河北省保定市部分高中2023-2024学年高二上学期12月联考试题数学

高二数学考试注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册至选择性必修第二册第四章第2节。一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线l：在x轴和y轴上的截距分别是A.，B.，C.，D.，2一只蚂蚁从点P(1，1，0)出发，在Oxy和Oxz平面上爬行，则这只蚂蚁爬到点Q(2，0，2)的最短距离为A.B.3C.D.3.已知数列为等差数列，，，则A.12B.13C.22D.234.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，点F满足.若B，D，A1，F四点在同一个平面上，则m=A.B.C.D.5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l过点F且倾斜角为的直线在第一象限交C于点A，若点A在l上的投影为点B，且|AB|=4，则p=A.1B.2C.D.46.已知A(1，0，1)，=(1，0，1)是平面α的一个法向量，且B(1，2，2)是平面α内一点，则点A到平面α的距离为A.B.C.D.7.如图，花篮的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴旋转所得到的曲面.已知该花篮的总高度为45cm，底面圆的直径为20cm，上口圆的直径为cm，最小横截面圆的直径为10cm，则该双曲线的离心率为A.B.2C.D.8.观察下列数的规律；2，4，4，8，8，8，16，16，16，16，32，32，32，32，32，64，…，则第100个数为A.213R.214C.215D.216二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则A.直线l过定点(0，1)B.圆C的半径为3C.当m=0时D.圆心C到直线l的最大距离是210.下列结论正确的是A.若向量=(1，1，1)，=(2，2，2)，=(3，1，3)，则，，共面B若直线l的方向向量为=(1，1，1)，平面α的一个法向量为=(1，0，=1)，则l∥αC.若向量=(1，1，1)，b=(2，一2，2)，则在上的投影向最为D.已知平面α，β不重合，平面α的一个法向量为=(1，0，1)，平面β的一个法向量为=(3，0，3)，则α∥β11.已知F1，F2辨是椭圆C：的两个焦点，过点F2的直线与C交于A，B两点.若，，则A.B.棉圆C的离心率为C.△AF1F2为等边三角形D.△ABF1为直角三角形12.数列的前n项和为，且，下列说法正确的是A.若为等差数列，则的公差为1B若为等差数列，则的首项为1C.D.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线的准线方程为__________.14.已知圆M经过点A(2，0)，B(0，4)，C(0，0)，则圆M的标准方程为___________.15.已知数列的前n项和为，且，，则__________.16.已知Р是双曲线C：右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，过点Р作与l夹角为30°的直线，该直线交l于点A，F1是双曲线C的左焦点，则的最小值为__________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l过点A(2，1).(1)若直线l与第二，四象限的角平分线平行，求直线l的方程；(2)若b>0，直线l与圆M：相切于点A，求直线l的方程.18.(12分)已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点(1)求双曲线C的方程；(2)已知M(0，3)，P是C上的任意一点，求的最小值.19.(12分)已知正三棱锥ABCD中的三条侧棱AB，AC，AD两两垂直.(1)证明：AD⊥BC.(2)已知点E满足，求平面ABC与平面ABE夹角的大小.20.(12分)已知定点F(3，0)，定直线l：，动圆M过点F，且与直线l相切，记动圆的圆心M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2若过点F的直线与C交于不同的两点A，B，且|AB|=36，求直线AB的方程.21.(12分)已知数列满足.(1)求的通项公式.(2)记数列的前n项和为，是否存在实数m，使得数列为等差数列?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.22.(12分)已知A，B分别是椭圆的左，右顶点，P(1，)为椭圆C上的点，直线PA，PB的斜率之积为.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，且直线AM与BN相交于点D，若点D在直线上，证明：直线l过定点.高二数学考试参考答案1.D【解析】本题考查直线的方程，考查数学运算的核心素养.令y=0，得，令x=0，得，故直线l：在x轴和y轴上的截距分别是，.2.C【解析】本题考查空间直角坐标系，考查逻辑推理的核心素养.将平面Оxz翻折到与平面Oxy共面，此时点Q的对应点为Q'(2，2，0)，所以这只蚂蚁从点P(1，1，0)出发爬到点Q(2，0，2)的最短距离为.3.C【解析】本题考查等差数列的性质，考查数学运算的核心素养.，即.又因为，所以.4.B【解析】本题考查空间向量的基本定理，考查数学运算的核心素养.连接AC图略)，，则.因为B，D，A1，F四点在同一个平面上，所以，解得.5.B【解析】本题考查抛物线，考查逻辑推理的核心素养.由抛物线定义可知.因为∠AFB=，所以△ABF为等边三角形，所以，∠BFA=60°，所以∠BFO=60°.设准线l与x轴的交点为P，则，，所以p=2.6.D【解析】本题考查空间向量的应用，考查数学运算的核心素养.=(2，2，1)，点A到平面α的距离.7.B【解析】本题考查双曲线的方程，考查数学建模的核心素养.在花篮的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系，其中DE为最小横截面圆的直径.设双曲线的方程为是为，M(，m)，N(10，m45)(0<m<45)，所以解得，m=30，所以该双曲线的离心率为.8.B【解析】本题考查数列，考查逻辑推理的核心素养.因为，当n=13时，，当n=14时，，所以第100个数为.9.BCD【解析】本题考查直线与圆的位置关系，考查数学运算的核心素养.直线l：，即l：，联立，解得，，所以直线l过定点(1，0)，故A错误；圆C的方程可化为，C的半径为3，故B正确；当m=0时，直线l的方程为y=0，则圆心C到直线AB的距离d=2，，故C正确；直线l过定点(1，0)，且该点在圆C的内部，则圆心C到直线l的最大距离是，故D正确.10.AD【解析】本题考查空间向量及其运算，考查数学运算的核心素养.因为，所以，，共面，故A正确；因为，所以，所以l//α或l在α内，故B错误；在上的投影向量为，故C错误；因为，所以α//β，故D正确.11.BD【解析】本题考查椭圆的方程以及几何性质，考查数学运算的核心素养.如图，由已知可设，则，.由椭圆的定义知，所以.在△AF1B中，由余弦定理推论得，所以∠F1AB=.在△AF1F2中，，即，所以椭圆C的离心率为，.故选BD.12.ACD【解析】本题考查等差数列的应用，考查逻辑推理的核心素养.因为，所以，两式相减得.若数列为等差数列，则的公差d=1.又，所以，解得=0，所以A正确，B错误.，所以，所以C正确.因为n∈N+，所以，即成立，所以D正确.13.【解析】本题考查抛物线，考查数学运算的核心素养.可化为，故抛物线的准线方程为.14.【解析】本题考查圆的方程，考查数学运算的核心素养.设圆M的方程为，则，解得，所以所求圆的标准方程为.15.97【解析】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理的核心素养.由，可得，那么利用累加法可知.16.【解析】本题考查双曲线以及几何性质，考查逻辑推理的核心素养.设点Q为点P在l上的投影，F2为双曲线C的右焦点(图略)，则，，所以.显然当且仅当Q，P，F2三点共线，且Р在F2，Q之间时，有最小值，且最小值为点F到直线l的距离，可得l的方程为或.由题知F2(，0)，则点F2到直线l的距离为，故的最小值为.17.解：(1)第二、四象限的角平分线方程为，……2分所以直线l的斜率为1，….........…3分所以直线l的方程，即，….…5分(2)由题可知点A在圆M：上，则，解得b=0(舍去)或b=2，.................…6分所以的圆心坐标为M(0，2).因为，…........................…7分所以直线l的斜率为2，….......................…8分所以直线l的方程为，即.……10分18.解：(1)双曲线的焦点坐标为(0，)，…...……1分则设双曲线C的方程为.……2分由题可知，，......……4分解得，b=1，所以双曲线C的方程为.....…6分(2)设P，则，所以....…9分因此当时，|PM|取得最小值，最小值是.…..…12分19.(1)证明；因为AD⊥AC，AD⊥AB，AC∩AB=A，所以AD⊥平面ABC.….........……......…3分又因为BC平面ABC，所以AD⊥BC.…...............……5分(2)解：以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=1，则C(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，0，1)，E(1，1，1)，则=(0，1，0)，=(1，1，1).……...........................…7分设平面ABE的法向量为=(x，y，z)，则，所以可设=(1，0，1).……9分易知=(0，0，1)是平面ABC的一个法向量，….....................…10分设平面ABC与平面ABE的夹角为θ，所以，所以.……12分20.解：(1)设点M(x，y)，圆M与直线l：的切点为N.因为动圆M过点F(3，0)，且与直线l：相切，则，............................…1分所以点M的轨迹是以原点О为顶点﹐F(3，0)为焦点的抛物线，…….….…….......…............…3分则C的方程为.…..............….......………5分(2)设直线AB的方程为，A，B.联立，整理得，…...........…7分所以，，…...…8分则，……10分解得，所以直线AB的方程为.……12分21.解：(1)当n=1时，，……1分当n≥2时，由，可得，….........…2分两式相减得，，…................…3分所以，….....................…4分又符合上式，所以.….…5分(2)，……7分所以.……9分故.因为数列为等差数列，所以令，则.………….……………….……11分所以，解得.……12分22.(1)解：由题可知A(a，0)，B(a，0)，所以，…………1分解得=2.….....….............….……......................................….2分因为P(1，)为椭圆C上的点，所以，解得=1，….......…...……3分所以椭圆C