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第6章:空间向量与立体几何重点题型复习题型一空间向量的共线问题【例1】若向量与不共线且,,,则()A.,,共线B.与共线C.与共线D.,,共面【变式1-1】如图,四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面,M、N分别是AC、BF的中点,判断与是否共线?【变式1-2】已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在三个不为0的实数λ,m,n,使λ+m+n=,那么λ+m+n的值为________.【变式1-3】如图,已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM上一点,且GM∶GA=1∶3.求证:B,G,N三点共线.题型二空间向量的数量积问题【例2】如图,三棱锥中,和都是等边三角形,,,为棱上一点,则的值为()A.B.1C.D.【变式2-1】已知、都是空间向量,且,则()A.B.C.D.【变式2-2】四棱柱的底面是边长为1的菱形,侧棱长为2,且,则线段的长度是()A.B.C.3D.【变式2-3】如图,在大小为60°的二面角中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是______.题型三空间向量的共面问题【例3】(多选)给出下列四个命题,其中是真命题的有()A.若存在实数,,使,则与,共面;B.若与,共面,则存在实数,,使;C.若存在实数,,使则点,,A,共面;D.若点,,A,共面,则存在实数,,使.【变式3-1】(多选)在正方体中,设,,,构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是()A.,, B.,, C.,, D.,,【变式3-2】已知O为空间任意一点,A、B、C、P满足任意三点不共线,但四点共面,且,则m的值为()A.B.2C.D.【变式3-3】,若三向量共面,则实数()A.3B.2C.15D.5【变式3-4】如图所示,在长方体中,为的中点,,且,求证:四点共面.题型四空间向量的基本定理【例4】下列命题中正确的个数为()①若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则;②若向量,,是空间一组基底,则,,也是空间的一组基底;③为空间一组基底,若,则;④对于任意非零空间向量,,若,则.A.1B.2C.3D.4【变式4-1】已知是空间向量的一个基底,则下列向量中能与,构成基底的是()A.B.C.D.【变式4-2】如图,在斜三棱柱中,M为BC的中点,N为靠近的三等分点,设,,,则用,,表示为()A.B.C.D.【变式4-3】如图,在平行六面体中,,,,点在上,且,则等于()A.B.C.-D.题型五利用空间向量证明平行与垂直【例5】已知四棱锥中,底面为正方形,平面,,,、分别为、的中点.求证:;【变式5-1】在如图所示的五面体中,面是边长为的正方形,面,,且,为的中点,为中点.求证:平面.【变式5-2】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1C1F.【变式5-3】如图所示,在直二面角中,四边形是边长为的正方形,,为上的点,且平面.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.题型六利用空间向量计算空间角【例6】在正方体中,直线与AC所成角的余弦值为______.【变式6-1】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,,且,若,,则二面角A-PB-C的余弦值为______.【变式6-2】如图,正四面体中,分别是的中点,则与平面所成角的正弦值为()A.B.C.D.【变式6-3】如图,已知AB为圆锥SO底面的直径,点C在圆锥底面的圆周上,,,BE平分,D是SC上一点,且平面平面SAB.(1)求证:;(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值.题型七利用空间向量计算空间距离【例7】长方体中,,,为的中点,则异面直线与之间的距离是()A.B.C.D.【变式7-1】如图,在四棱锥中,,底面为菱形,边长为2,,平面,异面直线与所成的角为60°,若为线段的中点,则点到直线的距离为______.【变式7-2】如图,在长方体中,,,若为的中点,则点到平面的距离为______.【变式7-3】空间直角坐标系中、、)、,其中,,,,已知平面平面,则平面与平面间的距离为()A.B.C.D.题型八利用空间向量探究动点存在问题【例8】如图,在四棱锥中,底面,底面是梯形,,且,,.(1)求二面角的大小;(2)已知为中点,问:棱上是否存在一点,使得与垂直?若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.【变式8-1】如图,在矩形ABCD中,,,E为边AD上的动点,将沿CE折起,记折起后D的位置为P,且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上.(1)设,当为何值时,的面积最小?(2)当的面积最小时,在线段BC上是否存在一点F,使平面平面POF,若存在求出BF的长,若不存在,请说明理由.【变式8-2】如图,在直三棱柱中,为的中点,分别是棱上的点,且.(1)求证:直
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