第2课（B培优）等比数列（原卷版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第2课：等比数列教学目标1、理解等比数列的概念；2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项；3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列；4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用；5、会求无穷等比数列前n项和的极限；6、等比数列综合运用.重点1、理解等比数列的概念；2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项；3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列；4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用；5、会求无穷等比数列前n项和的极限；6、等比数列综合运用.难点等比数列综合运用.（一）等比数列及其通项公式知识梳理1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列叫做等比数列，而这个表示每一项与其前一项的比的常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.数学语言：或.注：公比时，数列是常数列.2、等比中项根据等比数列的定义，有,从而，即或（同号），在这两种情形下，成等比数列，此时叫做与的等比中项。【注释】【注释】①如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方必等于其前后两项的积；②同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个；③是与的等比中项，，成等比数列.3、通项公式，，为正整数4、等比数列的判定方法（1）定义法：（为正整数，是常数）或是等比数列。（2）中项法：(为正整数)且是等比数列。（3）通项公式法：是等比数列。例题精讲【例1】在等比数列中．（1）已知，，求；（2）在等比数列中，，，则____________．（3），，则____________．（4）等比数列中，，，则公比____________．（5）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为____________．【例2】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第____________组．（写出所有符合要求的组号）①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和．【例3】已知数列满足，现有如下命题：①若，成立，则数列为等比数列；②若，成立，则数列为等比数列；③若，成立，则数列为等比数列；④若，成立，若存在正数，使得数列为等比数列，则数列为等比数列.其中的真命题有_______________（写出所有真命题的序号）.巩固训练 1、（1）等比数列中，，，，则（）A．3 B．4 C．5 D．6（2）若等比数列满足，则其公比为（）A． B． C． D．（3）已知等比数列中，，，则该数列的通项____________．2、已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形3、已知数列、都是项数相同的等比数列，判断下列数列是等比数列是____________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨;⑩．4、设，，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比数列，若，，则的取值范围为_____________．（二）等比数列前n项和知识梳理1、等比数列的前项和公式前项和公式：或。注：若，则前项和可假设为：2、无穷等比数列的前项和的极限以为首项的无穷等比数列，当公比时，有例题精讲【例4】（1）已知等比数列的前项和为，且，，则____________．（2）已知等比数列的前项和为，则下列命题一定正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则（3）是等比数列的前项和，若，则____________．【例5】（1）等比数列的通项公式为，且存在，则实数的取值范围是____________．（2）已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，若恒成立，则的取值范围为_______________．（3）如图所示，正方形上连接等腰直角三角形，直角三角形上再连接正方形，如此无限重复下去，设正方形面积为、、、、、，三角形面积为、、、、、，当第一个正方形的边长为2时，则这些正方形和三角形的面积的总和为_______________．巩固训练 1、在无穷等比数列中，若，则的取值范围是________.2、等比数列首项为，公比为，若，则，．3、如图1，线段的长度为1，在线段上取两点，，使得，以为一边，在线段上方作一个正六边形，然后去掉线段，得图2中的图形；对图2中的最上方线段作同样的操作，得图3中的图形；以此类推，能够得到如图一系列图形．记第个图形（图1为第1个图形）中所有线段长的和为，则_______________．（三）等比数列综合知识梳理1、等比数列的性质:（1）若是等比数列，且，则，特别地，当时，.（2）数列为等比数列，则数列（为非零常数）为等比数列.（3）数列为等比数列，每隔（正整数）项取出一项仍为等比数列.（4）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列.（5）若为等比数列，则数列成等比数列.（6）当时，，则为递增数列，，则为递减数列.当时，，则为递减数列，，则为递增数列.当时，则为常数列；当时，该数列为摆动数列.在等比数列中，当项数为时，若是公比为的等比数列，则2、等差与等比的互变关系：（1）成等差数列成等比数列；（2）成等差数列成等差数列；（3）成等比数列（）成等差数列；（4）成等比数列成等比数列；例题精讲【例6】设无穷等比数列，则“”是“为递减数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【例7】已知数列，均为正项等比数列，，分别为数列，的前项积，且，则的值为____________．【例8】已知，若2是与等比中项，则的最小值为A． B． C． D．3【例9】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论：①；②；③的值是中最大的；④使成立的最大自然数等于198．其中正确的结论是A．①②④ B．②④ C．①② D．①②③④【例10】已知等差数列，其前项的和为，则下列结论不正确的是A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．若，，则 D．若，，则【例11】实数，满足且，由、、、按一定顺序构成的数列A．可能是等差数列，也可能是等比数列 B．可能是等差数列，但不可能是等比数列 C．不可能是等差数列，但可能是等比数列 D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【例12】已知单调递增的等比数列满足，且是，的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）若，，对任意正整数，恒成立，试求的取值范围．巩固训练 1、在正项等比数列中，和为方程的两根，则()A．16 B．32 C．64 D．2562、设等比数列共有项，奇数项之积为，偶数项之积为，若，，，则A．25 B． C．20 D．25或3、若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是A．若是递增数列，则， B．若是递减数列，则， C．若，则 D．若，则是等比数列4、已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为A． B． C． D．5、设数列的首项为常数，且．（1）判断数列是否为等比数列，请说明理由；（2）是数列的前项的和，若是递增数列，求的取值范围．实战演练实战演练一．填空题（共6小题）1、已知数列满足：，，则_______________.2、设是公比为的等比数列,令（）,若数列的连续四项在集合中,则等于_______________.3、等比数列中，，前项和为，满足，则__________.4、已知实数，若是与的等比中项，则的最小值是_________.5、设等比数列共有项，它的前项的和为100，后项之和为200，则该等比数列中间项的和等于_________．6、已知数列满足，且，表示数列的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是__________．二．选择题（共4小题） 7、在数列中，若，，，设数列满足，则的前7项和为（）.A．127 B．126 C．255 D．2548、已知是公比不为1的等比数列，数列满足：，，成等比数列，，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A． B．C． D．9、设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，并且满足条件：，，，下列结论中正确的是()A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最小值10、《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771