(2)由(1)知，当时，，则由得，即在上单调递减，所以函数在区间上的单调减区间是.(3)由(1)知，，将函数图像向右移动个单位所得函数为，于是得，则的周期为，因在区间上至少有100个最大值，则在长为2的区间上至少有99.5个周期，因此，，解得，而，于是得，所以a的取值范围.【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.12．（2022春·上海闵行·高一校联考期中）已知函数(1)化简的表达式.(2)若的最小正周期为π，求，的单调区间与值域.(3)将（2）中的函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数，与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数的取值范围.【答案】(1)；(2)递增区间为，递减区间为，值域为；(3).【分析】（1）根据给定函数，利用二倍角公式、辅助角公式化简即可作答.（2）由（1）及已知求出，再结合正弦函数性质求解作答.（3）由（2）及已知求出函数的解析式，借助的周期列出不等式求解作答.【详解】（1）依题意，，.（2）由（1）知，，解得，则，当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，由得：，由得：，所以在上单调递增，在上单调递减，，，所以在上的值域为.（3）由（2）及已知，，因图像关于x=0对称，则，解得：，又，即有，于是得，由得：，，而函数的周期，依题意，对于，在上均有不少于6个且不多于10个根，则有，即，解得，所以正实数的取值范围是.【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的单调性问题，先根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数性质列出不等式求解即得.13．（2021春·上海·高一期末）已知函数，的部分图象，如图所示，、分别为该图象的最高点和最低点，点的坐标为，点的坐标为，且.（1）求解析式；（2）若方程在区间内恰有一个根，求的取值范围.【答案】（1）=；（2）.【分析】（1）由题设求的周期，根据P的坐标并结合图象有求，过作x轴的垂线，垂足为，利用列方程求A，写出解析式即可.（2）令，将问题转化为在在区间内恰有一个零点，应用换元法令可得且，讨论在区间内的零点情况，并结合正弦函数、二次函数的性质确定a的范围.【详解】（1）由解析式知：又点的横坐标为，∴，即．过作x轴的垂线，垂足为，则，故，∴，故=.（2）令，∴方程在区间内恰有一个根等价于函数在在区间内恰有一个零点.设，当时，，又，∴，，令，则函数在内恰有一个零点，可知在内最多有一个零点.①当0为的零点时，显然不成立；②当为的零点时，由，得，把代入中，得，解得，，不符合题意.③当零点在区间时，若，得，此时零点为1，即，由的图象知不符合题意；若，即，设的两根分别为，，由，且抛物线的对称轴为，则两根同时为正，要使在内恰有一个零点，则一个根在内，另一个根在内，所以，解得.综上，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：（1）由最高点坐标及图象求φ，应用线段的几何关系，结合三角函数列方程求参数A，写出解析式；（2）利用辅助角公式、换元法，将问题转化为二次函数在闭区间内最多只有一个零点，注意所得零点需结合换元前的三角函数，验证是否只存在一个零点.14．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴.将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍所得的图象对应函数记作，令函数.(1)求函数的函数解析式；(2)求函数的最大值及相对应的的值；(3)若函数在内恰有2021个零点，其中常数，，求常数与的值.【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式和对称轴方程，结合正弦型函数图象的变换性质