第6章：空间向量与立体几何 重点题型复习（原卷版）

第6章：空间向量与立体几何重点题型复习题型一空间向量的共线问题【例1】若向量与不共线且，，，则（）A．，，共线B．与共线C．与共线D．，，共面【变式1-1】如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？【变式1-2】已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为________.【变式1-3】如图，已知M，N分别为四面体A－BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．题型二空间向量的数量积问题【例2】如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（）A．B．1C．D．【变式2-1】已知、都是空间向量，且，则（）A．B．C．D．【变式2-2】四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（）A．B．C．3D．【变式2-3】如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______．题型三空间向量的共面问题【例3】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．【变式3-1】（多选）在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【变式3-2】已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（）A．B．2C．D．【变式3-3】，若三向量共面，则实数（）A．3B．2C．15D．5【变式3-4】如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．题型四空间向量的基本定理【例4】下列命题中正确的个数为（）①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；③为空间一组基底，若，则；④对于任意非零空间向量，，若，则．A．1B．2C．3D．4【变式4-1】已知是空间向量的一个基底，则下列向量中能与，构成基底的是（）A．B．C．D．【变式4-2】如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（）A．B．C．D．【变式4-3】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（）A．B．C．-D．题型五利用空间向量证明平行与垂直【例5】已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；【变式5-1】在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，为的中点，为中点.求证：平面.【变式5-2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【变式5-3】如图所示，在直二面角中，四边形是边长为的正方形，，为上的点，且平面.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.题型六利用空间向量计算空间角【例6】在正方体中，直线与AC所成角的余弦值为______．【变式6-1】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．【变式6-2】如图，正四面体中，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【变式6-3】如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．（1）求证：；（2）求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．题型七利用空间向量计算空间距离【例7】长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（）A．B．C．D．【变式7-1】如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．【变式7-2】如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．【变式7-3】空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（）A．B．C．D．题型八利用空间向量探究动点存在问题【例8】如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．（1）求二面角的大小；（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．【变式8-1】如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上．（1）设，当为何值时，的面积最小？（2）当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由．【变式8-2】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．（1）求证：直