第04讲 利用导数研究不等式恒成立与能成立问题解析版

第04讲利用导数研究不等式恒成立与能成立问题目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查变量分离法解决恒成立问题 1题型二：重点考查分类讨论法解决恒成立问题 7题型三：重点考查分离变量法解决有解问题 12题型四：重点考查等价转化法解决恒成立问题（形如） 17题型四：重点考查双变量不等式问题（形如） 22题型五：重点考查同构法解决不等式能成立问题 28题型一：重点考查变量分离法解决恒成立问题典型例题例题1．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知函数.(1)若，求的极值；(2)若在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，极小值为；(2).【详解】（1）当时，函数定义域为R，求导得，当时，；当时，，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以的极大值为，的极小值为.（2）由在上恒成立等价于在上恒成立，令，求导得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，于是，所以的取值范围为.例题2．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考期末）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）由题意可知，，令，则，当时，恒成立，单调递增，当时，由解得，由解得，所以在单调递增，在单调递减，综上所述当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）可知不等式即在上恒成立，即在上恒成立，只需即可，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以.例题3．（2024上·湖南益阳·高二南县第一中学校考期末）已知函数，其中.(1)当时，求的极值；(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值(2)【详解】（1），令，则，其中，所以在上单调递减，且，所以当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，故当时，取得极大值，无极小值.（2）由题得对任意恒成立，即对任意恒成立.令，所以，令，所以，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，又，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，即的取值范围是.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值.【答案】(1)；(2)递减区间是，递增区间是；(3)3.【详解】（1）函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程是.（2）函数的定义域是，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（3），，令，求导得，由（2）知，在上单调递增，，，因此存在唯一，使得，即，当时，，即，当时，，即，因此函数在上单调递减，在上单调递增，于是，则，所以整数的最大值是3.2．（2024上·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知函数．(1)当时，求函数的单调区间和极值；(2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围；【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）由题知，，所以，当时，因为，所以，所以的单调增区间是，无单调减区间，无极值，当时，令，解得，当时，，当时，，所以的单调减区间是，单调增区间是，极小值为，无极大值.（2）因为对于任意，都有成立，所以，即问题转化为，对于恒成立，即，对于恒成立，令，所以，令，所以，所以在区间上单调递增，所以，所以，所以在区间上单调递增，所以函数，要使，对于恒成立，只要，所以，即，所以实数的取值范围为；3．（2023上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)递增区间为，递减区间为(2)【详解】（1）因为，则，令，则，即，解得的递增区间为；令，则，即，解得的递减区间为；所以的递增区间为，递减区间为.（2）因为对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，；当时，，令，所以，令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即在上恒成立所以在上单调递减，所以，所以.综上，实数的取值范围为.题型二：重点考查分类讨论法解决恒成立问题典型例题例题1．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知函数．(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a的值；(2)当时，求在上的最大值；(3)若对任意的，恒有，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由，所以，又曲线在处的切线方程为，即，所以；（2）当时，，由在上分别单调递增、单调递减可得：在上单调递增，而，即，使得，故在上单调递减，上单调递增，且，即在上的最大值为；（3）∵，，令，①当时，，易知在上恒成立，当时取得等号，符合题意；②当时，易知，则在上恒成立，即在时单调递增，又，故在上单调递增，∵，∴恒有，符合题意；③当时，由②知在时单调递增，而，即，使得，故在上单调递减，上单调递增，又，则，不满足题意；综上当，能满足任意的，恒有.例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，其中．(1)若函数定义域内的任意x使恒成立，求实数a的取值范围；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）因为，显然，则，因为恒成立，则，对恒成立，当时，，则恒成立，故；当时，，则恒成立，故；综上，．（2）由（1）知，，①当时，，当时，，则，单调递减，当时，，则单调递增，即当时，在上单调递减，上单调递增；②当时，当时，由（1）知在单调递增；当时，当时，；当时，；当时，；故当和时，；当时，；因此在上单调递增，在上单调递减；当时，当时，；当时，；当时，；故当和时，；当时，；因此在上单调递增，在上单调递减；综上：当时，在上单调递减，上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）实数，，．(1)若恒成立，求实数的取值范围；(2)讨论的单调性并写出过程．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）由题意得，令，的定义域为，由得：．设，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，，即实数的取值范围为．（2）令，的定义域为．①当时，时，，在上是增函数；时，，在上是减函数；时，，在上是增函数；②当时，，时，在上是减函数；时，在上是增函数；③当时，单调递增；④当时，时，，在上是增函数，时，，在上是减函数，时，，是增函数．2．（2024·全国·高三专题练习）设函数，其中.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【详解】（1），.当时，恒成立，则在上为减函数，当时，令，可得，则，解得，令，解得，综上，当时，的减区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，可得设，则.①当时，，单调递增，而，所以不满足题意，②当时，令，解得，当时，，为减函数，当时，，为增函数，所以.令，，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以，又.则，解得，所以实数的取值范围是.3．（2024上·全国·高三专题练习）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.【答案】（1）（2）【详解】（I）的定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是题型三：重点考查分离变量法解决有解问题典型例题例题1．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知函数.(1)证明：.(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.故.（2）由题意可得不等式有解.因为，所以当时，等号成立，所以.故的取值范围为例题2．（2024·山东淄博·山东省淄博实验中学校联考模拟预测）已知．(1)讨论的单调性和极值；(2)若时，有解，求的取值范围．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1），当时，恒成立，函数在区间上单调递减，无极值；当时，令，得，，得，函数在区间上单调递减，，得，函数在区间上单调递增，当，函数取得极小值，综上可知，时，函数的单调递减区间是，无增区间，无极值；时，函数的单调递增区间是，单调递减区间，极小值，无极大值.（2）由题意可知，，时有解，则，在时有解，即，设，，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为，即，所以实数的取值范围是.例题3．（2023上·江苏连云港·高二校考期末）已知，它们的图象在处有相同的切线．(1)求与的解析式；(2)若在区间上存在单调递增，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），由题意可得，代入可得，解得，所以；（2），则，因为在区间上存在单调递增，所以不等式在上有解，即在上有解，令，则即可，，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以，所以，解得.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若存在，使得成立，求实数m的最小值.【答案】(1)极小值为，无极大值(2)4【详解】（1）由，令；令，∴在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，且为，无极大值；（2）由能成立，问题转化为，令，由；由，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，则，故m的最小值为4．2．（2023下·重庆渝北·高二重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知函数，且，其中．(1)求函数的单调区间；(2)若存在，使得成立，求实数b的取值范围．【答案】(1)递减区间是，递增区间是；(2).【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，由，得，即，当时，，当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的递减区间是，递增区间是.（2）由（1）知，，不等式，令，，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，，依题意，存在，成立，即，所以实数b的取值范围是.3．（2023·广西南宁·武鸣县武鸣中学校考三模）已知函数．(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值．(2)，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）函数的导数为，即有曲线在处的切线斜率为，由切线与直线垂直，可得，解得；（2）因为，使得成立，即，使得成立，由，则，当，即时，此时显然不满足，当，即有，，令，，则，由于，所以，所以函数在上单调递增，所以，所以，解得，则实数的取值范围是．题型四：重点考查等价转化法解决恒成立问题（形如）典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），．依题意知时，恒成立，即．令，，∴，∴在上单调递减，∴，∴，解得，∴实数a的取值范围为；（2）令，，则只需即可，∴．当时，，∴在上单调递减，∴，∴，即，∴．当时，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴要使，只需，即，解得，综上，实数a的取值范围为．例题2．（2023·全国·高三专题练习）设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线．(1)求函数，的解析式；(2)若对恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知,由于在处有公共点，且切线斜率相同在处有相同的切线．,即,（2）令，则对任意的恒成立，只需,又，，,，由于，所以，故令,解得，下面根据是否在进行分类讨论：①，在单调递增，，与已知矛盾（舍）.②，在单调递增．

，满足条件.③，则恒成立，故满足条件．综上所述：．例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，（其中为常数，为自然对数底数）.若恒成立，求的取值范围．【答案】【详解】由可知，，令，有，因为单调递增，，所以，当时，，令，则，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上单调递增，，所以，即；令，定义域为，则，令，则，令，则，所以在上单调递增，上单调递减，，所以，即故，即成立，即．精练核心考点1．（2023上·广东·高三执信中学校联考期中）已知函数，，，若恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】因为，则，设切点坐标为，则切线斜率，可得切线方程为，注意到为过定点，斜率为的直线，把代入切线方程可得，解得，即过定点的切线斜率为，若恒成立，则，

所以实数a的取值范围是.故答案为：.2．（2023上·天津北辰·高三校考阶段练习）已知函数，.（、）(1)当，时，求曲线在处的切线方程；(2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）当，时，，令，则，，，则有，即，故切线方程为；（2）当时，对任意的，，等价于对任意的，，即在上恒成立，令，，则，令，则，当时，，故在上单调递增，当时，，故在上单调递减，则，故.3．（2023上·北京丰台·高三统考期中）已知函数，．(1)当时，求函数的最大值；(2)若关于的不等式恒成立，求实数的值．【答案】(1)0(2)1【详解】（1）当时，函数，易知，，，当，，当，，即在区间上单调递增，在区间上单调递减，故最大值为.（2）令则，当时，由，即，得到，显然不合题意，故，由，得到，故当时，时，，时，，即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，由（1）知当时，恒成立，即恒成立，当时，时，，时，，即时，函数在区间单调递增，在区间上单调递减，又，，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，当，恒成立，即在区间上单调递增，又，所以，当时，，即，故时，不满足恒成立，综上所述，实数的值为.题型四：重点考查双变量不等式问题（形如）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，使得成立，等价为使得成立，由得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，，故在成立，当时，，设，，则，由，得，所以在递减，所以，则在递减，所以，则，所以．故选：A例题2．（2024上·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知，，若，使得成立，则实数的最小值是．【答案】【详解】因为，使得成立，等价于，，当时，，递减，当时，，递增，所以当时，取得最小值；因为，所以当时，取得最大值为，所以，即实数a的取值范围是．所以实数的最小值是.故答案为：例题3．（2023上·福建莆田·高三莆田一中校考期中）已知函数．(1)当时，求函数的最小值；(2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）因为函数，所以．设，则，故在上递减．，即，在上单调递减，最小值为．（2）令，则在上恒成立，即函数在上单调递减，所以，所以，即在上恒成立；又，当时，在区间上单调递增；在区间上单调递减．函数在区间上的最大值为．综上，只需，解得，即实数的取值范围是．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1）∵，∴，令，可得两根分别为1，，∵，∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．（2），，由（1）知，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，∴在上的最小值为．对，，使，即在上的最小值不大于在上的最小值，（*）又，∴①当时，，此时与（*）矛盾；②当时，，同样与（*）矛盾；③当时，，且当时，，解不等式，可得，∴实数b的取值范围为．精练核心考点1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对任意，，都有不等式成立，，，，则在区间上单调递增，∴，，，，则在上单调递增，，，则在上单调递减，，，故，综上，.故选：C2．（2023上·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数，对于，都，使，则的取值范围为.【答案】【详解】由得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，对于，，所以，由题意知对于，都，使，故，则，所以或，故答案为：.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中参数．(1)求函数的单调区间；(2)设函数，存在实数，使得不等式成立，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【详解】（1），（1）当时，，，的减区间是．（2）当时，，的减区间是．（3）当时，，，的增区间是，，的减区间是．综上，当时，减区间是；当时，增区间是，减区间是.（2），，因为存在实数，使得不等式成立，，，，,，，单减，，，单增．．，，，．4．（2024·全国·高三专题练习）设函数．(1)若函数在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；(2)当时，设函数，若在[上存在，使成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为函数在其定义域上为增函数，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，又（仅当x＝1时取等号），故a的取值范围为；（2）在上存在，，使成立，即当时，又，所以当时，，即函数在区间上单调递增，故，由（1）知，因为，又的判别式，①当时，则恒成立，即在区间上单调递增，故，故，即，得，又，所以；②当时，的两根为，，此时，，故函数在区间上是单调递增．由①知，所以综上，a的取值范围为．题型五：重点考查同构法解决不等式能成立问题典型例题例题1．（2024上·河北·高三石家庄精英中学校联考期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由，则，，当时，，恒成立，即任意，对恒成立；当时，，即，其中，构造函数，则.，因为，所以，单调递增；则有，则，构造函数，则，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，即当时，，故要使恒成立，则，即的取值范围为.故选：B.例题2．（2023·全国·模拟预测）已知是方程的一个根，则（

）A． B． C．2 D．3【答