第2讲函数的图像与性质

第2讲函数的图像与性质知识方法扫描一、映射对于任意两个集合与，依对应法则，若对巾的任意一个元素，在中都有唯一一个元素与之对应，则称为一个映射．若：是一个映射，对任意，且，都有则称之为单射．若是映射且对任意，都存在一个，使得，则称是到上的满射．若既是单射又是满射，则叫作一一映射．一一映射存在逆映射，即从到由相反的对应法则构成的映射，记作．

二、函数的基本性质

1．单调性：设函数在区间上满足对任意的，并且，总有，则称在区间上是增（减）函数，区问称为单调增（减）区间．

2．奇偶性：设函数的定义域为，且是关于原点对称的数集，若对于任意的，都有，则称是奇函数；若对任意的，都有，则称是偶函数．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称．3．周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内每一个数时，总成立，则称为周期函数，称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数，则这个正数叫作函数的最小正周期．4．点集称为函数的图像，其中为的定义域．函数的图像与其他函数图像之间的关系为（1）向右平移个单位得到的图像；（2）向左平移个单位得到的图像；（3）向下平移个单位得到的图像；（4）与函数的图像关于轴对称；（5）与函数的图像关于原点成中心对称；（6）与函数的图像关于直线对称；（7）与函数的图像关于轴对称．5．对勾函数的单调递增区间是和，单调递减区间为和．（请读者自己用定义证明）6．连续函数的性质：若，在上连续，且，则在区间内至少有一个实根．处理函数问题时考生要注意运用数形结合思想．经常要将函数与方程结合起来一起考虑．要求熟练掌握常用的基本初等函数（二次函数、指数、对数、三角函数）的图像与性质．还要注意函数中的应用性、开放性和探索性问题．典型例题剖析【例1】已知实数，满足，求．【分析】利用函数的单调性和奇偶性．【解】由已知有．令，可知该函数是奇函数，且严格单调递增，故，即．所以，即．评注这类问题一般是利用函数的特殊性质来解决．【例２】设是一个给定的实数，试求所有的函数：为全体实数的集合），使得对于任何的，都有及．【分析】由可得，，又由，于是可考虑从，的最小公倍数12入手将两者联系起来．【解】由知，，则．由知，，则所以，所以．于是由，所以．综上可知，当时，；当时，不存在．评注这类问题对函数的周期性进行挖掘和延伸，值得留意．【例3】已知，求的最小值【分析】本题结构较为复杂，颇难处理，但若将条件变形为并自然联想起函数的单调性，则问题迎刃而解．【解】已知条件可以变形为．构造函数，则以上不等式即为．由于，易知在与上均单调递增，于是在上单调递增．所以由知，，又因为，所以，所以，当且仅当时等号成立．评注灵活利用函数的性质解题，往往可以事半功倍．【例4】求的最小值．【分析】绝对值型函数的最值问题，可以考虑绝对值的几何意义，也可以首先分析最值点可能在哪些地方取得进行突破．【解法1】由绝对值的几何意义，想到将整理为，共项，则表示数轴上点到，，这个点距离之和，由于，所以的最小值在第和第个点之间取得，又由于，则，所以第和第个点均为，所以．【解法2】当与时，均有，且为连续函数，由图像知，的最小值只可能在转折点处取得，则又由于，所以的最小值一定在，两者中取得，而．所以，当时，．评注解法1从绝对值的几何意义出发求最值，解法2从函数图像的角度分析求最值．【例5】求函数的值域．【分析】要求函数的最值或值域，首先考虑函数在定义域内的单调性．【解法1】函数的定义域为．（1）当时，易知函数，，于是，，当时等号取得．（2）当时，．因为，则，则，所以．所以，原函数的值域为．【解法2】由得，（1）当时，易知函数是增函数，故，从而．当时，易知函数是减函数，故，从而，即．【解法3】由得，平方后即，解得，由，解得．所以，原函数的值域为．评注随着学习的进一步深入，处理手段的增多，该题还会有一些其他解法（如求导、三角代换等）．【例6】试构造函数、，其定义域为，值域为，并且对任意的，只有一解，而则有无穷多解．【分析】构造函数的主要难点在于定义域为开区间而值域为闭区间．【解】事实上，题目要求构造的函数是一个单射，为了使定义域为，值域为，我们构造这样的：易验证，满足题设的条件．而题目要求构造的函数不是一个单射，在我们所接触的函数中，最常见的非单射的函数是三角函数．设，易知，满足题设的条件．评注本题有大学数学的风格．【例7】讨论关于的方程的根的个数．【分析】要求方程的根的个数，我们可考虑画出函数和的图像，前者可采用零点分段法去掉绝对值符号变为分段函数，后者是经过定点的直线．【解】原方程的根的个数即函数与的图像的交点个数（图21），利用绝对值函数的零点分段讨论法，不难得到．另一方面，一次函数恒过定点，经计算，可得的分界点为，所以，可以得到方程根的个数为评注利用数形结合的方法，将代数问题几何化避免了复杂的计算，正如华罗庚教授的名言：数缺形时少直观，形缺数时难入微．【例8】已知函数．（1）是否存在实数和，使得函数的定义域和值域都是?若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由．（2）若存在实数和，使得函数的定义域是，值域是，求实数的取值范围．【分析】需要利用函数的单调性、不等式关系，以及代数方程来讨论．【解】（1）不存在满足题目条件的实数和．事实上，若存在满足题目条件的实数和，则有．故．（i）当，时，在区间上为减函数，所以即．由此推得，与已知矛盾，故此时不存在满足题目条件的实数和（ii）当时，在区间上为增函数，所以即，于是和为方程的实根．而此时这个方程无实根，故此时也不存在满足题目条件的实数和（iii）当，时，显然，而，所以，这与中的无法取0矛盾．综上可知，不存在满足题目条件的实数和．（2）若存在实数和满足的定义域是，值域是，易得．仿（1）知，当或，时，满足题目条件的实数和不存在．只有当时，在上为增函数，有即，于是和为方程的两个大于1的实根．所以要满足解得．所以的取值范围为．评注解决此类探索性问题时需要充分利用题设条件．同步训练一、选择题1．函数的图像的对称中心是（）． A． B． C． D．2．函数是区间上的单调递增函数，当时，，且，则的值等于（）． A． B． C． D．二、填空题3．已知，若关于的方程在区间内有两个不同的解，则的取值范围是．4．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则．5．已知函数，则函数在区间上的最大值为．6．若对满足的一切，恒成立，则的取值范围是．7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为．8．设是定义在上的奇函数，且当时，．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是．三、解答题9．已知函数的定义域为．（1）当时，求函数的值域；（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围．10．设函数满足：，且当时有，证明：当时，有．11．设．当时，，在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．12．设是实数，．（1）求证：所有这样的抛物线都经过同一个定点，并求出点的坐标；（2）求证：所有这样的抛物线的顶点都在同