2023年中考数学考前复习：探索规律问题（附答案解析）

2023年中考数学考前复习

第9天探索规律问题

③③卷⑤卷鲤）⑥

探究规律型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种

题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要

命题方式有数式规律、形变化规律、点的坐标规律等。基本解题思路:从简

单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律,

进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。探索规律题可以说

是每年中考的必考题，预计2023年中考数学中仍会作为选择题或填空题

的压轴题来考察。所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要

的。

预测分值：3分左右

难度指数：★★★

£必考指数：★★★★★

满分技巧

1）从简单的情况入手：

从简单的情况入手:求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结

正确答案二.新定义型问题一般与代数、坐标、函数知识结合较多，常见的

命题背景有:杨辉三角、等差数列、连续〃个数的立方和、连续几个数的平

方和、阶乘等。

2）关注问题中的不变量和变量：

在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要

多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一

般为〃）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在。

3）掌握一些数学思想方法

规探索律型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律

性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，

要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一

般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、

归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.

真题回顾

选择题

1.（2022•内蒙古）观察下列等式：70=l,7'=7,72=49,73=343,74=240b

75=16807,…，根据其中的规律可得7。+7+72+...+7政2的结果的个位数字是（

）

A.0B.1C.7D.8

2.（2022∙济宁）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形.第一幅图4个

圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点..…按照此

规律，第一百幅图中圆点的个数是（)

第一幅图第二幅图第三幅图第四幅图

A.297B.301C.303D.400

3.（2022•西藏）按一定规律排列的一组数据：1,-ɜ,1,-ɪ,2,-Al

252172637

....则按此规律排列的第10个数是（）

ʌ19

A.-------

101B得CTD/

4.（2022•烟台）如图，正方形ABcD边长为1,以AC为边作第2个正方形AC所,

再以C尸为边作第3个正方形FCG/7,…，按照这样的规律作下去，第6个正方

形的边长为（）

A.(2√2)5B.(2夜-C.(√2)5D.(√2)6

5.（2022∙新疆）将全体正偶数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律，第10行第5个数是（）

2

46

81012

14161820

2224262830

A.98B.IOOC.102D.104

6.（2022・江西）将字母“C”，"H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则

第4个图形中字母“H”的个数是（）

HHHHHH

——

——

II—I

CH-CC-HCCC

—

III—I

HHH

HHH

①②③

A.9B.10C.11D.12

7.（2022•云南）按一定规律排列的单项式：X,3X2,5√,7√,9?,第

〃个单项式是（）

A.（2n-l）xπB.（2n÷l）xπC.{n-l）xπD.（n+l）xπ

8.（2022・重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个

正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图

案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）

◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊

◊◊

①③④

A.32B.34C.37D.41

9∙（2022∙重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个

菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列

下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）

①②③

A.15B.13C.11D.9

10.（2022・武汉）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中,

水面高度6随时间r的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形

状可能是（）

h

C

11.（2022•威海）图1是光的反射规律示意图.其中，PO是入射光线，OQ是反

射光线，法线KolMN,NPoK是入射角，NKOQ是反射角，ZKOQ=ZPOK.图

2中，光线自点P射入，经镜面针反射后经过的点是（）

二.填空题

12.（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为1,4,1,12……按此规

251017

律排列，则第30个数是—.

13.（2022・南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40〃〃S的速度将小

球沿与地面成30。角的方向击出，小球的飞行高度力（单位：M与飞行时间,（单

位：s）之间的函数关系是〃=-5∕+20f,当飞行时间/为S时，小球达到最高

点.

14.（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点A，A2,A3,A4...在X轴上

且OA=1，OA2=2OΛ1,OA=2O4,QA=2O4…按此规律，过点A∣,A2,A3,A4...

作X轴的垂线分别与直线y=6c交于点用，B1,B3,B4…记ΔOA2B2,

ΔOA3B3,4OAA…的面积分别为S∣,52,S3,S<…则S.??=

15.（2022•齐齐哈尔）如图，直线/:y=曰x+右与X轴相交于点A,与y轴相交

于点8,过点5作BG_L/交X轴于点C,,过点G作4GLx轴交/于点用，过点与

作与G交X轴于点G，过点G作82G，X轴交/于点约，…，按照如此规律操

作下去，则点与吠的纵坐标是一.

16.（2022∙锦州）如图，A为射线ON上一点，Bl为射线OM上一点，ZB1X1O=60°,

60

OA1=3,B1ʌ=1.以为边在其右侧作菱形A4GR，且NgAA=°,CQ与

射线。W交于点约，得AGB也;延长与A交射线ON于点儿,以与4为边在其右

o

侧作菱形A2B2C2D2,且ZB2A2D2=60,C2D2与射线OM交于点B,,得^C2B2B,;延

长ByD2交射线ON于点A,,以B3A3为边在其右侧作菱形A3B3C3D3,JlZB3A3D3=60°,

CQ3与射线OM交于点与，得aC∕M;…，按此规律进行下去，则^Gθ22∕>22∕m

的面积为.

17.（2022・青海）木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第〃个

图中共有木料根.

第1个第2个第3个第4个

18.（2022∙聊城）如图，线段ΛB=2,以ΛB为直径画半圆，圆心为A∣,以AAI为

直径画半圆①；取AB的中点A2,以Aa为直径画半圆②；取A2B的中点4,以

为直径画半圆③...按照这样的规律画下去，大半圆内部依次画出的8个小半

它们按一定规律排列,第

2

〃个数记为。“，且满足,+」一=则“

2.4a2O22=

¾%+2¾÷1

20.（2022∙大庆）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第16个图案中的“”

的个数是

第1个第2个第3个第4个

O

21.（2022•绥化）如图，ZAQB=60。，点［在射线上，且OR=I,过点片作

l

P1K1±OA交射线OB于K∖,在射线OA上截取P1P2,∖tP1P2=P1K1-,过点P2作jOA

交射线08于勺，在射线OA上截取鸟鸟，使巴鸟=£仁…按照此规律，线段/23心23

22.（2022•宿迁）按规律排列的单项式：X,-√,X5,-√,小，…，则第20个

单项式是—.

23.（2022•怀化）正偶数2,4,6,8,10,…，按如下规律排列,

则第27行的第21个数是—.

2

46

81012

14161820

24.（2022•泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列:

若有序数对5,附表示第〃行，从左到右第m个数,如（3,2）表示6,则表示99的

有序数对是

第1行1

第2行234

第3行56789

第4行10111213141516

第5行171819202122232425

25.（2022•黑龙江）如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图

形中所有正三角形的个数有

三.解答题

26.（2022・青海）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并

把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形

称为“手拉手”图形.

（1）问题发现：

如图1,若AABC和ΔADE是顶角相等的等腰三角形，BC,DE分别是底边.求证：

BD=CE;

（2）解决问题:

如图2,若ΔACB和ΔDCE均为等腰直角三角形，ZAeB=ZDCE=90。，点A,D,

E在同一条直线上，CM为ADCE中DE边上的高，连接请判断ZA的度数

及线段CM,AE,BE之间的数量关系并说明理由.

A

C

27.（2022•湘潭）在ΔABC中，ABAC=90o,AB=AC,直线/经过点A,过点3、

C分别作/的垂线，垂足分别为点。、E.

（1）特例体验：如图①，若直线〃∕8C,AB=AC=近,分别求出线段或）、CE

和DE的长；

（2）规律探究：

（I）如图②,若直线/从图①状态开始绕点A旋转a（0<a<45。），请探究线段风）、

CE和DE的数量关系并说明理由；

（II）如图③，若直线/从图①状态开始绕点A顺时针旋转夕（45。<&<90。），与线

段3C相交于点“，请再探线段80、CE和小的数量关系并说明理由；

（3）尝试应用：在图③中，延长线段处交线段AC于点尸，若CE=3,DE=∖,

求SWC,

28∙（2。22・舟山）观察下面的等式:ι=∣÷√齐"rr⅛

（1）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含〃的等式表示，”为正整数）.

（2）请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的.

29.（2022•安徽）观察以下等式:

第1个等式：(2xl+l)2=(2χ2+l)2-(2x2)2,

第2个等式:(2×2+l)2=(3×4+l)2-(3×4)2,

第3个等式:(2X3+1)2=(4×6+1)2-(4×6)2,

第4个等式：(2x4+iy=(5x8+l)2-(5x8)2,

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：—；

（2）写出你猜想的第〃个等式（用含〃的式子表示），并证明.

一.选择题

1.（2023•文山州一模）计算3的正数次累，3'=3,32=9,33=27,34=81,35=243,

36=729,..…，观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得于⑵的个位数字是

（）

A.1B.3C.7D.9

2.（2023•九龙坡区模拟）下列图形都是由同样大小的火柴按一定的规律组成，

其中第①个图形有3根火柴，第②个图形一共有5根火柴，第③个图形一共有7

根火柴，…，则第⑦个图形中火柴的根数为（）

3.（2023•耿马县一模）按一定规律排列的单项式：2a2,4a3,61,8as,10α6,

……，第〃个单项式是（）

A.2na2nB.2na"+'C.n2an+'D.n2a2"

4.（2023•西乡塘区一模）如图是用大小相等的五角星按一定规律拼成的一组图

案，请根据你的观察，推算第2022个图案中小五角星有（）

★★★★★★★★★★

****★*★*********★*******

第1个图案第2个图案第3个图案第4个图案

A.6066颗B.6067颗C.6068颗D.6069颗

5.（2023•凤庆县一模）按一定规律排列的单项式：4〃，-9a,∖6a,-25a,36“，

-490,...＞第〃个单项式是（）

A.（-l）"^'n20B.（-∖）"n2a

C.（-l）n（w+l）2aD.（-l）,'+l（n+l）2a

6.（2023•昆明模拟）按一定规律排列的单项式：2a,4〃，8d,16.4,32a，，

…，第〃个单项式是（）

A.2na"B.Ta"C.2nan+'D.2"an+'

7.（2023•巧家县一模）按一定规律排列的单项式：-V,/，-y。，…

第〃个单项式是（）

A.（-l）nx3"B.（-1Γ1√"C.（-l）n+l√"D.（-l）"xπ

8.（2023•昭通一模）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有

5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④

个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑩个图案中正方形的个数为（

)

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊◊◊◊◊

◊◊◊

①②③④

A.41B.37C.33D.32

9.（2023∙昭阳区模拟）按一定规律排列的单项式：

a,-2a2,4tz3,-844,16",......,第"个单项式是（）

A.(-2),,^lanB.-2anC.(-2)"a"D.(-2)"%"τ

10.（2023•冠县一模）如图，在一个单位面积为1的方格纸上，^4Λ2A3,ΔA3A4Ai,

△AA4，……是斜边在X轴上，且斜边长分别为2,4,6,..…的等腰直角三角

形.若aAAM的顶点坐标分别为A(2,0),Λ(1,-1)»4(0,0),则依图中所示规律,

D.(2,1011)

11.(2023∙槐荫区一模)在平面直角坐标系中，正方形Λ18∣GO、A2B2C2Ct>

AiB3C3C2...,按如图的方式放置.点4、4、4..4在直线>=-*-1,点4、C2、

G∙..C,,在X轴上.抛物线右过点A、B1,且顶点在直线y=-x-l上，抛物线心过

点A2、与，且顶点在直线y=-x-l上，…按此规律，抛物线Lll过点4“、Bn,且顶

A.(3×2π^'-1,-3×2n^l)B.(3×2"^l-l,-3×2Π^2)

C.(3×2π^2-l,-3×2),^')D.(3X2,,^2-1,-3×2Π^2)

12.(2023∙驻马店模拟)在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的

等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点。出发，以每秒2个单位长

度的速度沿着等边三角形的边4A2-AM?—A3A4fA4A5…的路线运

√3)

13.(2023•济宁一模)如图所示，正方形A88的边长为2,其面积标记为

以8为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作

正方形，其面积标记为Sz……按照此规律继续下去，则邑⑼的值为()

Al---------IB

A.(ɪ)2017B.(I)20'8C.(ɪ)2019D.(ɪ)2020

14.(2022∙大理州模拟)如图，为ΔABC的中线，A鸟为△A∕]C的中线，AA为

△A鸟C的中线……按此规律，A匕为的中线.若AABC的面积为S,则4

A匕C的面积为()

15.(2023∙蚌山区模拟)有一些含有特殊数学规律的车牌号码，如：皖C8O8O8、

皖C22222、皖C12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”

的，给人以对称的美的感受，我们不妨把这样的牌照叫做“数字对称"牌照.如

果让你负责制作只以8或9开头且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可

制作()

A.200个B.400个C.IOOo个D.2000个

16.(2022秋•金水区期末)如图，在平面直角坐标系中，动点A从(1,0)出发，向

上运动1个单位长度到达点8(1,1),分裂为两个点，分别向左、右运动到点C(0,2)、

点。(2,2),此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C、。点出发，每个点重复

上边的运动，到达点G(-1,4)、/7(1,4)›/(3,4),此时称动点A完成第二次跳跃，依

此规律跳跃下去，动点A完成第2023次跳跃时，最左边第一个点的坐标是()

B.(-2022,22023)

C.(-2022,4046)D.(-2023,22023)

17.(2023•歙县模拟)棱长为”的小正方体按照如图所示的规律摆放，从上面看

第100个图，得到的平面图形的面积为()

D.1OlOOtz2

18.（2022•太原二模）孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发

现了遗传学的基本规律.如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是

高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由OD、Dd.dd≡

种遗传因子控制.由此可知，子二代豌豆中含遗传因子。的概率是（）

19.（2022・清苑区二模）嘉嘉用大小和形状都完全一样的正方形按照一定规律排

放了一组图案（如图所示），每个图案中他只在最下面的正方形上写“城”字，

寓意“众志成城，抗击疫情”.其中第（1）个图案中有1个正方形，第（2）个

图案中有3个正方形，第（3）个图案中有6个正方形，...按照此规律，从第（10）

个图案中随机抽取一个正方形，抽到带“城”字正方形的概率是（）

二.填空题

20.（2023•台儿庄区模拟）按一定规律排列的一组数据：1,_3,1,_2，2,

2521726

....则按此规律排列的第10个数是

37----

21.（2023•东营区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线/∕y=4x+l与直线

4：y=岛交于点A，过A作X轴的垂线，垂足为用，过用作《的平行线交4于A2,

过&作X轴的垂线，垂足为为，过当作4的平行线交4于4,过4作X轴的垂线，

垂足为纭…按此规律，则点的纵坐标为—.

22.（2023∙佳木斯一模）如图，在平面直角坐标系中，点4，A2,A4,…在

X轴上且OA=1，OA2=2OAl,OA3=2OA2,0At=2OA,,...»按此规律，过点A∣,

A2,A3,A4,…作大轴的垂线分别与直线y=6c交于点/，B2,B3,B4....连接

B1A2,B2Ai,B3A3,记△用人员，ΔB2A5B3,ΔB3A4B4,…的面积分别为S∣,

Si>S3>…，贝US2023=•

23.（2023•立山区二模）如图，直线y=；x+l与y轴交于点C,点A，A2,A3,

在X轴正半轴上且横坐标分别为2,4,6,…，过A作AG，X轴交直线v=；x+i

于点，连接，且，交于点［；过作X轴交直线；

GOGAC,OGACA2Λ2CJ,y=x+l

于点C2,连接462，A2Ct,且AC?,4G交于点鸟；...按照此规律进行下去，则

匕的纵坐标为

24.（2023•临清市一模）如图，点0（0,0）,A（OJ）是正方形。见8的两个顶点，以

对角线OA为边作正方形。444,再以对角线OA2为边作正方形OA出与，…，依

此规律，点&。”的坐标是一.

25.（2023・市中区一模）如图，点尸在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运

动，第1次从原点运动到点（1,1）,第2次接着运动到点（2,0）,第3次接着运动到

点（3⑵，……，按这样的运动规律，经过第2023次运动后动点P的坐标是—.

用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点匕（〃，0）（〃=1、2、…）作X轴的

垂线，交y=αΛα>O)的图象于点，交直线尸-办于点纥.则

11

------1-------++1的值为

ABlA2B2A1A,

27.(2023•肇东市模拟)如图，点A(0,l),点4(2,0),点&(3,2),点Ai(5,l)...,按

照这样的规律下去，点4必的坐标为

28.(2023∙利津县一模)如图，在单位为1的方格纸上，△A3A4Ai,

△AAA，…，都是斜边在X轴上，斜边长分别为2,4,6,…的等腰直角三角

形，若4AΛ4的顶点坐标分别为4(2,0)，4(1,1)，A3(O5O).则依图中所示规律，

402I的坐标为-

29.（2023•高青县一模）如图，在平面直角坐标系中，4-3,0）,B（0,l）,形状相

同的抛物线C/5=l,2,3,4,…）的顶点在直线AB上，其对称轴与X轴的交点的

横坐标依次为2,3,5,8,13,…，根据上述规律，抛物线Cii的顶点坐标为（一）.

30.（2023•绥化一模）如图，正六边形ABCQEM的边长为2,正六边形

",C,DEF,的外接圆与正六边形ABCQEl耳的各边相切，正六边形AiBC3RE;月

的外接圆与正六边形A,8C,RE,居的各边相切..…按这样的规律进行下去，

31.（2023•聊城一模）如图，已知OA=1，以OA为直角边作Rr，并使

4O4=60。，再以OA为直角边作M并使幺OA=60。，再以OA为直角

边作RfZXOAA，并使ZAOA=6。。，…按此规律进行下去，则RfaaA≡AZo4的直

32.（2023・美兰区一模）如图，A4SC是边长为1的等边三角形，分别取AC、BC

边的中点O、E,连接。E,作EF//AC得到四边形£ZMF,它的周长记作G；分

别取防，BE的中点R,E∖,连接作E∣FJ/EF,得到四边形EQ下耳，它的

周长记作g,…，照此规律作下去，则C?侬等于—.

33.（2023•泸县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在），轴的正半轴上，OA=X,

将OA绕点O顺时针旋转45。到QA，扫过的面积记为S∣，A&，。A交X轴于点4；

将OA2绕点。顺时针旋转45。到04，扫过的面积记为邑，A5A4_LoA交N轴于点4；

将OA4绕点O顺时针旋转45。到OA5,扫过的面积记为S3,AA∙LCM5交X轴于点4；

…；按此规律，则邑侬的值为-

34.（2022•莘县一模）某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如

下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启17

秒，按此规律选一下去.如果不考虑其他因素，一辆汽车沿东西方向随机地行驶

到该路口时，遇到红灯的概率是—.

≡.解答题

35.（2023・榆次区一模）阅读与思考

下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.

X年X月X日里期六

关于完全平方式的思考

完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛.今天我在复习因式分解时

也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现：

练习：将下列各式因式分解：X2-6x+9=φ;9∕+12x+4=②；

我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律：（Y）:=4x1x9；

/=4x9x4若多项式/+法+c（">0,c>0）是完全平方式，则系数α,b,C之间存

在的关系式为③；

王华的探索发现：

若多项式Or2+⅛r+c（α>0,c>0）是完全平方式，也可以看作是一元二次方程

ax2+bx+c=0（α>O,c>0）根的情况为④时；还可以看作抛物线y=ax2+bx+c

m>o,c>0）与X轴有⑤个交点时.

数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索与体会

任务:

(1)请补充完整小明的日记：①—，②—，③—，④—，⑤—;

(2)解决问题:若多项式(〃-8*+(2〃-4»+(〃+13)是一个完全平方式，利用以

上结论求出〃的值；

(3)除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，

例如：用配方法解一元二次方程.请你再举出一例.

36.(2023・南谯区一模)分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答

问题.

y

OM=1+(√Γ)2=2,=√Γ

T,

S√τ2

OA；=1+(伪2=3,=

W√-3

OA：=1+(招2=4,-2

(1)QAo=

(2)用含〃(〃是正整数)的等式表示上述面积变化规律：0A；=—,S11

(3)若一个三角形的面积是石，则它是第一个三角形;

(4)求出S；+S；+S；+S：+...+Sm的值.

37.(2023∙定远县一模)【数学抽象】实验证明：平面镜反射光线的规律是射到

平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图①，一束光线

机射到平面镜“上，被〃反射后的光线为“，则入射光线加，反射光线”与平面镜

。所夹的锐角相等，即4=N2.

(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图②是潜望镜工作原理示意图，AB.CD

是平行放置的两面平面镜，请解释进入潜望镜的光线机为什么和离开潜望镜的光

线〃是平行的？

（2）如图③，改变两平面镜之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线机与

反射光线〃之间的位置关系会随之改变.若入射光线，”与反射光线〃平行但方向

相反，则两平面镜的夹角ZABC为多少度？

考前押题

一.选择题

1.计算3的正整数次幕，3'=3,32=9,3=27,34=81,35=243,36=729,

37=2187,3'=6561…观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得3?。”的个位数

字是（）

A.1B.3C.7D.9

2.有一列数，按一定规律排成1,-3,9,-27,81,-243……其中某三个相邻数

的和是-1701,那么这三个数中最小的一个是（）

A.-243B.-2187C.729D.-1701

3.我们学习多边形后，发现凸多边形的对角线有一定的规律，①中的四边形共

有2条对角线，②中的五边形共有5条对角线，③中的六边形共有9条对角线,

…，请你计算凸十边形对角线的总条数（）

①②③

A.54B.44C.35D.27

二.填空题

4.如图，在平面直角坐标系中，正方形04BC的顶点A、C分别在X,y轴上,

且AO=1.将正方形。4BC绕原点。顺时针旋转90。，并放大为原来的2倍，使

AlO=2AO,得到正方形OAAG,再将正方形OABC绕原点。顺时针旋转90。，并

放大为原来的2倍，使40=240,得到正方形O&dG……以此规律，得到正方

形O41∞B2022G022，则点/22的坐标为

A2

0AX

B1C2

三.解答题

5.观察下列一组算式的特征，并探索规律:

①√ir=ι=ι；

②#TF=I+2=3;

③√F7?Ty=I+2+3=6;

(4)√l3+*23+33+43=1+2+3+4=10.

根据以上算式的规律，解答下列问题：

(1)l3+23+33+43+53=()2=；

533

(2)7P+2+3+...+(n-l)+√=—;(用含”的代数式表示)

(3)√l3+23+33+...+993+1001=；

(4)简便计算:113+123+133++193+203.

真题回顾

一.选择题

1.【答案】C

【解答】解：-7。=1,7l=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,...

.∙.7"的尾数1,7,9,3循环，

.∙.70+7l+72+73的个位数字是0,

2023÷4=505…3,

.∙.7<>+7∣+...+72022的结果的个位数字与7tl+7∣+72的个位数字相同,

Λ70+7'+...+72022的结果的个位数字是7,

故选：C.

2.【答案】B

【解答】解：观察图形可知：

摆第1个图案需要4个圆点，即4+3x0;

摆第2个图案需要7个圆点，即4+3=4+3χl;

摆第3个图案需要10个圆点，即4+3+3=4+3χ2;

摆第4个图案需要13个圆点，即4+3+3+3=4+3χ3;

第〃个图摆放圆点的个数为：4+3(/7-1)=3/7+1,

.∙.第IOO个图放圆点的个数为：3×1OO+1=3O1.

故选：B.

3.【答案】A

【解答】解：原数据可转化为：

2510172637

2x1—1

^=(-i)1+1

2+

-i=^2+,×≡1

2×3-l

32+l

.∙.第〃个数为：(-1严%ɪ,

/r+1

，第10个数为：(-1严X盥"1=-”.

IO2+1101

故选：A.

4.【答案】C

【解答】解：由题知，第1个正方形的边长他=1,

根据勾股定理得，第2个正方形的边长AC=√Σ,

根据勾股定理得，第3个正方形的边长CF=(√Σ)2,

根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF=(√Σ)3,

根据勾股定理得，第5个正方形的边长GN=(√Σyt,

根据勾股定理得，第6个正方形的边长=(√Σ)5.

故选C.

5.【答案】B

【解答】解：由三角形的数阵知，第〃行有〃个偶数,

则得出前9行有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45个偶数，

.∙.第9行最后一个数为90,

.∙.第10行第5个数是90+2x5=100,

故选：B.

6.【答案】B

【解答】解：第1个图中”的个数为4,

第2个图中H的个数为4+2,

第3个图中”的个数为4+2x2,

第4个图中H的个数为4+2x3=10，

故选：B.

7.【答案】A

【解答】解：•单项式：X,3χ2,5√,7X4,9炉，

.∙.第〃个单项式为(2"-l)x",

故选：A.

8.【答案】C

【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，

第②个图案中有9个正方形，

第③个图案中有13个正方形，

第④个图案中有17个正方形，

•••,

第N个图案中有(4〃+1)个正方形，

・•・第⑨个图案中正方形的个数为4x9+1=37,

故选：C.

9.【答案】C

【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，

第②个图案中有3个菱形，即1+2=3,

第③个图案中有5个菱形即1+2+2=5,

则第〃个图案中菱形有l+2("-l)=(2"-l)个，

.∙.第⑥个图案中有2x6-1=11个菱形，

故选：C.

10.【答案】A

【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是平缓，稍陡，陡；即随着时间的变

化，水面高度变化的快慢不同，与所给容器的底面积有关.则相应的排列顺序就

为选项A.

故选：A.

11.【答案】B

【解答】解：根据直线的性质补全图2并作出法线OK,如下图所示:

根据图形可以看出08是反射光线,

故选：B.

二.填空题

12.【答案】幽.

14710

【解答】解:-9—，--，--

251017

•••第”个数是好,

当刀=30时,3〃—23×30—288

n2+1-3O2+l901

故答案为：幽.

13.【答案】2.

【解答］解:〃=-5/+20/=-5(/-2)2+20,

■■-5<0,

.∙.当r=2时，%有最大值，最大值为20,

故答案为：2.

14.【答案】2*4l√3.

【解答】解：OA=I,OA2=20Λl,

.*.OA2=2,

OA3=2OA2,

.∙.OAjf=4,

OA4=2OA39

:.OA4=8，

把x=l代入直线y=TJx中可得：y=6,

把x=2代入直线y=6x中可得：y=2√3,

.∙.A2B2=2∖fi,

把x=4代入直线y=√ir中可得：j=4√3,

A3B3=4Λ∕39

把x=8代入直线y=氐中可得：y=8√3,

A4B4=8>/3,

1,0

.∙.5l=^OA,AtBl≈^×l×√3=∣×2×(2×√3)>

l

S2=^OA2A2B2=^×2×2>^=i×2×(2'×√3),

22

Si=^OA3A3B3=1×4×4√3=→2×(2×√3),

33

54=i<9A4∙A4β4=^×8×8√3=→2×(2×√3),

2ffi2024WI

.∙.S2022=gX2'×(2'×√3)=2√3,

故答案为：24M∣6.

15.【答案】A2022√3.

3

【解答】解：∙.∙y=4x+上与X轴相交于点A,与y轴相交于点3,

二.当X=O时，y=5/3,当y=0时，％=—3,

A(-3,0),B(0,√3),

.∙.OA-3,OB=>/3,

:.tanZBAO=—,

3

ΛZBAO=30°,

BC1II9

.∙.NClBO=N840=30。，

:.BC『旦=岑=2,

cos30°石

~2

BlClJ_x轴，

.∙.NBIGB=30。,

.BC_BQ_2_4√3

COS30023

T

同理可得，约G=

依此规律，可得纥C“=($”石，

2u22

当〃=2022时，S2022C2022=φ√3,

故答案为：

16.【答案】*xg严•

【解答】解:过点用作go,OA于点。，连接3Q,B2D2,4口，分别作坊“，4。，

B3G.LB2D2,B4E±B3D3,如图所示:

.∙.ZB1DO=NBlDA=NB?HD\=ZBfiD2=ZB4ED3=90°,

ZB1X1O=60°,

.∙.NO4A=30。,

旦A=l,OAI=3,

・•・DA=-^βlAl=∣,OD=Y

2

.∙.B1D=y∣AyB;-AiD=ɪ,

小BD√3

tanZ.O=—1—=——,

OD5

菱形Λ1gCQ,且NgAA=60。，

.∙.是等边三角形,

o

.∙.NΛ18Q=60,B1D1=A4=1,

ZΛ1BlD,=ZOA,B1=60°,

:.OA.//B1D1，

：.ZO=ZB2B1D1,

:.tanZBBD=tanZO=，

21'1l15

设B2D1=X,

NB2〃H=60。，

.∙.HD.=B,D「cos60o=-x,B,H=B.D.■sin60o=—x,

2-I2

„BlH5

•.4DH=------=-------=-X9

tanZB2B1H2

-χ+-χ=∖J解得：X=-9

223

,B,D∖=—,

-3

.∙.AB)=-,

3

同理可得：4Q=g,B4D,=

4n16-64

β

∙∙Λ3=-M4^4'

由上可得：AltBn=，BeD.=g

22

S=S_s=有XW1×rφ0,×τ=τ×

-Oθ22^2022‰23Qθ22⅜)22¾)22%23%22分22彳-5'

故答案为：^×φ4w2.

17.【答案】曳竺工.

2

【解答】解：由图可知：

第一个图形有木料1根，

第二个图形有木料1+2=3（根），

第三个图形有木料1+2+3=6（根），

第四个图形有木料1+2+3+4=10（根），

第〃个图有木料1+2+3+4+……+〃=妁上D（根）,

2

故答案为：如工.

2

18.

【解答】解：AB=2,

.∙.M=ι,半圆①弧长为gɪ=9,

1

1π×-.

同理A4=；，半圆②弧长为一/=（'），

4X-1

44=",半圆③弧长为三=（｝）,

半圆⑧弧长为夕万,

.,.8个小半圆的弧长之和为g%+(g)2;r+(g)3;r+...+(g)8;r=|^|；T.

故答案为：翁.

0【答案】〜3⅛

【解答】解：由题意可得：g1,Y.T

..-1-1-1-=—2

a2a4a3

12

“MF

-1-1—1=—2,

%a5a4

2

Y=IT

同理可求4=!=1∣,

OIo

2

Cl=--------，

n3(n-l)+l

[

^3032

故答案为：ɪ]

3032

20.【答案】49.

【解答】解：由题意得：

第一个图案中的的个数是：4=4+3×0,

第二个图案中的””的个数是：7=4+3xl,

第三个图案中的的个数是：10=4+3x2,

.∙.第16个图案中的的个数是：4+3x15=49,

故答案为：49.

21.【答案】√3(l+√3)2022.

【解答】解：由题意可得，

[K∣=O[∙tan60°=lχB=旧，

巴仁=0号而60。=(1+aXG=G(I+拘，

o2

∕>∕C3=C>^∙tan60=(1+√3+√3+3)×>A=√3(l+√3),

o23

P4K4=OP4-tan60=[(1+√3+√3+3)+√3(1+√3)]×>β=√3(1+√3),

PK=币Q+6尸,

.∙.当〃=2023时，P2023K2023=√3(1+石产2,

故答案为：√3(l+√3)2022.

22.【答案】-一.

【解答】解：根据前几项可以得出规律，奇数项为正，偶数项为负，第”项的数

为(-1严x∕τ,

则第