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文档简介

炮车中学2024届高三考前热身数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数满足约束条件,则的最小值为()A.-5 B.2 C.7 D.112.函数fxA. B.C. D.3.函数的一个零点在区间内,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.4.若集合,,则=()A. B. C. D.5.设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则()A. B. C. D.6.若点x,y位于由曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域内(包括边界),则A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-37.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C.2 D.48.已知数列是以1为首项,2为公差的等差数列,是以1为首项,2为公比的等比数列,设,,则当时,的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.119.已知双曲线,为坐标原点,、为其左、右焦点,点在的渐近线上,,且,则该双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.10.双曲线:(),左焦点到渐近线的距离为2,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.11.在四边形中,,,,,,点在线段的延长线上,且,点在边所在直线上,则的最大值为()A. B. C. D.12.已知,则的大小关系是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,若,则________.14.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.15.若椭圆:的一个焦点坐标为,则的长轴长为_______.16.在平面直角坐标系中,曲线在点处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点,的面积为3,则的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在中,角、、所对的边分别为、、,且.(1)求角的大小;(2)若,的面积为,求及的值.18.(12分)某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得丰厚的利润.该公司年至年的年利润关于年份代号的统计数据如下表(已知该公司的年利润与年份代号线性相关).年份年份代号年利润(单位:亿元)(Ⅰ)求关于的线性回归方程,并预测该公司年(年份代号记为)的年利润;(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由(Ⅰ)中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,称该年为级利润年,否则称为级利润年.将(Ⅰ)中预测的该公司年的年利润视作该年利润的实际值,现从年至年这年中随机抽取年,求恰有年为级利润年的概率.参考公式:,.19.(12分)已知函数(为实常数).(1)讨论函数在上的单调性;(2)若存在,使得成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数.(1)设,求函数的单调区间,并证明函数有唯一零点.(2)若函数在区间上不单调,证明:.21.(12分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.22.(10分)[选修45:不等式选讲]已知都是正实数,且,求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据约束条件画出可行域,再将目标函数化成斜截式,找到截距的最小值.【详解】由约束条件,画出可行域如图变为为斜率为-3的一簇平行线,为在轴的截距,最小的时候为过点的时候,解得所以,此时故选A项【点睛】本题考查线性规划求一次相加的目标函数,属于常规题型,是简单题.2、A【解析】

由f12=e-14>0排除选项D;【详解】由f12=e-14>0,可排除选项D,f-1=-e【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→03、C【解析】

显然函数在区间内连续,由的一个零点在区间内,则,即可求解.【详解】由题,显然函数在区间内连续,因为的一个零点在区间内,所以,即,解得,故选:C【点睛】本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.4、C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.5、B【解析】∵∵∴∵,∴∴故选B点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系.6、D【解析】

画出曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域,y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)【详解】画出曲线x=y-2+1与y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)和定点P(2,-1)设k=y+1x-2,结合图形可得k≥k由题意得点A,B的坐标分别为A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范围为-∞,-3故选D.【点睛】解答本题的关键有两个:一是根据数形结合的方法求解问题,即把y+1x-27、A【解析】

由倾斜角的余弦值,求出正切值,即的关系,求出双曲线的离心率.【详解】解:设双曲线的半个焦距为,由题意又,则,,,所以离心率,故选:A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题8、B【解析】

根据题意计算,,,解不等式得到答案.【详解】∵是以1为首项,2为公差的等差数列,∴.∵是以1为首项,2为公比的等比数列,∴.∴.∵,∴,解得.则当时,的最大值是9.故选:.【点睛】本题考查了等差数列,等比数列,f分组求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.9、D【解析】

根据,先确定出的长度,然后利用双曲线定义将转化为的关系式,化简后可得到的值,即可求渐近线方程.【详解】如图所示:因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以渐近线方程为.故选:D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程,难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.10、B【解析】

首先求得双曲线的一条渐近线方程,再利用左焦点到渐近线的距离为2,列方程即可求出,进而求出渐近线的方程.【详解】设左焦点为,一条渐近线的方程为,由左焦点到渐近线的距离为2,可得,所以渐近线方程为,即为,故选:B【点睛】本题考查双曲线的渐近线的方程,考查了点到直线的距离公式,属于中档题.11、A【解析】

依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据求出的坐标,求出边所在直线的方程,设,利用坐标表示,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解:依题意,如图以为坐标原点建立平面直角坐标系,由,,,,,,,因为点在线段的延长线上,设,解得,所在直线的方程为因为点在边所在直线上,故设当时故选:【点睛】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.12、B【解析】

利用函数与函数互为反函数,可得,再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意,函数与函数关于直线对称,则,即,又,所以,.故选:B.【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】

由题意先求得的值,可得,再令,可得结论.【详解】已知,,,,令,可得,故答案为:1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题.14、(或写成)【解析】

设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.15、【解析】

由焦点坐标得从而可求出,继而得到椭圆的方程,即可求出长轴长.【详解】解:因为一个焦点坐标为,则,即,解得或由表示的是椭圆,则,所以,则椭圆方程为所以.故答案为:.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的几何意义.本题的易错点是忽略,从而未对的两个值进行取舍.16、【解析】

对求导,再根据点的坐标可得切线方程,令,可得点横坐标,由的面积为3,求解即得.【详解】由题,,切线斜率,则切线方程为,令,解得,又的面积为3,,解得.故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线,难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2);【解析】

(1)由代入中计算即可;(2)由余弦定理可得,所以,由,变形即可得到答案.【详解】(1)因为,可得:,∴,或(舍),∵,∴.(2)由余弦定理,得所以,故,又,所以,所以.【点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形,考查学生的运算求解能力,是一道容易题.18、(Ⅰ),该公司年年利润的预测值为亿元;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出和的值,将表格中的数据代入最小二乘法公式,求得和的值,进而可求得关于的线性回归方程,然后将代入回归直线方程,可得出该公司年年利润的估计值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归直线方程计算出从年至年这年被评为级利润年的年数,然后利用组合计数原理结合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【详解】(Ⅰ)根据表中数据,计算可得,,,又,,,关于的线性回归方程为.将代入回归方程得(亿元),该公司年的年利润的预测值为亿元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利润的估计值分别为、、、、、、、(单位:亿元),其中实际利润大于相应估计值的有年.故这年中被评为级利润年的有年,评为级利润年的有年.记“从年至年这年的年利润中随机抽取年,恰有年为级利润年”的概率为,.【点睛】本题考查利用最小二乘法求回归直线方程,同时也考查了古典概型概率的计算,涉及组合计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.19、(1)见解析(2)【解析】

(1)分类讨论的值,利用导数证明单调性即可;(2)利用导数分别得出,,时,的最小值,即可得出实数的取值范围.【详解】(1),.当即时,,,此时,在上单调递增;当即时,时,,在上单调递减;时,,在上单调递增;当即时,,,此时,在上单调递减;(2)当时,因为在上单调递增,所以的最小值为,所以当时,在上单调递减,在上单调递增所以的最小值为.因为,所以,.所以,所以.当时,在上单调递减所以的最小值为因为,所以,所以,综上,.【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究函数的存在性问题,属于中档题.20、(1)为增区间;为减区间.见解析(2)见解析【解析】

(1)先求得的定义域,然后利用导数求得的单调区间,结合零点存在性定理判断出有唯一零点.(2)求得的导函数,结合在区间上不单调,证得,通过证明,证得成立.【详解】(1)∵函数的定义域为,由,解得为增区间;由解得为减区间.下面证明函数只有一个零点:∵,所以函数在区间内有零点,∵,函数在区间上没有零点,故函数只有一个零点.(2)证明:函数,则当时,,不符合题意;当时,令,则,所以在上单调增函数,而,又∵区间上不单调,所以存在,使得在上有一个零点,即,所以,且,即两边取自然对数,得即,要证,即证,先证明:,令,则∴在上单调递增,即,∴①在①中令,∴令∴,即即,∴.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间和零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.21、(1)见解析;(2)【解析】

(1)设中点为,连接、,首先通过条件得出,加,可得,进而可得平面,再加上平面,可得平面平面,则平面;(2)设中点为,连接、,可得平面,加上平面,则可如图建立直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设中点为,连接、,为等边三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,为的中位线,,平面,平面,平面,

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