4.5.3 函数模型的应用解析版

4.5.3《函数模型的应用》分层练习考查题型一根据实际问题增长率选择合适的函数模型1．在一次物理实验中某同学测量获得如下数据：123455.38011.23220.18434.35653.482下列所给函数模型较适合的是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】由数据中y随x的变化情况，分析适用的函数模型.【详解】由所给数据可知y随x的增大而增大，且增长速度越来越快，而A中的函数增长速度保持不变，B中的函数增长速度越来越慢，C中的函数是随x的增大而y减小，D中的函数符合题意.故选:D．2．有一组实验数据如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．B．C． D．【答案】C【详解】根据表中数据，作出数据的散点图，如图所示，结合选项，函数的增长速度越来越缓慢，不符合题意；函数随着的增大，不断减小，不符合题意；函数的增长速度越来越快，符合题意；函数增长速度不变，不符合题意；所以最接近的一个函数是，故选：C3．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③(其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为．【答案】③【详解】由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢，因此满足先上升后下降再上升的是，∵，且，∴，解得，∴.故答案为：③；4．加快县域范围内农业转移人口市名化，是“十四五”期间我国城镇化和城市化战略的实践重点．某高二数学兴趣小组，通过查找历年数据，发现本县城区常住人口每年大约以的增长率递增，若要据此预测该县城区若干年后的常住人口，则在建立模型阶段，该小组可以选择的函数模型为（

）A．B．且C．D．且【答案】B【详解】由题意可知，该县城区常住人口每年大约以的增长率递增，则该县区城区常住人口与年份的函数关系为指数型函数.故选：B.5.改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约．通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：上市时间x（天）81032市场价y（元）826082(1)根据上表数据，从下列函数：①；②中选取一个恰当的函数刻画纪念章市场价y与上市时间x的变化关系，并说明理由；(2)利用你选取的函数，求纪念章市场价的最低价格及其上市天数．【答案】(1)选择模型，理由见解析；(2)10元，20天.【详解】（1）由表格可知，随着上市时间的增加，市场价先减少、后增大，而函数为单调函数，严格单调递增或严格单调递减，故不符合题意，所以选择模型．（2）把，代入，得到：，解得，故．所以，上市天数为20时，市场价最低，最低价格为10元．考查题型二不同函数模型的应用1．2020年国内航空公司规定:旅客乘机时，随身携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过，否则行李箱就需托运.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的长为，宽比高少，则符合此规定的行李箱的最大容积为.（忽略箱体厚度）

【答案】44000【详解】根据题意可设行李箱的长，宽，高分别为；则可知，且；整理可得，，解得；行李箱的容积为，根据二次函数性质可知在上单调递增，即时体积最大；此时.故答案为：2.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看20分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x与距离y之间的关系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】小明父亲行走的前20分钟路程一直在增加，到900米之后停下看报纸，20分钟至40分钟路程不增加，40分钟至60分钟回家过程中，路程减少至0，因此A中图象符合题意.故选：A3.已知某种果蔬的有效保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）近似满足函数关系（，为常数，为自然对数底数），若该果蔬在的保鲜时间为216小时，在的有效保鲜时间为8小时，那么在时，该果蔬的有效保鲜时间大约为小时.【答案】【详解】依题意，两式相除得，则，所以当时，小时.故答案为：4.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却．后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为（参考数据：，）A．B．C． D．【答案】D【详解】依题意，由的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，得，解得，该物体的温度降至需要冷却的时间为，则，于是，两边取对数得，所以该物体的温度降至还需要冷却的时间约为.故选：D考查题型三利用给定函数模型解决实际问题1.研究发现，X射线放射仪在使用时，其发射器发出的射线强度、接收器探测的射线强度与射线穿透的介质厚度（单位：毫米）满足关系式，其中正实数为该种介质的吸收常数．工作人员在测试某X射线放射仪时，向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板，发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了90%．现想让接收器探测到的射线强度会比插入金属板前下降%．则需要向发射器与接收器之间插入金属板的厚度至少为（

）A．毫米 B．毫米 C．毫米 D．毫米【答案】D【详解】向发射器与接收器之间插入了厚5毫米的金属板，发现接收器探测到的射线强度比插入金属板前下降了%，则，有，接收器探测到的射线强度会比插入金属板前下降%时，，解得.则需要向发射器与接收器之间插入金属板的厚度至少为毫米.故选：D2.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是，空气的温度是，则后该物体的温度可由公式求得．若将温度分别为和的两块物体放入温度是的空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过，至少要经过（

）（取：）A． B． C． D．【答案】C【详解】的物块经过后的温度的物块经过后的温度．要使得这两块物体的温度之差不超过，即须使，解得，即至少要经过5.52min．故选：C.3.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为(为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为万元.【答案】125【详解】因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，所以，即当今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为，故答案为：4.研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产（单位：百辆）新能源汽车需另投入成本（单位：万元），且如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）(1)求2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)；(2)100百辆，最大利润为1800万元．【详解】（1）∵∴当时，，当时，．故（2）由（1）得当时，，∴；当时，，当且仅当，即时等号成立，故．∵，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．考查题型四建立拟合函数模型解决实际问题1.某市年国民生产总值为亿元，计划在今后的年里，平均每年增长，问年该市国民生产总值可达亿元．（精确到亿元）【答案】【详解】设该市国民生产总值在年后的第年为亿元，则：第年：，第年：，，第年：，第年：（亿元）．故答案为：.2.一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为米．

【答案】2080【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为，设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：，解得：∴小明家到学校的路程为：（米）.故答案为：2080．3.为了方便进行核酸检测，某市拟建造一批外形为长方体的核酸检测工作房，如图所示．房子的高度为，占地面积为，墙体和的造价均为800元，墙体和的造价均为1200元，地面和房顶的造价共20000元．则一个这样的工作房的总造价最低为元．【答案】48800【详解】设，，则，则这样的工作房总造价为，因为，当且仅当，即时等号成立，所以一个这样的工作房的总造价最低为48800元.故答案为：48800.4.某商人购货，每件货物的进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一个新价，以便按新价让利20%销售后仍可获售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是.【答案】.【详解】设每件货物的新价为b，则售价为，进价为，依题意，每件获利，解得，所以.故答案为：1.某企业用1960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋（，）层，每层2800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为（单位：元）．若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2000元，（注：综合费用＝建筑费用＋购地费用），则该楼房最多建的层数为（

）A．11 B．8 C．12 D．10【答案】C【详解】设该楼房每平方米的平均综合费用为元，则，即，则，解得．因为，所以该楼房最多建12层．故选：C.2.今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（）（参考数据:）A．年 B．年 C．年 D．年【答案】B【详解】由题意得:，解得，所以，当时，得，即，两边取对数得，所以，即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.故选：B.3.许多建筑物的地板是用正多边形的地砖铺设而成的（可以使用多种正多边形的地砖）.用正多边形地砖可以铺出很多精美的图案，如图.若用边长相等的正多边形地砖铺满地面，且保持每块地砖完整不受损坏，则至少使拼接在同一顶点处的所有正多边形地砖的内角和恰为.现用正多边形地砖给一个地面面积较大的客厅铺设地板（所有类型地砖边长均相等），要求每块地砖完整不受损坏，铺设地砖后无空余地面（不考虑客厅墙角和周边地带），每个顶点周围只有3块正多边形地砖拼接在一起，则在某一顶点处的拼法（不考虑排列顺序）最多有（

）A．16种 B．15种 C．4种 D．5种【答案】C【详解】一个正边形各内角的和是，则每个内角为.设在顶点处有块砖拼凑在一起，它们的边数分别为，则有，即，所以，.（1）由（1）式可得.当时，，（2）设（2）式的一组解为，首先求出（2）式的全部整数解.①当时，由（2）式可解得.这组解给出的正多边形可以铺设地板，如图所示.故这时只有一种拼法.②当中恰有两个相等，不妨设，由（2）式得，即，易知（2）式的全部解为=（5,5,10），（8,8,4），（12,12,3），依题设可知用正五边形和正十边形铺设地面，一定会出现两个正十边形有一条边重合的情况，这时，要铺满地面，另一个角是72°，而正五边形的1个内角是108°，则（5,5,10），不合要求.而对于解（8,8,4），（12,12,3），给出的拼接方法符合要求，如图2和图3.故这时有两种拼法.③当两两不相等，不妨设，由（2）式得，即.类似②对于解（5，5，10）不能铺设地面的讨论可知，必须是偶数，同理可得，都是偶数.由知，，代入（2）式得，.则，解得.故可推出，则.从而两两不相等的解为（4,6,12）能铺设地面，它们对应一种拼法，如图.综上，满足条件的拼法最多有4种.故选：C.4.第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一套机器人，包括三个：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.某公益团队计划举办杭州亚运会吉祥物的展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设