陕西省交大附中龙岗中学高三上学期第一次联考文科数学试题

2020～2021学年第一学期交大附中、龙岗中学第一次联考数学（文）试题注意：本试题共4页，三道大题.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（）条件A.必要不充分B.充分不必要C.充要D.既不充分也不必要3．已知三条不重合的直线，两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，，且，则B.若，，则C.若，，，，则D.若，，，则4．2018年5月至2019年春季，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦．假设蝗虫的日增长率为5%，最初有只，则经过（）天能达到最初的16000倍．（参考数据：）A.197B.198C.199D.2005．设实数满足约束条件，则的最大值是A.B.C.D.6．若双曲线的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为（）A.B.C.D.7．已知，且，则的最小值为（）A.B.C.D.8．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（）A.B.C.D.9．在直三棱柱中，，，则该直三棱柱的外接球的体积是（）A.B.C.D.10．设的内角的对边分别为，且，则是（）A．等腰三角形B.直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形11．已知数列前项和是,且满足,,,，则（）A.B.C.D.12．下列关于函数的结论中，正确结论的个数是（）①的解集是；②是极大值，是极小值；③没有最大值，也没有最小值；④有最大值，没有最小值；⑤有最小值，没有最大值.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“，”的否定是.14．一块外表面均被涂为红色的正方体被分成64个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀混合，则从中任意取出一块小正方体仅有一面涂成红色的概率是．15.函数，对于任意的，存在，使，则实数的取值范围是.16.已知双曲线，圆，若双曲线的一条渐近线与圆相切，则当取得最小值时，双曲线的实轴长为.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）（一）必考题：共60分.17.（本题满分12分）已知函数，．（=1\*ROMANI）求函数的最小正周期和对称轴；（Ⅱ）设的内角的对边分别为，满足，，且的面积为，求的值．18.（本题满分12分）已知数列的前项和为，满足，.（=1\*ROMANI）求数列的通项公式；（Ⅱ）设（），求数列的前项和.19.（本题满分12分）定义椭圆（）的“蒙日圆”方程为.已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为.（=1\*ROMANI）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积.20.（本题满分12分）如图，已知正方体中，点分别是棱的中点.（=1\*ROMANI）证明：四点共面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）若正方体的棱长为2，点是线段上的一个动点，且动直线与平面所成的角记为，求的最大值.（本题满分12分）已知函数.（=1\*ROMANI）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，求证：.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．22.（本题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线的方程为.以极点为原点，以极轴为轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为，为参数，.（=1\*ROMANI）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（Ⅱ）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于两点，求的值.23.（本题满分10分）[选修45：不等式选讲]已知函数.（=1\*ROMANI）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.数学（文）试题参考答案选择题（12×5分=60分）题号123456789101112答案DAACAACBBDCB填空题（4×5分=20分）13..，；14.15.16.6解答题（5×12分+10分=70分）17.（12分）（=1\*ROMANI）解：（3分）则函数的最小正周期为；（4分）令，则函数的对称轴为：.（6分）（Ⅱ），且，则，（7分）由，可知，（9分）由余弦定理及，可知；（11分）所以：.（12分）18.（12分）（=1\*ROMANI）当时，，所以；（2分）当时，，所以，于是；（5分）所以，是首项为3，公比是3的等比数列，于是，.（7分）（Ⅱ），（8分），.（12分）19.（满分12分）（=1\*ROMANI）抛物线的焦点为，则，（1分）又，且，所以，（3分）于是椭圆的标准方程为：；“蒙日圆”方程为.（5分）（Ⅱ）设直线：，由可得：，令可得：，.（7分）方法1：“蒙日圆”方程为，圆心为，半径，则圆心距离，（8分）（10分）于是，.（12分）方法2：由，可得：，即则，，（7分）（9分）则圆心距离，（10分）于是，.（12分）20.（满分12分）证明：（=1\*ROMANI）连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以：；又因为是中点，所以；又因为是中点，所以；所以，所以四边形平行四边形，所以四点共线.（3分）（Ⅱ）因为是中点，所以，又因为，所以；（4分）又因为在正方体中，平面，所以，又，且平面，所以平面，又平面，（6分）所以平面平面；（7分）（Ⅲ）方法1：设点到平面的距离为，则，当最小值时，最大，又由于是等腰三角形，所以当移动到中点时，，此时最小；（9分）在中，，，则记线段的中点为时，；又，又，所以，所以；所以，.（12分）方法2：如图，平面平面，则过作，交线段的延长线于点，又由（1）知平面平面，，所以；（8分）所以动直线在平面上的射影为，则，于是，当最小值时，最大，又由于是等腰三角形，所以当移动到中点时，，此时最小，所以.（10分）由于是线段的四等分点，则在平面中可知；又由于中，，，则；于是.（12分）21.（满分12分）（=1\*ROMANI）（1分）①当时，，所以在上递增；（2分）②当时，令，则，当时，；当时，，所以在区间上递增，在上递减.（4分）（Ⅱ）方法1：构造函数①当时，由（Ⅰ）在上递增，又，不符合题意，舍；（5分）②当时，由（Ⅰ）知在区间上递增，在上递减；所以，解得：.（7分）综上：方法2：分离参数恒成立，等价于，（5分）设，，，令，，则当时，；当时，，所以在区间上递增，在上递减；所以，所以：（7分）（Ⅲ）由（=1\*ROMANI）知，当时，恒成立，即（仅当时等号成立）（8分）①当时，，即；所以，，，，……，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；（10分）②当时，，即，即所以，，，，……，；上述不等式相加可得：，即：，即：，；（12分）综上：当时，.22.（满分10分）（=1\*ROMANI）因为曲线的极坐标方程为，所以：；又因为：，所以：，即曲线的直角坐标方程.（3分）曲线的参数方程为，消去参数，可得曲线的普通方程；（5分）（Ⅱ）由于曲线的直角坐标方程，则，且倾斜角为，（6分）设曲线的参数方程为，为参数，且两点的参数分别为，则将曲线的参数方程代入曲线的普通方程可得：，由韦达定理可知：，，（8分）.（10分）23.（满分10分）（=1\*ROMANI