山东省泰安市2022-2023学年高二上学期期末数学（解析版）

高二数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.若直线4与直线"：y=3x平行，则实数Z的值为（）

11近

--B-CD3

A.333

【答案】D

【解析】

【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数A的值.

【详解】因为直线4：y=履+1与直线，2：y=3x平行，

所以两直线斜率相等，即攵=3.

故选：D.

2.已知等差数列｛4｝的首项4=3,公差d=2,则%=（）

A.7B.9C.11D.13

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.

【详解】因为等差数列｛4｝的首项％=3,公差d=2,所以%=4+4"=3+8=ll

故选：C

【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.

3.已知椭圆工+二=1上的点P到椭圆一个焦点的距离为7,则P到另一焦点的距离为（）

2516

A.2B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的定义列方程，求得尸到另一个焦点的距离.

【详解】根据椭圆定义可知，P到两个焦点的距离之和为2α=2?510,所以。到另一个焦点的距离为

10-7=3.

故选：B.

【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.

4.已知空间向量α=(2,-1,2),A=(T,2,x)满足”_LZ,，则实数X的值是()

A.-5B.-4C.4D.5

【答案】D

【解析】

【分析】由已知条件得出α"=0,结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数X的值.

【详解】由已知条件得出α∙b=2χ(T)—lχ2+2x=2X—IO=0,解得x=5.

故选：D.

5.已知圆Y+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()

A.1B.2

C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆Y+y2-6x=0化为(X-3)∖y2=9,所以圆心C坐标为C(3,0),半径为3,

设P(l,2),当过点尸的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

ICPb7(3-1)2+(-2)2=2√2

根据弦长公式得最小值为2λ∕9.∣CP∣2=2√9-8=2.

故选：B.

【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.

6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有

一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”.那么该女子第一天织布的尺

数为()

45610

A.—B.—C.—D.—

31313131

【答案】B

【解析】

【分析】设第一天织布尺数为X,则由题意有X(1+2+22+23+24)=5,据此可得答案.

【详解】设第一天织布的尺数为X,则x(l+2+22+23+24)=5

=>x-------=31x=5nx=—.

2-131

故选：B

7.设A、5是y轴上的两点，点P的横坐标为2,且IF=IPM，若直线外的方程为x-y+l=O,则

直线PB的方程为O

A.x÷y-5=0B.2x-y-l=0

C.2%+y-7=0D,x+y-3=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线方的方程，确定出∕¾的倾斜角，利用∣P4∣=∣P@且A、8在y轴上，可得∕¾的倾斜

角，求出尸的坐标，然后求出直线PB的方程.

【详解】解：由于直线R4的方程为X—y+l=0,故其倾斜角为45°,

又IPAI=IP例，且A、B是y轴上两点，故直线PB的倾斜角为135。，

又当x=2时，y=3,即P(2,3),

二直线PB的方程为y-3=-(x-2),即x+y-5=0.

故选：A.

8.PAP8,PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60。，那么直线PC与平面PAB所成角

的余弦值是O

A.&B.立C.也D1

3322

【答案】B

【解析】

【分析】作图，找到直线PC在平面RW上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继

而得到线面角；也可将PAP8,PC三条射线截取出来放在正方体中进行分析.

【详解】解法一：

如图，设直线PC在平面P钻的射影为PO,

D

作CGJ_P£＞于点G,CH_LQ4于点，，连接用，

易得CG_LB4,又CHCCG=C,CH,CGu平面CHG,则B4_L平面C//G,又"Gu平面C"G,

则Q4_L〃G,

CoSNCPA=------

PC

PGPHPH

cosZ.CPDXcosZAPD

~PC~PG~yC

故cosNCPA=cosZCPD×cosZAPD.

已知ZAPC=60o,ZAPD=30°,

故cosNCPO=史仝竺=*2：=2为所求.

cosZAPDcos3003

解法二：

如图所示，把PApB,PC放在正方体中，PAPB,PC的夹角均为60°.

建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1,

则P(l,0,0),C(0,0,1),A(l,1,1),B(0,1,0),

所以PC=(-1,0,1),PA=(0,1,1),PB=(-1,1,0),

n∙PA=y+z=O

设平面RW的法向量"=(χ,y,z),则＜

n-PB=-X+y=0

令X=1,则y=l,z=-1,所以"=(i,ι,-i),

g、i/∖PCn-2—ʌ/ð

所以CoS〈PC,〃〉=---------=-f=——τ=∙=-------.

∖PC∖∙∖n∖√2×√33

设直线PC与平面PAB所成角为。，所以Sine=Icos<PC,〃〉I=当，

所以cosθ=JI-Sin20：—.

3

故选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.直线丁=公一2。+4（。€1^）必过定点（2,4）

B.直线3x-y-l=0在y轴上的截距为1

C.过点（一2,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+l=0

D.直线x+百y+1=0的倾斜角为120。

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A,整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；

对于B,将X=O代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；

对于C,根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；

对于D,根据直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.

【详解】对于A,由直线方程y=5一20+4,整理可得y=α（x-2）+4,当x=2时，y=4,故A正

确；

对于B,将X=O代入直线方程3x-y—1=0,可得—y—1=0,解得y=-1,故B错误；

对于C,由直线方程x-2y+3=0,则其垂线的方程可设为2x+y+C=0,将点（一2,3）代入上式，可

得2x（—2）+3+C=0,解得C=I,则方程为2x+y+l=0,故C正确：

对于D,由直线方程x+Gy+l=0,可得其斜率为—乎，设其倾斜角为。，则tan6=-理，解得

8=150，故D错误.

故选：AC.

10.已知椭圆C:二+二=1内一点过点M的直线/与椭圆C交于4,B两点，且例是线段

42I2；

AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为"，F2,则下列结论正确的是()

A.椭圆C的焦点坐标为(2,0),(-2,0)

B.椭圆C的长轴长为4

C.直线MK与直线M凡的斜率之积为-工

4

D.|阴=半

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据椭圆的几何性质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.

22

【详解】依题意，椭圆C:二+二=1，

42

所以α=2,0=c=J5,所以焦点坐标为耳(JlO)(一/,0),A选项错误.

长轴长2α=4,B选项正确.

ɪɪ

k.k=a_____J=_J.,c选项正确•

MF，叱l-√2l+√24

2222

设则==

A(%,)),B(Λ2,%),

ɪ

两式相减并化简得2=y+%y-%,2y一%=1,)-1—8=]

4x1+x2x1-x21x1-x22x1-x2

13

即直线AB的斜率为-1,直线AB的方程为y—/=-(x—1),y=一无+万,

3

V=-X+-

.2

由＜22消去y并化简得6f—12x+l=0,

土+匕=I

I42

故选：BCD

11.已知数列｛%｝的前〃项和S“=；〃2+g〃+3(〃eN"),则下列结论正确的是()

A.数列｛%｝是递增数列B.数列｛q｝不是等差数列

C.a2,%，4成等差数列D.S6-S3,S9-S6,几-M成等差数列

【答案】BCD

【解析】

【分析】由an与S”的关系推导出数列｛«„｝的通项公式,判断选项A,B,分别计算出小,%，R和Sb-Si,

Sg-$6，512-S9,结合等差数列的定义判断选项C,D.

【详解】S,,=L∕+2"+3(neN*),

43v)

22

.∙.”≥2时，an=Sn-Sn_｛=→z+∣n+3-^-(∕j-l)+∣(n-l)+3=；〃+2，

47

—,∏=I1

12b

aneN

71=1时，ɑι=S1=TT'即n=<15ɔ--

-n-∖-----,n≥2

%=I<4=K，因此数列｛4｝不是单调递增数列，故A错误;

又〃=1时，不满足4,=+卷，

；•数列｛0,,｝不是等差数列，故B正确；

172941

-12412612

因此。2，%，。6成等差数列，故C正确;

15351553

∖-5=¾+¾+⅜=z×(4+5+6)+÷r×3=y»S-S=a+¾+a=-×(7+8+9)+-⅛×3=y

341乙"14967149lt

1571

S12-S9-010+αll+/=5x(10+11+12)+/3=W

S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,故D正确.

故选：BCD.

12.平行六面体ABer)-AB'C'D中，各棱长均为2,设NA'A5=NAAO=NflAB=O,则下列结论中

正确的有O

兀f-

A.当O=,时，ΛC,=2√3

B.AC'和8。总垂直

21

C.6的取值范围为(0,§)

D.6=60°时，三棱锥C—CBZX的外接球的体积是4指万

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,求正方体对角线即可判断；对于B,利用空间向量数量积运算即可判断；对于C,由正

三棱锥

A-A,BD高与斜高的关系即可计算判断；对于D,求出正四面体C-C'BZ>'外接球体积判断作答.

【详解】平行六面体ABCD—A'8'CZ>'中，各棱长均为2,设NA'45=NA'AD=NDW=O,

对于A,9=j∣时，该平行六面体为正方体，其体对角线长AC'=2百，A正确；

对于B,AC'=AB+AA+AD>BD=AD—AB，因此，

...,....2-2....

AC'BD=(AB+AA'+ADY(AD-AB)=AD-AB'+AA'-AD-AA'AB

=2?-2?+4COSe-4cos，=0，B正确;

对于C,连接8。,43,A。，如图，依题意，A-ABD为正三棱锥，取Bo中点E,

令。为正A'BE>的中心，^AE,AO,EO,有Aoj"平面A'BD，

aaao

正三棱锥A-A'8。的斜高AE=ABCoS上=2cos;,8。=2A3sin:=4Sin上，则

2222

C.√32√3.θ

OE=——BβDn=----sin—，

632

显然，AE>OE,即2cos∙^>空sin2,则tangvg,锐角,w(0,2),从而得6∈(0,?),C

2322233

正确；

对于D,当。=60时，三棱锥C-C'3N>'为正四面体，三棱锥A-ABO也是正四面体，它们全等，

2222

由C选项知，AO=y∣AE-OE=J(y∕3)-(-)=^,正四面体A-ABO的外接球球心在线段

V3√3

A。上，设球半径为小

则有尸=(AO一r)2+θβ2,整理得2A0∙r=AC>2+(2OE)2,解得「=空，

2

于是得三棱锥C-CPD外接球的体积V=普X(ɪ)ʒ=#万，D不正确.

故选：ABC

【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是

解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.准线方程为x=2的抛物线的标准方程是.

2

【答案】y=-Sx

【解析】

【详解】抛物线的准线方程为x=2,说明抛物线开口向左，且〃=2x2=4,所以抛物线的标准方程是

ʃ2=-8x.

4

14.已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为y=±1X,请写出双曲线。的一

个离心率.

【答案】ɪ(答案不唯一)

3

【解析】

【分析】分类讨论双曲线C的焦点在X轴、y轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可

得.

【详解】当双曲线C的焦点在X轴时，其渐近线为y=±2χ,则2=d,

aa3

所以离心率e=£1÷‰5

a3

aa4b3

当双曲线。的焦点在y轴时，其渐近线为y=±-χ,则一=一，即一

bb3a4

所以离心率6=£5

a4

综上，可得双曲线的离心率为3或

34

故答案为：I（答案不唯一）.

3

15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称/CME-7）的会徽图案,会徽的主体图案是由如图乙的一

—√A∣AQ—√AA3—••••—Arj—1,

连串直角三角形演化而成的，其中OA7如果把图乙中的直角三角形继续

作下去，记OAy,OA2,∙OAn,的长度构成数列｛4｝，则此数列的通项公式为

ICME-7

图甲

【答案】匹

【解析】

+利用等差数列的通

【分析】由图可知OAt=44=4A=…=44=1，由勾股定理可得=区

项公式求解即可.

【详解】根据图形OA=AA2=44=•••=44=1，

因为AQ4,4'AQ44…都是直角三角形，

4：=α,ι2+l,

∙∙∙%2是以1为首项，以1为公差的等差数列,

:.a；=1+（M-I）XI="，

an-yfn＞故答案为6.

【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考

查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.

22

16.已知过点尸(4,1)的直线与椭圆相交于不同的两点A和B,在线段AB上存在点Q,满

足网•网=屈H画,则IOQl的最小值为.

【答案】2叵

5

【解析】

【分析】设A(Xl,y),B(Λ2,%),Q(x,y),由A,P,8,Q四点共线，用向量共线关系表示A,B两点坐

标，又点AB在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出。点在一条定直线上，再求最短距离即可.

APPB

【详解】设A(XQJ,B(x2,y2),Q{x,y),由网.囱=|砌.网,记一=一,又A,P,B,Q

AQQB

四点共线，设P4=4AQ,则由已知；1＞0,月”PB=-ABQ.

由PA—λAQ,得(Xl—4,%—1)=2(九一/1,y—%),

4+Ax

ɪl

1+Λ

解得《同理PB=-λBQ,得(∙X2—4,%-1)=-4(x-%2,>-%)，

1+Λy

X=E

4—λx

(4+.XY(l+λyV

I-A因为点在椭圆上，所以［

解得＜A1+2J11+2J即

=1

%^I-A42

(4+Λx)2(l+∕ly)2

2

-7+-2^(I+Λ)>①

/〜Q16Xx4Λy,c„,,C

①-②得-----+―-=4Λ,因为λ；1>0

42

所以2x+y-2=0,故点。在定直线2x+y-2=0上,

22√5

IOQl的最小值为点。到直线2x+y-2=0的距离d-

故答案：正

5

【点睛】解析几何中线段定比分点问题方法点睛:

1.在平面直角坐标系中，已知A(X∣,yj,B(X2,%)，P(X,y)，且AP=/IPB，2≠0,且∕l≠-l,那么

我们就说P分有向线段A8的比为X,则有：

x+λx

X=12

1+A

这就是定比分点坐标公式.

X+4%

y=

1+2

当尸为内分点时，Λ>0;

当P为外分点时，Λ<0(λ≠-l).

2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一

个大题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，直线y=x-2与抛物线y2=2χ相交于4,B两点.

(1)求线段A8的长；

(2)证明：OALOB.

【答案】(1)2√10；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系求得∣AB∣∙

(2)根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.

【小问1详解】

式，即可求解.

【详解】(1)由题意，数列｛αj满足4+∣+α,=3∙2",即=-α,,+3∙2”,

l

6Z,,+I-2-'-α,,+3∙2--2"÷2r_

-----------——1，

`…a,-T4—2"

又由4=1,可得q-2∣=-1,

所以数列｛α,,-2"｝表示首项为τ,公比为T的等比数列.

(2)由(1)知""一2"=—1x(—l)"τ=(一1)",所以/=(T)"+2",

所以Sf,=2∣+2?+…+2"+(-1)+1+…+(-1)”,

当«为偶数时，可得S“=2(1-2，)+0=2,,+l-2；

"1-2

当〃为奇数时，可得S,,=2(l_2)_]=2向_3,

“1-2

’2"M-2,〃为偶数

综上可得，S“=<

2e-3,〃为奇数

20.已知两个定点M(TO),N(l,0),动点P满足MH=忘IpM•

(1)求点尸的轨迹方程；

(2)若点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.

【答案】(1)√+√-6Λ+1=0

(2)y=χ-l或y=-x+l

【解析】

【分析】⑴设点P(X,y),后由IMPl=3∣∕W∣结合两点间距离公式可得轨迹方程；

(2)由点N到直线PM的距离为1,可得NPMN=30°,则可得直线PM方程为

+将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直线PN方程.

【小问1详解】

设点P的坐标为(χ,y),因为∣Λ^=J5∣PN∣,

所以J(ΛT+1)2+y2=夜J(X—1)2+y2.

整理得/+/一6尤+ι=o,所以点P的轨迹方程为χ2+y2-6χ+ι=o.

【小问2详解】

因为点N到直线PM的距离为1,IMNl=2,

所以NPMN=30°，直线PM的斜率为走或-也，

33

所以直线PM的方程为y=*(χ+1)或y=一#(x+1).

联立轨迹方程与y=±2^(χ+l),

X2+y2-6x+1=O

可得VC=>X2-4Λ+1=O,

y=⅛-(χ+ι)

解得X=2+G或X=2—6.得直线PM的方程为)，=乎(χ+l)时，

P的坐标为(2+6,1+石)或(2-后,-1+方).直线PM的方程为y=一日(χ+i)时，P的坐标为

^2+>∕3,-1—ʌ/ɜj或(2—6/一6).

当P的坐标为(2+6,1+月)时，直线PN的方程为：

√—-1j∙AΓJ八"*•

3

P的坐标为(2-G,-l+G)时，直线PN的方程为:

-=T+卢=-1,即y=-x+l.

x-l1_√3

P的坐标为(2+G,一1—6)时，直线PN的方程为:

-ɪ=TH=-1,即y=r+l∙

x-l1+√3

尸的坐标为(2一6,1一行)时，直线PN的方程为：

y=1-[=1,即y=χ-L

X—11-√3

综上可得直线PN的方程为y=x-l^y=-x+∖

21.歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称

歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状.如图所示的五面体E尸-ABCD的底面488

为一个矩形，AB=2EF=8,4。=6,EFHAB,棱EA=ED=FB=FC=5,M,N分别是AO,

BC的中点.

（1）求证：平面£7WM，平面ABC£）；

（2）求平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

【解析】

【分析】（1）证明EMLAD以及MNlAD,根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面39C与平面EFcz）法向量，根据向量的夹角公

式即可求解.

【小问1详解】

因为E4=ED,M为A。中点，所以七MJ_4>.

在矩形ABC。中，M,N分别是4），BC的中点，所以MN/AD.

又EMCMN=M,EM，MNU平面EFNM,所以AD，平面EfMW.

又AZ）U平面ABCD，所以平面£7WM_L平面ABC£）.

【小问2详解】

在平面EMWW中，过户作EHLMV,，为垂足.

因为平面E/WM_L平面AB8,平面瓦NMC平面ABCr）=MN,

FHU平面EFNM,所以FHL平面ABCr>.

过〃作8C的平行线，交AB于点S,则”S=3,HN=2,HF=2上，

以〃为坐标原点，以“S，HN，HF方向分别为X轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标

系，则3(3,2,0),C(-3,2,0),0(—3,-6,0),F(O,O,2√3),

所以BE=(—3,—2,26),SC=(-6,0,0),CF=(3,-2,2√3),CD=(O,—8,0).

CF∙m=0..,3x-2y+2百Z=O

设平面EFC。的一个法向量为m=(X,y,z),则所以《)

CD∙m=QSy=0

取Z=百，解得《一C所以加=(一2,0,百卜

Iy=O

同理可得平面的一个法向量为〃=9,