第1讲 分类讨论思想在导数解答题中的应用（解析版）

第1讲分类讨论思想在在导数解答题中的应用在解答某些数学问题时。有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法。是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。分类讨论思想在数学问题具有明显的。逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。导数中分类讨论思想的应用之所以难，是因为加入了参数，使得确定的函数变得不确定。因此，对参数的讨论而确定出函数的单调区间极值、最值趋势图像。在高考中每年必考的内容。利用导数来研究函数的单调性、极值、最值问题是高中数学的重要内容，分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。导数大题的共同点就是求完导数后往往转化为带参数的函数。因此，需要利用分类讨论来解决含参数的导数问题是近几年高考考察的一个重要重点和热点。导数是解决函数单调性、最值等问题十分有利的工具。【应用一】分类讨论思想在运用导数研究单调性的应用函数的单调性与导数的关系条件结论函数y=f(x)在区间(a,b)上可导f'(x)>0f(x)在(a,b)内单调递增

f'(x)<0f(x)在(a,b)内单调递减

f'(x)=0f(x)在(a,b)内是常数函数

可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是∀x∈(a,b),都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.【例1.1】（2023年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷））已知函数．（1）讨论的单调性；【解析】【分析】先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【变式1-1】（2022年江苏徐州市中学高三月考模拟试卷）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：.【答案】（1）当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为与，单调递减区间为；当时，单调递减区间为与，单调递增区间为；（2）详见解析.【解析】【小问1详解】，当时，，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，，令得，当或时，单调递增，当时，单调递减，当时，当或时，单调递减，当时，单调递增，综上：当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，单调递减区间为和，单调递增区间为；【小问2详解】要证，即证，令，，令，，显然在上为增函数，所以，在上为增函数，又，，即，当时，为减函数，当时，为增函数，，令，显然在上为减函数，所以，，所以，，即当时，成立.【变式1-2】（2022年福建德化高中模拟试卷）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个极值点，证明：．【解析】（1）定义域为，且，令得，或，①当时，与，，单调递增，，，单调递减，②当时，，在单调递增，③当时，与，，单调递增，，，单调递减，综上，当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间单调递减；（2）由已知，，则，函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，令，只需，故，又，，所以，要证，即证，只需证，令，，则，令，则恒成立，所以在上单调递减，又，，由零点存在性定理得，使得，即，所以时，，单调递增，时，，单调递减，则，∵由对勾函数知在上单调递增，∴，∴，即，得证．【变式1-3】（2022·辽宁·育明高中一模）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有3个零点，求a的取值范围.（其中常数…，是自然对数的底数）【分析】（1）先求导，需要分类讨论，分当a≤0时，当0＜a＜1时，当a＝1时，当a＞1时，根据导数和函数的单调性求出即可.（2）将问题转化为与的图像有三个交点，借助第一问的单调性得到极值，在每一类情况下通过构造函数解不等式，求得a的范围，取交集即可．【详解】因为，其定义域为，则，且，①若a≤0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，即函数f（x）在（0，1）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（1，+∞）单调递减，②当0＜a＜1时，令f′（x）＝0，解得x＝1，或x＝a，当a＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞1或0＜x＜a时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以f（x）在（a，1）上单调递增，在（0，a），（1，+∞）单调递减；③当a＝1时，f′（x）0恒成立，即函数f（x）在（0，+∞）单调递减；④当a＞1时，当1＜x＜a时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞a或0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以f（x）在（1，a）上单调递增，在（0，1），（a，+∞）单调递减.（2）令，即有且仅有3个零点，∴依题意，与的图像有三个交点，∴由（1）知，必有和，①当0＜a＜1时，f（x）在（a，1）上单调递增，在（0，a），（1，+∞）单调递减；∴f（x）的极小值为，极大值为，又，∴与的图像至多有1个交点，所以舍去；②当a＞1时，f（x）在（1，a）上单调递增，在（0，1），（a，+∞）单调递减.∴f（x）的极小值为，极大值为，∴只有当成立，与的图像才有三个交点，当时，，下面只需要求解不等式即的解集，令，则等价于设，则，令，则，令，则，且当t＜2时，u′（t）＞0，函数u（t）单调递增，当t＞2时，u′（t）＜0，函数u（t）单调递减，又，所以，即单调递减，又，所以时，，即，得到，综上【思维提升】导数的单调性就是解关于导数的不等式，即f'(x)>0或f'(x)<0。最终要转化为解方程f'(x)=0，对于方程的解由三种题型，一是能进行因式分解得到方程的跟，进而对方程的跟进行比较大小。而是方程的根不能因式分解就要运用求根公式进行求解，要特别注意此方程有无实根。三是给定区间的讨论，此类问题要对方程的根与区间的端点进行讨论。【应用二】分类讨论思想在运用导数研究零点的应用函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式总是十分复杂，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化趋势等求解；【例2】【2022年全国乙卷】已知函数f(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f(2)若fx在区间-1,0,0,+【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a分类讨论,对x分(-1,0),(0,+∞(1)f(x)的定义域为(-1,+当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xex,f(0)=0,所以切点为所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x(2)f(x)=设g(x)=1°若a>0,当x∈(-1,0),g(x)=ex所以f(x)在(-1,0)上单调递增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(-1,0)上没有零点,不合题意2°若-1⩽a⩽0,当x∈(0,+∞)所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a⩾0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增故f(x)在(0,+∞)上没有零点3°若(1)当x∈(0,+∞),则g'(x)=exg(0)=1+a<0,g(1)=所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f当x∈(0,m),f当x∈(m,+∞所以当x∈(0,m),f(x)<f(0)=0当x→+所以f(x)在(m,+∞又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞(2)当x∈(-1,0),g(x)=设h(x)=所以g'(x)在(-1,0)所以存在n∈(-1,0),使得g当x∈(-1,n),g当x∈(n,0),g'(x)>0,g(x)又g(-1)=所以存在t∈(-1,n),使得g(t)=0,即f当x∈(-1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减有x→-1,f(x)→-而f(0)=0,所以当x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(-1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(-1,0)上有唯一零点所以a<-1,符合题意所以若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a【点睛】方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.【思维提升】函数的零点问题是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从本质上看还是与函数的单调性密切相关，果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.分类讨论求函数的零点个数问题，属于难题.分类讨论求函数的零点时，（1）先从函数有无零点得到参数的一个范围；（2）函数有零点时，再判断函数零点是否在给定区间内，得到参数下一步的范围【变式2-1】（2022年广东真光中学-深圳二高高三月考模拟试卷）已知函数，，在上有且仅有一个零点.（1）求的取值范围；（2）证明：若，则在上有且仅有一个零点，且.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【小问1详解】，设，，①当时，若，则，在上无零点，不符合题意；②当时，若，则，∴在上单调递增，∴，∴在上无零点，不符合题意；③当时，若，则，∴在上单调递增，∵，，∴存在唯一，使得.当时，；当时，，故在上单调递减，在上单调递增，∵，，故在上有且仅有一个零点，符合题意；综上，的取值范围为.【小问2详解】记，，由（1）知：若，当时，，，当时，，，故在上单调递减，在上单调递增，又，，故存在唯一，使得，且.注意到，可知在上有且仅有一个零点，且，即.【变式2-2】（2022·湖南·模拟预测）已知函数，（e是自然对数的底数，．(1)求函数的最小值；(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）对函数进行求导，根据导数与0的关系判断单调性得其最小值；（2）对进行二次求导，分为，和三种情形，根据导数判断函数的单调性结合零点存在定理得结果.(1)因为，，所以，因为在上单调递增，且，所以，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以．(2)由题设：所以，令，因为，则，所以在上单调递增；当时，由（1）知只有一个零点，不合题意，当时，因为在上单调递增，且，，故存在，使得，即，，所以当时，，在区间上单调递减．当时，，在区间上单调递增，所以，则．所以没有零点，不合题意；当时，因为在区间上单调递增，且，，所以存在满足，所以，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以，又，先证：，设，，当时，，单调递减，当时，.单调递增，所以，当且仅当时取等号，因为，所以，又因为，且所以，，，，所以时，有且仅有两个零点，，故实数a的取值范围为．【点睛】利用导数研究函数的最值主要是通过导数判断函数的单调性，若导函数含有参数，要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定可考虑判别式、零点分布等知识，对于函数的零点主要依据为函数图象与轴交点的情形，难点在与端点处函数值符号的判定.【变式2-3】（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）已知，.(1)讨论的单调性；(2)若函数与的图象恰有一个交点，求的取值范围.【答案】(1)当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；(2)或【分析】（1）直接求导，讨论和，求出对应单调区间即可；（2）将题设转化为有一个零点，由知函数除0之外无其他零点，分，，和依次讨论函数的零点情况，即可求解.(1)易得，，当时，恒成立，在单调递增；当时，令，解得，令，解得，则在单调递增，在单调递减；综上：当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；(2)函数与的图象恰有一个交点，等价于有一个零点，，显然，即函数除0之外无其他零点，，令，，当时，，则，即在单调递减，当时，当时，，则，当时，，则，当时，，则，即除0之外无其他零点，符合题意；当时，当时，，即在上单调递减，又，则存在使，即在单增，单减，又，时，，故在至少存在1个零点，不合题意；当时，当时，由上知在单调递减，，则在单调递增，即，当时，令，则，即单调递减，，即，令，则，即单调递减，，即，则，即除0之外无其他零点，符合题意；当时，当时，由上知在单调递减，又，，，则存在使，即在单增，单减，又，时，，故在存在1个零点，不合题意；综上：或.【点睛】本题的关键点在于将题设转化为有一个零点，由知函数除0之外无其他零点，然后借助分类讨论分，，和依次分析函数的零点情况即可求解【变式2-4】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数.(1)当m＝1时，求f（x）在[1，e]上的值域；(2)设函数f（x）的导函数为，讨论零点的个数.【答案】(1)(2)答案详见解析【分析】（1）通过多次求导的方法判断出在区间上的单调性，由此求得在上的值域.（2）令，对进行分类讨论，结合导数判断出零点个数.(1)当时，，，′所以在上递增，，所以在上递增，，所以在上递增，.所以在上的值域.(2)，，当时，，，即是的唯一零点.当时，，结合的图象以及性质可知，，在区间递减；在区间递增，所以，故.，，所以在区间递减；在区间递增，所以，所以在区间上有.所以，没有零点.当时：令，，所以在上递增，由与的图象可知，在区间上，存在唯一，使①，即.所以在区间递减；在区间递增，所以当时，取得极小值也即是最小值，由①得，所以；由①得，所以，当且仅当时等号成立.所以当，即时，，则也即没有零点；当，即时，也即有唯一零点.当，即，，则也即有个零点.综上所述：当或时，有唯一零点；当时，没有零点；当，时，有个零点.【点睛】在利用导数求解函数单调性、极值、最值的过程中，若一次求导无法解决的，可考虑二次或多次求导来进行求解.求解过程中要注意导函数和原函数之间的关系【应用三】分类讨论思想在运用导数研究极值与最值的应用若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.

若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.

极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.函数的最值1.在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.2.若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

【例3.1】（2022年广东梅州市高三月考模拟试卷）已知函数.（1）求的极值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．【解析】【小问1详解】解：函数的定义域为，，当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；当时，令，则，时，，在单调递减；时，，在单调递增；故在取极小值，且，无极大值综上，当时，无极值；当时，在取极小值，且，无极大值.【小问2详解】解：∵，∴，即且∴且，即，为的两个零点∴由（1）知，当时，在取极小值，且，故又∵，∴，又∵恒成立，∴对任意恒成立，∵，∴，且∴对任意恒成立∴令，则，对任意恒成立，则.∴对任意恒成立令，则当，即时，恒成立故在为单调递增函数，又∵，∴对恒成立当，即时，为单调增函数，又∵，，∴使，当时，，故在单调递减∴当时，，不合题意综上，实数的取值范围为.【例3.2】（2022·河北保定·高三期末）已知函数.(1)若，讨论在上的单调性；(2)若函数在上的最大值小于，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【解析】【分析】（1）先对函数求导，然后分和判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间，（2）由题意得，然后分，，和四种情况求在的最大值，使其最大值小于，从而可求出的取值范围(1).令，得；令，得.当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.(2)由题意得.若，，则在上单调递增，，不合题意.若，则在上单调递增，，不合题意.若，则在上单调递减，在上单调递增，或.当时，；当时，，则.若，则在上单调递减，.综上，的取值范围是.【思维提升】函数的极值问题归根还是要转化为研究函数的单调性。函数的最值问题也好根据单调性确定函数何时取得最值。因此，函数的单调性与最值问题要转化为函数的单调性的讨论问题。【变式3-1】【2019年新课标3卷理科】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.【答案】(1)见详解；(2)或.【解析】【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2)根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.【详解】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，即，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.即相减得，解得，又因为，所以无解.若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为即解得.综上得或.【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充【变式3-2】（2022·山东·胜利一中模拟预测）已知函数（…是自然对数的底数）．（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．【答案】（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）若在内有两个极值点，则在内有两个不相等的变号根，等价于在上有两个不相等的变号根．令，分类讨论有两个变号根时的范围；（2）化简原式可得：，分别讨论和时的单调性，可得的最小值，分类讨论最小值与0的关系，结合的单调性可以得到零点个数.【详解】（1）由题意可求得，因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，即在上有两个不相等的变号根．设，则，①当时，，所以在上单调递增，不符合条件．②当时，令得，当，即时，，所以在上单调递减，不符合条件；当，即时，，所以在上单调递增，不符合条件；当，即时，在上单调递减，上单调递增，若要在上有两个不相等的变号根，则，解得．综上所述，．（2）设，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．（ⅰ）当时，，则，所以．因为，所以，因此在上单调递增．（ⅱ）当时，，则，所以．因为即，又所以，因此在上单调递减．综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0，当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1，当，即时，①当时，，要使，可令，即；②当时，，要使，可令，即，所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2，综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，当时，关于x的方程根的个数为2．【应用四】分类讨论思想在运用导数研究恒成立问题的应用恒成立问题便是考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方程、不等式等知识为载体，渗透转化与化归、分类讨论等思想方法。近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数知识密不可分。遇到恒成立问题，我们的第一想法大多是利用函数与方程的思想进行分类讨论进行求解，【例4】（2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷））已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程．（2）若函数在单调递增，求的取值范围．【解析】【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【小问1详解】当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.【小问2详解】由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．【思维提升】函数的恒成立问题在高考中常见由两种解决途径。一是进行参数分离。构造新函数，转化为求函数的最值问题，这种方法主要困难就是一阶求导后方程的根不易求。要涉及到二次求导；二是转化为函数与方程。通过函数的零点问题进行讨论。通过分类讨论的方法是这种题目常用的方法。【变式4-1】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）设函数.(1)若曲线在点处的切线斜率为，求的值；(2)若存在两个极值点，且对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出，令，求解可得答案；（2）令得，，当由可得，令，求导利用单调性可得答案；当根据，令可得求解可得答案.【详解】（1），所以，解得；（2），令得，解得，或时且，当即时，，对任意恒成立，得可得，，时成立，时，有在恒成立，令，，所以在单调递减，有，所以；当即时，，对任意恒成立，求实数的取值范围，即在上恒成立，因为，可得，解得，当即时，重合，不符合题意，综上所述，或.【变式4-2】（2023·云南红河·统考一模）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行．(1)求a的值；(2)若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根据题意先求出函数的导数，利用导数的几何意义求出实数的值即可；(2)将不等式等价转化为在上恒成立，构造函数，求导，利用导数分类讨论函数的单调性，求得最值即可求解.【详解】（1）由题意可知：的定义域为．，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，即．解得：或，由已知条件，故可求得实数．（2），不等式，即．设，，则恒成立．，令，．①若，则，在上单调递增，，不符合题意；②若，则，二次函数的对称轴，在上单调递增，则，，所以，不符合题意；③若，则，（ⅰ）当，即时，在上单调递减，，所以，在上单调递减，，符合题意；（ⅱ）当，即时，在上单调递增，此时，，不符合题意；综上所述，m的取值范围为【变式4-3】（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知函数（为自然对数的底数）.(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）先判断在上单调递增，再利用单调性解不等式得解；（2）等价于对恒成立，令，利用二次求导对分类讨论求函数的最大值得解.【详解】（1）解：，由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.（2）解：对恒成立令，，，在上单调递减，，若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.若，即时，（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.综上：实数的取值范围为.巩固练习1、（2023年全国新高考Ⅱ卷）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【解析】【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为2、【2021年新高考2卷】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点①；②．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；(2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论.【详解】(1)由函数的解析式可得：，当时，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；当时，在上单调递增；当时，若，则单调递增，若，则单调递减，若，则单调递增；(2)若选择条件①：由于，故，则，而，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.若选择条件②：由于，故，则，当时，，，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.当时，构造函数，则，当时，单调递减，当时，单调递增，注意到，故恒成立，从而有：，此时：，当时，，取，则，即：，而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.，由于，，故，结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.综上可得，题中的结论成立.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．3、（2022年河北衡水中学高三月考模拟试卷）已知函数，.（1）当时，①求曲线在处的切线方程；②求证：在上有唯一极大值点；（2）若没有零点，求取值范围.【答案】（1）①；②证明见解析（2）【解析】【小问1详解】若，则，.①在处，，.所以曲线在处的切线方程为.②令，，在区间上，，则在区间上是减函数.又，所以在上有唯一零点.列表得：+-极大值所以在上有唯一极大值点.【小问2详解】，令，则.①若，则，在上是增函数.因为，，所以恰有一个零点.令，得.代入，得，解得.所以当时，的唯一零点为0，此时无零点，符合题意.②若，此时的定义域为.当时，，在区间上是减函数；当时，，在区间上是增函数.所以.又，由题意，当，即时，无零点，符合题意.综上，的取值范围是.4、（2022年江苏镇江中学高三月考模拟试卷）已知函数.（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的x>1，f（x）>0恒成立，求实数a的取值范围；（3）证明：若函数f（x）有极值点，则f（x）必有3个不同的零点.【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【解析】【小问1详解】定义域为，令，即，（i）若，即时，在上单调递增.（ii）若时，在上恒成立，则有，在上单调递增.（iii）若时，令，则；当时，有；当时，有.因此在上