2023年高考数学一轮复习讲义：第七章 7-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

§7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

【考试要求】1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组2了解二元一次不等式的几何意义，

能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问

题，并能加以解决.

・落实主干知识

【知识梳理】

1.二元一次不等式（组）表示的平面区域

不等式表示区域

Ax+By+OO直线Ar+8），+C=O某一侧所有点不包括边界

Λv+By+C>0组成的平面区域包括边界

不等式组各个不等式表示的平面区域的公共部分

2.线性规划中的基本概念

名称意义

约束条件由变量X,y组成的不等式（组厂

线性约束条件由X,V的一次不等式（或方程）组成的不等式组

目标函数关于一），的函数解析式，如z=2x+3），等

线性目标函数关于X,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解（x,y）

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.（√）

⑵不等式Ar+8y+O0表示的平面区域一定在直线Ar+8y+C=O的上方.（X）

（3）点（Xl,yI）,（X2,弊）在直线Ax+8），+C=O同侧的充要条件是（AX1+Byi+C）（Ar2+By2+O>0,

在异侧的充要条件是（AM+Byt+C）（AX2+gy2+C）<O.（√）

（4）目标函数z="x+ay（b≠0）中，z的几何意义是直线ax+外一z=0在y轴上的截距.（X）

【教材改编题】

1.某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩X不低于95分，文化课总分y高于380分,

体育成绩Z超过45分，用不等式表示就是()

x≥95,XN95,

A.<y2380,B.,y>380,

、z>45、z245

x>95,Q95,

c∙y>380,D.<y>380,

、z>45,z>45

答案D

解析“不低于”即，“高于”即“>"，“超过”即“>”，

.∙.x295,y>380,z>45.

χ-y+1<0»

2.不等式组,'八表示的区域(阴影部分)是()

x+y—3^0

答案D

解析将点(0,0)代入X—y+1<0不成立，

则点(0,0)不在不等式x—y+l<0所表示的平面区域内，

将点(0,0)代入x+y-320不成立，

则点(0,0)不在不等式x+y-320所表示的平面区域内，

所以表示的平面区域不包括原点，排除A,C；

χ-y+l<0不包括边界，用虚线表示，x+)-320包括边界，用实线表示，故选D.

x+y—3W0,

3.设变量x,y满足约束条件：y2o，则目标函数z=x+2y的最大值为

j20,

答案

解析根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示,

9

当目标函数ZZ取最大值为5∙

-探究核心题型

题型一二元一次不等式（组）表示的平面区域

x+yW2,

例1（1）（2022・新乡模拟）不等式组«2%—表示的平面区域的面积为

j+1≥o

答案3

解析画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，

'x+y=2,x—\,

联立解得即A(l,l),

^lχ-y=∖,UI=I1,

2χ-y=I,x=0,

联立解得,即8(0,-1),

)=7，I,

'χ+y=2,x=3,

联立解得即C(3,-1),

尸一I，尸一1，

S∆Aβc≈∣×∣3-0∣×∣l-(-l)∣=3.

χ-y÷l》0,

⑵已知不等式组,2χ-γ-2≤0,表示的平面区域为三角形，则实数m的取值范围为

.x>m

答案（一8,3）

解析根据题意，先作出不等式细一表示的平面区域，如图中阴影部分所示,

2χ-j-2≤0

y=2χ-2,

由可得A(3,4),

J=x+ɪ，

要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需，〃<3,

所以机的取值范围为(-8,3).

【教师备选】

已知点人(3,0),8(—3,2),若直线0r-y-l=O与线段AB总有公共点,则a的取值范围是()

A[fI

B.(-8,—ɪ]Uβ,>+g)

D.(-8,-ɪU[l,+∞)

答案B

解析因为直线αχ-y-l=O与线段AB总有公共点,

所以点A和点B不同在直线的一侧，

所以(3。-0—1)(—3α-^2一1)≤0,

解得α≤-1或α≥∣.

即α的取值范围是(一8,-1]U1,+8).

思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型

(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状.

(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对

参数进行必要的讨论.

尤20,

跟踪训练1(2022•西安模拟)若不等式组<x+y22,所表示的平面区域被直线y=fcr+2分

.3x+yW5

成面积相等的两个部分，则实数Z的值为()

A.1B.2C.3D.4

答案A

解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分（含边界）所示，B（0,5）,

因为直线y=fcr+2过定点C（0,2）,

所以C点在可行域内，

要使直线y=fcr+2将可行域分成面积相等的两部分,

则直线y=履+2必过线段AB的中点D.

x+y=2,

由

.3x+y=5,

3

所以AB的中点4一

将。的坐标代入直线y=fcc+2,得卜取+2,解得Z=L

题型二求目标函数的最值问题

命题点1求线性目标函数的最值

x+120,

例2（2021•浙江）若实数x,y满足约束条件yW0,则Z=X一5的最小值是（）

.2x+3y-l≤0,

A.—2B.—IC.—[D.∙jγj

答案B

解析作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示，作出直线y=2t并平移，数形结合可知,

当平移后的直线经过点A时Z取得最小值.

'2x+3y-1=0,A^Ξ=­

得

x+1=0Lv=ɪ.

所以A(—1,1),Zmin=-1-2=一]

命题点2求非线性目标函数的最值

2%—y+220,

例3(1)如果点尸(x,y)在平面区域<x-2y+l≤0,上，则三1的取值范围是()

x÷y-2≤0

A.[-2,-gB,-2,—

c[—2,ɪ]ɔ(-ɪ2_

答案A

解析作出点P(x,y)所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，

√

J

∕2x-y+2=0

X≤+ι=o

x+y-2=O

士表示动点P与定点。(2,—1)连线的斜率.

fχ-2y+l=0,[x=l,

联立C八解得

1j

[x+y-2=09b=L

1+1

于ÆICQE=]_广_2,

0+11

%=干二=一5

y+11

0j⅛-2≤⅛-i

2χ-y≤0,

(2)若变量无，y满足约束条件卜+y-3<0,

则(x—l)2+y2的最小值为()

、x20,

A.1B.,D.2

答案B

解析结合题意作出不等式组对应的平面区域,如图中阴影部分(含边界)所示,

而（χ-l）2+y2的几何意义是可行域内的点与（1,0）的距离的平方，

2

又（1,0）到直线2x—y=0的距离为恐，

4

故1A+γ2的最小值为亍

命题点3求参数值或取值范围

X—220,

例4已知fc>0,x,y满足约束条件,x+y-3≤0,若z=2r+y的最小值为1,则攵等于（）

j2（x—3）,

A.3B.5C.；D./

答案A

解析由不等式组知可行域只能是图中AABC内部阴影部分（含边界）所示，

x=2

∖∣3I,v=⅛（x-3）

/∣∖lΛ+V-3=0

作直线/:2x+y=0,平移直线/,只有当/过点B时，z=2v+y取得最小值，

易知B（2,—k）,

Λ4-⅛=l,解得A=3.

【教师备选】

χ-ɪNO,

1.（2022・六安模拟）已知实数x,y满足不等式组,y-2N0,则z=2x+y的最大值为（）

,x÷y-5≤0,

A.4B.5C.8D.10

答案C

解析不等式组表示的可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，

由z=2x+y,得y=—2x+z,

作出直线y--2x,

向上平移过点C时，z=2x+y取得最大值,

∖y—2=0,\x=3,

'得即C(3,2),

⅛[x+y—5=0,Ly=2,

所以z=2x+y的最大值为2X3+2=8.

卜一y+220,

2.已知实数x,y满足不等式(2x+y-5W0,则z=f+V的最大值为________

Lv≥l.

答案IO

X—y÷2≥0,

解析根据约束条件«2x+y—5W0,画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示,

Z=X2+)?是指可行域内的动点(x,y)与定点(0,0)之间的距离的平方,

由图可知，

点尸到原点。的距离的平方最大,

X-y+2=0,

又因为

2x÷y-5=0,

即.

卜=3,

所以P(l,3),

故ZmaX=I?+32=10.

x+y^a,

3.设X,y满足约束条件且Z=X+ay的最小值为7,则a=

χ-y≤—1>

答案3

解析作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示,

..A[2，2/

①当a=0时，A(-；,3),X=Z无最小值，不满足题意；

②当α<0时，由z—x+ay得丫=一孑+小

1Z

要使Z最小，则直线V=-)+贯在)，轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在;

③当α>0时，由z=x+αy得y=—%+小

由图可知，当直线过点4时直线在y轴上的截距最小，Z最小，此时，一!》一1，即

1

ll.a—1,a-∖-1a-∖-2a—1

此时z=-2-+a∙-2-=----2----=7.

即a2+2a-15=0,

解得a=3或。=一5(舍).

思维升华常见的三类目标函数

(1)截距型：形如z=ax+by.

(2)距离型：形如Z=(A-cz)2+(y一份2.

(3)斜率型：形如z=^^.

x+y≤3,

跟踪训练2⑴已知A(l,2),点3(x,y)的坐标％,y满足<2x—y—2W0,则后∙∂⅛的取值

范围是•

答案[1,5]

CΛ+J≤3,

解析作不等式组y-2≤0,的可行域，如图中阴影部分（含边界）所示.

LrN1

设Z=OAOB,则z=x+2yf

将z=x+2y化为y=~2x~^~29

IZ

由图象可得，当直线），=—>+］过点A（l,2）时，z取最大值，最大值为5.

当直线y=-5+彳过点C（1,O）时，z取最小值，最小值为1.

况∙δh的取值范围是［i,5］.

x÷y-5≤0,

（2）（2022∙平顶山模拟）若实数X,y满足约束条件,厂220,则Z=W^⅛J最小值是

.X—120,

5

答

案-

2

解析作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

.r+2y+3,2Cy+l)

=x+1=1+l^77「

其中表示可行域内点P（x，y）与定点。（一1，一1）连线的斜率,

尸x+y2—5=0,得Ix=3,

由即C(3,2),

尸2,

由图可得Imin=⅛C°=3+]=不

35

所以Zmin=I+2X]='

x+>—2≤0,

⑶（2022・金华模拟）已知X,y满足<χ-2y-2≤0,若z^y-ax取得最大值的最优解不唯一,

.2χ-y+2>0,

则α的值为.

答案T或2

解析作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

作直线/：y-ax=0,在z=y-ax中，y=ax+z,a是斜率，Z是纵截距，直线向上平移，z

增大，

因此要使最大值的最优解不唯一，则直线/与AB或AC平行，

所以a=-1或4=2.

题型三实际生活中的线性规划问题

例5（2022・新乡模拟）快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的

就业岗位，出现了大批快递员.某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：

体积（立方分米/件）重量（千克/件）快递员工资（元/件）

甲批

20108

快件

乙批

102010

快件

快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250

千克，小马一次送货可获得的最大工资额为（）

A.150元B.170元

C.180元D.200元

答案B

解析设一次派送甲批快件X件、乙批快件y件，

"20x+10y≤350,

IoX+20yW250,

则x,y满足〈x20，

y≥0,

、x,yeN,

2+yW35,

x÷2y≤25,

即〈x≥0,

y20,

<x,y∈N,

小马派送完毕获得的工资z=8x+10），（元），

画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

[2x+y=35,

由《ICU解得X=I5,y=5,

[x+2y=25,

所以目标函数在点M（15,5）处取得最大值，

故ZmaX=8X15+10X5=170（元）.

所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元.

【教师备选】

某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料

1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品8需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3

个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有

甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润

之和的最大值为（）

A.1800007CB.216000元

C.189000元D.256000元

答案B

解析设生产产品A为X件，产品B为y件，获利Z元.

,1.5Λ+0.5>'≤150,

x+0.3y≤90,

5x+3)W600,

∖X∈N,y∈N,

目标函数z=2100x+900y,

作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示.

x+0.3v=90

将z=2100x+900,y化为y=

900,

由图象可得，当直线y=—/+盘过点M时，在)，轴上的截距最大，即Z最大.

x÷0.3>,=90,

联立得M(60,100),

.5x+3y=600,

∙∙∙znm=2100×60+900×100=216OOO(X),

，利润最大为216000元.

思维升华解线性规划应用题的步骤

(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；

(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；

(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案.

跟踪训练3某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8

辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10

吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180

吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为()

A.2400元B.2560元

C.2816元D.4576TC

答案B

解析设甲型车X辆，乙型车y辆，运送这批水果的费用为Z元，

,0≤x≤8,

0≤y≤4,

ρι∣∣*

24x+30y2180,

∖X∈N,y∈N

目标函数z=320x+504y,

%∈N,y∈N,

O≤x≤8,

作出不等式组<一一所表示的平面区域，如图所示的阴影部分（含边界）.

OWyW4,

∖24x+30yN180

作直线320x+504y=0,并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z取得最小值,

即Zmin=8X320+0X504=2560(元).

课时精练

C基础保分练

x—2y+220,

1.将不等式组,'表示的平面区域记为凡则属于F的点是()

,x+><0

A.(1,1)B.(-1,1)

C.(-1,-1)D.(1,-1)

答案C

[120,

解析将点(1,1)代入方程组得故不在区域尸内，

[2>0,

将点代入方程组得L卜”故不在区域F内，

lo=o,

]320,

将点(一1,一1)代入方程组得八故在区域尸内，

—2<0,

将点3-D代入方程组得I(O52=0°,,故不在区域F内.

x—3W0,

2.（2022・合肥质检）不等式组,χ+y20,围成的封闭图形的面积是（）

χ-y^0

A.12B.6C.9D.15

答案C

解析作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

χ-3=0,

由八得A(3,3),

Ix-y=0

X—3=0,

由ɪ得8(3,-3),

χ+y=θλ

所以可行域的面积为^X3X6=9.

x÷y≥4.

3.（2021•全国乙卷）若X,y满足约束条件,x—yW2,则z=3x+y的最小值为（）

jW3,

A.18B.10C.6D.4

答案C

解析方法一（数形结合法）作出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示，作出直线y=-3x,

并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y=-3x+z在y轴上的截距最小,

即Z最小.

工x+y=4得,x^=-ɪ,

解方程组,'即点A的坐标为（1,3）.从而z=3x+y的最小值为3X1+3

J=3,

—6.

方法二（代点比较法）画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只

需要比较三角形区域三个顶点处的Z的大小即可.

易知直线x+y=4与y=3的交点坐标为（1,3）,直线x+y=4与χ-y=2的交点坐标为（3』），

直线x-y=2与y=3的交点坐标为（5,3）,将这三个顶点的坐标分别代入z-3x+y可得Z的值

分别为6,10,18,所以比较可知Zmin=6.

方法三（巧用不等式的性质）因为x+y24,所以3x+3y∙12.①

因为yW3,所以一2y2一6.②

于是，由①+②可得3x+3y+（-2y）212+（—∙6）,即3x+y26,

当且仅当x+y=4且y=3,即x=l,y=3时不等式取等号，易知此时不等式χ-yW2成立.

4.不等式（χ-2,y+I）（X+y-3）W0在直角坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应是下

列图形中的（）

ɜx-2y+l=0

D

答案c

χ-2y÷l≥0,x~2y+1≤O,

解析(x—2y+l)(x+y-3)≤0等价于，Λ+>-3≤0或

320,

即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C符

合题意.

x+γ≥O,

5.（2022・长沙模拟）若居y满足,LyNO,贝1Jz=2Ly的取值范围是（）

.x≤1,

A.[0,3]B.[1,3]

C.[-3,0]D.[-3,-1]

答案A

'x+y20,

解析作出，χ-y^O,表示的可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

Λ≤l

χ=1,X=1,

联立∙解得

.x+y=O,J=一

即8(1,-1),

化目标函数z=2χ-y为y=2χ-z,

由图可知，当直线y=2χ-z过原点时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值，为2X0—0

=0；

当直线y=2χ-z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为2义1一（-1）=3,

：.z=2x-y的取值范围是[0,3].

6.一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件

进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元.该商贩若想获

取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为（）

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件

C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

答案D

解析设购买甲、乙两种商品的件数应分别无，y件，利润为Z元，

∕4x+7yW50,

由题意jz=x+1.8y,

画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

结合实际情况，显然当y=-∣x+"经过整点42,6）时，z最大.

上一6W0,

7.设x,y满足约束条件*+yT>0,则Z=目的最大值是（）

[2x—y+1NO,

12「I

Aa∙TB∙2

C.1D.2

答案A

解析作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

y—1

Z=耳7表示可行域中的点a，y）与点尸（一1,1）的连线的斜率,

V-"^1

由图可知z=⅛τ的最大值在A点取得,

IX—6=0,

由1,得4(6,13),

⑵一y+1=0,

所以ZmaX=6+]=^7^∙

8.在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超

过200元.已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数

的比值不得高于热且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（）

A.最多可以购买4份一等奖奖品

B.最多可以购买16份二等奖奖品

C.购买奖品至少要花费100元

D.共有20种不同的购买奖品方案

答案D

解析设获得一等奖和二等奖的人数分别为尤，MX,yCN*）,

'2（k+lQy≤200,

由题意得<3x0,作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分（含边界）所示，

由图可知，2≤x≤4,6≤y≤16,故X可取2,3,4,

故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，

购买奖品至少要花费2X20+6X10=100（元），故A,B,C正确；

当x=2时，y可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,共有11种,

当x=3时，y可取9,10,11,12,13,14,共6种，

当x=4时，y可取12,共1种，

故共有11+6+1=18（种），故D不正确.

9.已知点（1,1）在直线x+2y+b=0的下方，则实数b的取值范围是

答案（一8,-3）

解析因为点（1,1）在直线x+2y+b=0的下方，

所以l+2+i><0,解得一3.

X-y≤0,

2∙v

10.已知实数X,y满足jx+y—2》0,则案的最小值为

.x-3y+6^0.

答案IO

解析画出可行域，如图中阴影部分（含边界）所示,

令z=y-2x9则y=2x+zf

Z表示直线在y轴上的截距，

根据平移知，当x=3,y=3时，z=y-2%有最小值为一3,

则余的最小值为2一3=".

*4o

f2x->,+4^0,

11.已知实数χ,y满足卜+y-l>O,若直线y=∕(χ-l)将可行域分成面积相等的两部分,

[x≤1,

则实数上的值为.

答案一4

解析画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示,

其中A(l,6),8(1,0),C(-l,2).

由于直线y=Z(χ-l)过定点8(1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，

所以当直线y=%(χ-l)过线段AC的中点O(0,4)时，AABO和aBCO的面积相等，

4—0

此时k—kβυ~Q_ɪ—-4.

12.现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天

可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边.如果一天至少有

100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边

工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利

6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利元.

答案780

解析设每天安排电脑机和普通机各X,y台，

则一天可获利z=12X8x+10X6y=96x+60)，，

rχ+y≤IO,

2x+y≤15,

线性约束条件为〈，c；C、C八画出可行域(图略)，

12x+10j≥100,

.0<r≤7,0<yW5,

可知当目标函数经过(5,5)时，zmaχ=780.

D技能提升练

卜一y_2W0,

13.(2022.郑州模拟)已知M(X,y)是不等式组卜+y+2>0,所表示的平面区域内的任意一

L∙≤l

点，且M(x,y)满足x2+y2Wα,则”的最小值为()

A.3B.4C.