2023年上海市高考数学考前20天复习-13 圆锥曲线大题综合学生版

13圆锥曲线大题综合

1.(2023•上海杨浦•统考二模)已知椭圆C:J+/=l(">0)的右焦点为尸，直线

(2)若直线/与椭圆C交于A,B两点,且：AfiO的面积为十，求。；

(3)若椭圆C上存在点尸，过户作直线/的垂线乙，垂足为“，满足直线4和直线FH的夹

角为;，求。的取值范围.

4

22

2.(2023•上海•统考模拟预测)已知椭圆「：二+匕=1(机>0,"z≠√5).

m~3

(1)若〃7=2,求椭圆Γ的离心率；

⑵设4,4为椭圆r的左右顶点，若椭圆「上一点E的纵坐标为1,且EVE42=-2,

求m的值；

，2

(3)若P为椭圆r上一点，过点P作一条斜率为G的直线与双曲线工-王=ι仅有一个

5"5

公共点，求，〃的取值范围.

3.(2023・上海静安•统考一模)己知椭圆「：⅞+4=l(a>A>0)的离心率为立，

a2b~3

它的上顶点为A,左、右焦点分别为耳(fθ),用(GO)(常数c>0),直线44，4巴分

别交椭圆「于点8,C.。为坐标原点.

(2)如图，设椭圆「外一点P在直线8。上，点P的横坐标为常数〃7(加>〃)，过P的动

MPMQ

直线/与椭圆「交于两个不同点M、N,在线段MN上取点。，满足丽=萧，试证

明点。在直线23+0冲一6(?=O上.

4.(2023•上海黄浦•统考一模)己知椭圆C:£+*l(a>b>0)的离心率为"以其

四个顶点为顶点的四边形的面积等于8√L动直线4、4都过点M(O，〃。(。<相<1)，斜率

分别为鼠-3k,4与椭圆C交于点A、P,4与椭圆C交于点8、。，点P、Q分别在

第一、四象限且PQl∙x轴.

ʃf

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若直线4与X轴交于点M求证：INH=2∣MN|；

(3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线4的方程.

5.(2023•上海崇明•统考二模)已知椭圆八一+5=1(m>0,mH√Σ),点A,B分别是

椭圆厂与丫轴的交点(点A在点8的上方)，过点。(0,1)且斜率为Z的直线/交椭圆「于

E,G两点.

(1)若椭圆「焦点在X轴上，且其离心率是它，求实数W的值；

2

(2)若E=左=1,求」BEG的面积;

(3)设直线AE与直线y=2交于点”，证明：B,G,”三点共线.

6.(2023•上海普陀•统考二模)在Xoy平面上.设椭圆「：-⅛+/=l(w>l),梯形ABeo

m'

的四个顶点均在r上，且AB//CD.设直线AB的方程为V="(AWR)

第(3)题图

⑴若48为「的长轴，梯形ABCD的高为方，且C在4B上的射影为「的焦点，求〃?的

值;

(2)设机=0,直线CD经过点P(0,2),求OC.OO的取值范围;

(3)设nι=0,∣ABj=2∣CD[,AO与8C的延长线相交于点M,当左变化时，Z∖M4B的

面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

22

7.(2023•上海静安•统考二模)己知双曲线八土方=I其中α>°6°)的左、右

焦点分别为K(~cf0)、F2(C,0)(其中c>0).

(1)若双曲线「过点(2,1)且一条渐近线方程为y=#x；直线/的倾斜角为在y

轴上的截距为-2.直线/与该双曲线〃交于两点A、B,M为线段AB的中点，

的面积;

(2)以坐标原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线「在第一象限的交点为P.过尸

作圆的切线，若切线的斜率为-√5,求双曲线「的离心率.

8.(2023•上海闵行•统考二模)己知。为坐标原点，曲线C∣：1•-丁=1(〃>0)和曲线C?：

22

上+匕=1有公共点，直线生y=勺X+4与曲线Cl的左支相交于A、B两点,线段AB

42

的中点为M.

(I)若曲线G和C?有且仅有两个公共点，求曲线G的离心率和渐近线方程:

⑵若直线OM经过曲线G上的点τ(3,-l),且为正整数，求”的值；

(3)若直线&：y=a/+/与曲线Cz相交于C、。两点，且直线OM经过线段CC中点N,

求证：⅛,2+^>l.

9.(2023•上海黄浦•统考二模)已知双曲线C的中心在坐标原点，左焦点Fl与右焦点尸2

∣AR∣∙∣B7ζ∣

都在X轴上，离心率为3，过点F2的动直线/与双曲线C交于点A、8.设Wi="

(1)求双曲线C的渐近线方程；

(2)若点A、8都在双曲线C的右支上，求义的最大值以及4取最大值时ZAKB的正切值;

(关于求2的最值.某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值;

②设图为〃，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线/的斜率为总建立相应

IABl

数量关系并利用它求最值).

(3)若点A在双曲线C的左支上(点A不是该双曲线的顶点，且/=1,求证：耳8是

等腰三角形.且AB边的长等于双曲线C的实轴长的2倍.

/2

10.(2023•上海金山•统考二模)己知椭圆「：了+v==1(0<%<2).

(1)已知椭圆「的离心率为求椭圆「的标准方程；

2

(2)已知直线/过椭圆「的右焦点且垂直于X轴，记/与r的交点分别为A、B,4、B两

点关于y轴的对称点分别为A'、B',若四边形AB比4'是正方形，求正方形ABBH的内

切圆的方程；

(3)设。为坐标原点，P、。两点都在椭圆「上，若AOPQ是等腰直角三角形，其中NoPQ

是直角，点P在第一象限，且。、R。三点按顺时针方向排列，求6的最大值.

11.(2023•上海长宁•统考二模)已知抛物线「：y2=4χ的焦点为产，准线为/,直线厂

经过点F且与「交于点A、B.

(1)求以尸为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为T的椭圆的标准方程；

⑵若∣A8∣=5,求线段AB的中点到X轴的距离；

(3)设。为坐标原点，M为「上的动点，直线A/、分别与准线/交于点C、D求证：

OC∙OD为常数.

12.(2023•上海徐汇•统考二模)已知椭圆C：3+y2=ι(r>ι)的左、右焦点分别为

F?,直线/：y="+，MaHO)与椭圆C交于M、N两点(M点在N点的上方)，与)♦轴

交于点E.

(1)当r=2时，点A为椭圆C上除顶点外任一点，求44月鸟的周长；

⑵当r=3且直线/过点O(TO)时，TSLEM=λDM.EN=μDN,求证：几+〃为定值，

并求出该值；

(3)若椭圆C的离心率为日，当％为何值时，|。M「+口叫2恒为定值；并求此时ZJWON

面积的最大值.

13.(2023∙上海嘉定•统考二模)若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公

共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点.已知抛物线C∣:y2=4ax

和C2：x2=4y,其中α>0.G与G在第一象限内的交点为P∙Cl与C2在点P处的

切线分别为4和3定义4和4的夹角为曲线G、C2的夹角.

(1)求点P的坐标；

3

⑵若G、G的夹角为arctan5，求。的值；

4

(3)若直线4既是Cl也是G的切线，切点分别为Q、R,当APQR为直角三角形时，求出

相应的。的值.

14.(2023•上海•统考模拟预测)已知点F是抛物线V=4x的焦点，动点尸在抛物线上，

设直线/与抛物线交于RE两点(P、O、E均不重合).

y-

Ok'Fx

(1)若/经过点F,∣DF∣=3,求E点坐标;

(2)若。F=PE，证明：直线DE过定点；

⑶若ZDPF=ZDEF且ZEDP=NEFP,四边形DP/方面积为正，求直线/的方程.

15.(2023•上海青浦•统考二模)如图，已知A、B、C是抛物线和：f=y上的三个点,

且直线C4、CB分别与抛物线「2：y2=4x相切，F为抛物线J的焦点.

(1)若点C的横坐标为Z，用马表示线段CF的长；

(2)若C4LCB,求点C的坐标；

(3)证明：直线AB与抛物线口相切.

16∙(2023∙上海浦东新•统考二模)椭圆C的方程为V+3y2=4,A、8为椭圆的左右顶

点，"、鸟为左右焦点，尸为椭圆上的动点.

(1)求椭圆的离心率：

(2)若aPGE为直角三角形，求鸟的面积；

(3)若。、R为椭圆上异于P的点，直线也、PR均与圆/+丁=产(0<,.<1)相切，记直

线尸。、网的斜率分别为仁、月，是否存在位于第一象限的点尸，使得K&2=1?若存在，

求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

17.(2023•上海宝山•统考二模)已知抛物线「：y2=4x.

(1)求抛物线「的焦点尸的坐标和准线/的方程;

(2)过焦点尸且斜率为方的直线与抛物线「交于两个不同的点A、B,求线段AB的长；

(3)已知点P(l,2),是否存在定点Q,使得过点。的直线与抛物线「交于两个不同的点

例、N(均不与点P重合)，且以线段MN为直径的圆恒过点P?若存在，求出点Q的坐

标；若不存在，请说明理由.

r2v2

18.(2023•上海松江•统考二模)已知椭圆G:土+4=1的左、右焦点分别为片、F2,

2Zr

22

离心率为q；双曲线G：5-方=1的左、右焦点分别为瑞、Fi,离心率为R,

e「e『与.过点”作不垂直于y轴的直线/交曲线G