湖南省常德市2023届高三二模数学试题 含解析

2023年湖南省常德市高考模拟试卷

数学试题

一、单选题(本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性可排除A,根据x>0时，的符号可排除D,根据X→+X)时，函数的函数值

可排除C,即可得解.

【详解】解：因为/(x)=cJ'c,，所以/(T)=Cr…=一/。)，所以函数/(X)=…Cr为奇

函数,排除A；

2x

x>0时，/(%)=-——>0恒成立，排除D；

2'+2"x7

当x→+/时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知y→0,排除C；

故选：B.

2.已知函数/(x)=COS—,g(x)=sin2x,将函数/(x)的图象经过下列哪种可以与g(x)的图

象重合()

TrTT

A.向左平移一个单位B.向左平移一个单位

126

πTr

C.向右平移一个单位D.向右平移一个单位

126

【答案】C

【解析】

【分析】利用诱导公式结合三角函数平移即可.

.(gIπ).「勺(，兀1

【详解】/(x)=COS2x-1=sιn2x——+—sin2x+-=sιn2x-∖---

(32I6jI12；

将函数/(x)的图象向右平移专个单位：/[∙T-^∣J=sin2x=g(x);

故选：C

3.已知向量a、匕满足卜+“=%一可，且同=豆，W=I,则向量〃与α+b的夹角为()

π2π5π

B.—C.D.

336~6

【答案】A

【解析】

【分析】由题知α∕=0,进而得b∙(α+8)=l,卜+司=2,再根据夹角公式求解即可.

【详解】解:因为向量0、6满足卜+0=卜一目,

所以,+》『=卜_可2,即Ia「+2a/+1[=|。「_2。/+1『

所以，ab=O<即

所以b∙+20∙∕?+网2)

b∙∖a+b

所以COS(6,4+5)=

∖h∖∖a+h∖

因为心,α+与«0,兀],

所以G，a+Z?)=：

故选：A

22=1的离心率eN且的

4.某人同时掷两颗骰子,得到点数分别为。，b,则焦点在y轴上的椭圆3+5

a2b22

概率是()

511

A.—B.-C.一D.-

36643

【答案】C

【解析】

B,解得o<9≤L,再利用列举法和古典概型概率计

【分析】根据椭圆的离心率，有e=

2a2

算公式，求得相应的概率.

2r2

【详解】因为椭圆「v+J=I的焦点在y轴上，所以α>b,

/b2

，解得O<一≤—，

2a2

投掷骰子得到点数(a,。)共有36种,

b1_

其中满足0<t≤一的有：

a2

(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)共9种，

所以所求概率二9=一1.

364

故选：C.

5.已知/(x)是周期为4的奇函数，/(3)=2,则/(9)=()

A.6B.-6C.2D.-2

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的周期性和奇偶性计算即可.

【详解】/(X)是周期为4的奇函数，

∙∙∕(9)=∕(l)=-∕(-l)=-∕∙(3)=-2.

故选：D

6.已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={l,2,3},B={2,4},则AUB=()

A.{2}B.{2,3,4}C.{1,2,3,4}D.{θ,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】根据并集的定义即可得解.

【详解】因为集合A={l,2,3},B={2,4},

所以AB={1,2,3,4}.

故选：C.

7.下列说法不正确的是()

A.回归分析中，K的值越大，说明残差平方和越小

B.若一组观测(为，/)、(占，%)、(X",")满足y=如+α+e,∙(i=l,2,…,〃)，若e,∙恒为0,则

/?2=1

C.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法

D.画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号

【答案】D

【解析】

【分析】根据相关指数与残差的关系可判断AB选项的正误；利用回归分析的概念可判断C选项的正

误；利用残差图可判断D选项的正误.

【详解】对于A,回归分析中，内的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A对；

对于B,若一组观测(4，兄)、(才2，%)、(X.,％)满足y=如+α+e,∙(i=l,2,...,"),若e,∙恒为0,

则#2=1，B对；

对于C,回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，C对；

对于D,残差图中横坐标可以是样本编号，也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D错.

故选：D.

8.已知A,B,C,D,E为抛物线y=上不同的五点，抛物线焦点为尸，满足

4

FA+FB+FC+FD+FE则闸+|啊+|罔+归斗+归耳=()

585

A.5B.10C.—D.—

1616

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得，焦点E(0,l),准线为y=-l,由£4+尸8+77C+ED+b2=0，可得

X+%+/+”+为=5,根据抛物线的定义，可得结论•

【详解】抛物线y=1/的准线方程为好一1,焦点坐标为(o,l).

4

设A,B,C,D,E的纵坐标分别为兄，J2>力，”，丫5，则

FA+FB+FC+FD+FE=O>

∙,∙y-1+%-1+%-1+>4-1+%-1=。,

∙,∙%+%+%+%+%=5，

根据抛物线的定义，可得

∣M∣+∣FB∣+∣FC∣+∣FD∣+∣FE∣=yl+l+y2+l+y3+l+γ4+l+γ5+l=10,

故选：B.

【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到y+必+%+%+%=5是解

题的关键.

二、多选题(本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求)

9.已知圆G：(x+mf+(>-2)2=l与圆。2：(x-l)2+(y+w)2=i6外切，则加的值可以为()

A.-5B.-2C.2D.5

【答案】AC

【解析】

【分析】由两圆外切可得圆心距等于半径之和，从而可得答案.

【详解】圆C∣:。+〃2)2+0-2)2=1的圆心。|(一加,2),半径4=1,

圆。2：(x-iy+(y+m)2=16的圆心。2(1，一㈤，半径4=4,

因为圆C：(X+m)2+(y-2)2=1与圆。2：(χ-l)2+(y+m)2=16外切，

所以IGC2∣=q+2，即J(_，篦_1)2+(2+加)2=5,解得加=一5或2.

故选：AC.

10.下列命题中为真命题的是()

7a-b=0”的充要条件是“@=1”

b

B.是“L<《”的既不充分也不必要条件

ab

C.命题/一2，<0”的否定是“心任尺，d—2,≥0''

D.tta>2,力〉2”是“仍>4”的充分条件

【答案】BD

【解析】

【分析】对A：由q=lnα-%=0,但a—@=1即可判断；

bb

对B：取。=2,匕=一1,满足a>h,但同理取。=一l,b=2,满足,<]，但a<b即可判断；

ahab

对C：根据存在量词的命题的否定即可判断；

对D：因为。>2/>2=>次;>4,但次?>44。>2,/?>2即可判断.

【详解】对A：由0=1=>。一人=0,但a=b=O4-=1,所以3=1是〃一力=0的充分不必要条

bhb

件，故选项A错误；

对B：取a=2∕=-l,满足a>b,但4>2，所以a〉/?4,<4；同理取a=-l,b=2,满足

abah

-<T，但a<b,所以工<工4a>b,所以a>6是的既不充分也不必要条件，故选项B正确:

ababab

对C：命题“3XeR,χ2一2，<o"的否定是VxeR,χ2-2x≥0,∖故选项C错误；

对D：因为a>2,8>2=>ab>4,但ah>4%a>2,b>2,所以“。>2,〃>2''是"。人>4''的充分

不必要条件，故选项D正确：

故选：BD.

11.已知“4〃是两条不同的直线，a，尸是两个不同的平面，给出下列命题中正确的是（）

A.若相∙La,“∕∕a,则m_L〃B.若tn∕∕n,nuβ黠m//β

C.若m//a,n//p,a//4，则相〃〃D.若mJ-7?,机//a,则C/?

【答案】AD

【解析】

【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.

【详解】由加，"是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，

若m[a,n"a,由线面垂直的性质和线面平行的性质，可得加_L〃，所以A正确；

若加//〃,〃u£,则m//月或加u/?,所以B不正确；

若mlg,川∕β,a∕∕β,则加与〃相交、平行或异面，所以C不正确；

若InHa,则在a内存在直线〃，使得加〃〃，由可得〃_L£,

结合面面垂直的判定定理，即可证得C4，所以D正确.

故选：AD.

12.数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词源于希腊文，

它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似

于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形ABC。中，作它的内接正方形EFG”，且

TTTT

使得NBEF=一；再作正方形EFG”的内接正方形MNPQ,且使得NFMN=一；与之类似，依次

1212

进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第〃个正方形的边长为明（其中第1个正方形ABC。的

边长为q=AB,第2个正方形EFG〃的边长为=EF,…），第〃个直角三角形（阴影部分）的面

积为S“（其中第1个直角三角形AE”的面积为S∣,第2个直角三角形EQM的面积为邑，…），则

（）

F

B

A.数列｛α,,｝是公比为:的等比数列B.S=-

3112

C.数列｛S,,｝是公比为9的等比数列D.数列｛S,,｝的前〃项和

94

【答案】BD

【解析】

【分析】根据题意有4=%+∣（sinl50+cosl50）,即可判断数列｛%｝为等比数列，进一步求出S,可

判断

【详解】由图可知%=%（sinl5。+CoSl5。）=5An（15。+45。）=与“

所以%L=迈，所以数列｛4｝是首项为1,公比为立的等比数列，故A错误；

a,,33

,

（∕∑Y^'111∕2γ

则Q=N-,由题可得5“二一乜用5苗15。・%+40515。=一。用2=—、一，

[3）2/1+ln+,8π+l8（3J

所以S=J∙χ2=-L,故B正确；

'8312

S2

因为Yi=弓，所以数列⑸｝是公比为:的等比数列，故C错误;

工?33

12

r_,⑴_11(2Yl,故D正确.

"1_244⑴4

^3

故选：BD.

三、填空题(本大题共4小题，共20分)

13.己知/为曲线丁=如吧在(l,α)处的切线，当直线/与坐标轴围成的三角形面积为;时，实数。的值

为.

3

【答案】0或一

4

【解析】

【分析】求出函数的导数，求得在点(La)处的切线方程，令％=()求出y的值，令y=o求出X的值，再由

3

三角形的面积公式，得到关于。的方程，从而求得。或一.

4

1—a—1∏γ

【详解】因为y=———，所以y(l)=l-α,

X

所以切线的方程为：y-α=(l-α)(x-l),

∖-2a

令X=O得：y-2a-∖∙令y=0得：X=--------,

∖-a

所以S=一∙IXI∙IyI=-------------=—,解得：。=0或一，故填：0或一.

22∣l-O∣244

【点睛】本题考查导数的几何意义、曲线在某点处的切线方程，考查运算求解能力.

14.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取

法共有种.

【答案】70

【解析】

【详解】试题分析：任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视

机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出

所有的方法数.

2

解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C4C5'=30种；

甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C∕C52=40种；

共有30+40=70种.

故答案为70

考点：组合及组合数公式.

15.已知函数f(x)=ax3+x2-ax(aeR,a≠O)y.如果存在实数α∈(τo,-"使函数

g(χ)=∕(χ)+∕'(χ),%€[-1,句(》>一1)在％=-1处取得最小值，则实数。的最大值为

[答案]巫二1

2

【解析】

【分析】将g(x)在尸-1处取得最小值，转化为g(x)Ng(T)恒成立，存在实数a,再将存在问题转化为

最值问题即可.

2

【详解】/(x)=ax'+x-axf

f(x)=3ax2+2x-a,

g(x)=/(ɪ)+/(x)=ax'+(3Q+1)X2÷(2-a)x-a,

当xe[—1,々时，g(x)在行一1处取得最小值，

则g(x)≥g(-1),即：(x+l)[α√+(2α+i)χ+(i-3α)]≥0,

当X=-I时,不等式恒成立.

当一l<x≤b时，不等式可化为：0x2+(2α+l)x+(l-3α)≥0,

设MX)=Or2+(2α+l)x+(l-3α),a∈(-∞,-Γ∣,

知其图象是开口向下的抛物线，故旗村在闭区间上的最小值必在端点处取得，且A(-l)=-4。>0,则不等

式成立的充要条件是∕zS)≥O,整理得1，,则该不等式在α∈(-8,-l]上有解，即

"+Zb1≤(_1)=1,得一1</,4姮二L,解,故实数b的最大值为姮二ɪ.

h+la22

故答案为：Ml二1

2

16.在正方体ABa)-ABlG。中，M是线段AG的中点，若四面体M—ABO的外接球体积为36兀，

则正方体棱长为.

【答案】4

【解析】

【分析】利用几何关系，找到外接球的球心，从而列出一个关于正方体棱长的方程，解方程即可.

【详解】设该正方体的棱长为设四面体M-ABO的外接球的半径为R,

取3。的中点H,可得H是下底面ABCD的中心，设四面体M—A3。的外接球的球心为0，

在正方体ABCZ)-ΛiB]G0ι中，

.∙.J_平面ABC。，即，平面AB£>,

则点。在MH上,

连接0A,

MH=a,0H=MH—R=a—3.

AH=-a,OA=R=3,OA2=AH2+OH∖

2

.∙.32=ɑ)?+(。-3)2,

a>0y,∖a=4,即正方体棱长为4.

故答案为：4

四、解答题(本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.在ABC中，丝Ws=Ξ2≤,5=2，BC边中线AM=

√3aCOSA6

(I)求A的值；

(2)求一ABC的面积.

【答案】(1)ɪ

6

⑵√3

【解析】

【分析】(1)由正弦定理结合三角恒等变换得出A的值；

(2)由余弦定理得出b=2,最后由面积公式得出一ABC的面积.

【小问1详解】

因为2bdC=竺£,所以由正弦定理可得2任斤Q呼C=您C

∖∣3acosA√3sinAcosA

2sinBcosA=布SinAcosC+>∕3sinCcosA=∙j3sin(A+C)=6SinB

因为SinBW0,所以COSA=立，因为A∈(0,兀)，所以A==.

26

【小问2详解】

因为3=套，C=乃一A-B=鼻，可知.HBC为等腰三角形.

.一AMC中，由余弦定理可得AW?=AC2+M02-2AeMCCoSl20°

即7=/+(2)2—2x6χ2XeoSI20。，解得b=2

22

所以一ASC的面积为5=ɪ∕>2sinC=ɪ×22×^--∖f3-

222

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S”，且满足2S,+2〃=3a,(〃eN)

(1)｛%｝的通项公式；

(2)若么=nan+n,求数列也｝的前"项和Tn.

【答案】(1)4=3"-l

【解析】

S,π=1/、

【分析】⑴根据1。C作差得到3%+2,从而得到4+1=3(*+1),即可得到

⑸-Sg,心2

｛4+1｝是以3为首项，3为公比的等比数列，即可求出通项公式；

(2)由(1)可知"="3",利用错位相减法求和即可.

【小问1详解】

因为2S“+2〃=3a“(〃eN*)①，

当〃=1时2S∣+2=3α∣,则α∣=2,

当“≥2时∙2S,,τ+2(〃-l)=3α,τ②，

①一②得2S“+2.-2S"T-2(〃-1)=34-3α,τ,即2an+2-3an-3απ,l,

Λ

则an=3α,ι+2,所以a”+1=3(,,,I+1),

所以｛%+l｝是以3为首项，3为公比等比数列，所以α,,+l=3",贝∣J4=3"-1.

【小问2详解】

因为2=nall+n,所以a="(3"-l)+〃="x3",

所以7；=1X3∣+2X32+3X33++〃x3"③，

37；=l×32+2×33+3×34++n×3n+1(≡),

③一④得一2(,=1X3∣+1X32+1X3'++l×3),-n×3,,+'

19.某大学一个专业团队为某专业大学生研究了多款学习软件，其中有A,B,C三款软件投入使用，经

一学年使用后，团队调查了这个专业大一四个班的使用情况，从各班抽取的样本人数如下表：

(1)从这12人中随机抽取2人，求这2人恰好来自同一班级的概率；

(2)从这12名学生中，指定甲、乙、丙三人为代表，已知他们下午自习时间每人选择一款软件，其中选

A,B两款软件学习的概率都是L,且他们选择A，B,C任一款软件都是相互独立的，设这三名学生

6

中下午自习时间选软件C的人数为J,求J的分布列和数学期望.

13

【答案】(1)

66

(2)分布列见解析，E图=2

【解析】

【分析】(1)结合组合的应用，根据古典概型公式求解即可；

(2)由题知，甲乙丙同学选择。任一款软件学习的概率是I,J8卜,1),进而根据二项分布求解即

可.

【小问1详解】

解：由题知，从这12人中随机抽取2人，共有C》=66种可能情况，

记“这2人恰好来自同一班级”为事件A,

则事件A包含的可能情况有：C；+C；+C；+C；=3+1+3+6=13种，

13

所以，P(A)=-

66

【小问2详解】

解：由题知，J的可能取值为01,2,3,

因为选A,8两款软件学习的概率都是,，且他们选择A,B,C任一款软件都是相互独立的

6

112

所以，他们选择。款软件学习的概率是1--------=-

663

所以，这三名学生中下午自习时间选软件C的人数为4β∣3,∣

∖ʒ/

所以,P(K)=需词V，P(X)=G职守哮＞

4(2∖"1∖°8

P(4=2)=C

927

所以，J的分布列为:

40123

1248

P

279927

所以，E(J)=3xg=2

20.己知A、B是双曲线a：r=1（。〉0/〉0）的两个顶点，点。是双曲线上异于八、8的一

a

22

点，O为坐标原点，射线OP交椭圆。2：鼻+%=1（〃＞方＞0）于点。，设直线B4、PB、QA.QB

的斜率分别为人、七、勺、li4-

若双曲线的渐近线方程是且过点

(1)Gy=±gχ,求G的方程;

(2)在（1）的条件下，如果4+&=g，求MBQ的面积;

(3)试问：勺+&+%+勺是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

1*2]6

【答案】（1）--/=1：（2）AABQ的面积为二；（3）定值为0.

417

【解析】

2

【分析】（1）设双曲线Cl的方程为工一＞2=4,将点的坐标代入双曲线G的方程，求出2的值,

4-

可求出双曲线Cl的方程;

（2）设点P的坐标为（X°，%），设直线PQ的方程为丁="，则%="，由点P在双曲线α上得出

Y215

包-尤=1,可得出其-4=4邸，利用斜率公式以及条件K+&=?可求出射线OP的方程，由此可

48

得出点Q的纵坐标，由此计算出ΔABβ的面积;

LL

（3）由题意得出K=%，设点夕（々），九）、β（χ1,y1）.则2=2=3利用斜率公式得出

⅞ɪi

OA2OA2

K+A,=冬，k3+k4=-=^τ,由此可得出K+&+&+&的值.

^ka^ka'

!2

【详解】（1）由于双曲线Cl的渐近线方程为y=±-x,可设双曲线Cl的方程为r二—>2=2,

的坐标代入双曲线Cl的方程得Zl

因此，双曲线Cl的方程为£一：/=1；

（2）设射线OP所在直线的方程为丁=丘，设点尸（题，儿），则为=日°，

2

因为点尸在双曲线G上，所以今一第=1,可得焉一4=4%.

Qi∣=）））Λ

Qi+i2'oI'o==2xoY=0=1=15.G—W

'⅞+2X0-2只一44y：2%2k8'一"一S

4

所以，射线。尸所在直