2023年中考数学训练：几何证明题（能力提升）

2023年中考数学冲刺阶段专题强训：几何证明题

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1.如图所示，Co为。。的直径，AD,AB,BC分别与G)O相切于点。、E、C(AD<BC).连

接。E并延长与直线BC相交于点P,连接。4、OB.

⑴求证：0AL08；

(2)求证：BC=BP;

(3)若OA=3,OB=4,求AO∙BC的值.

2.有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯形.

(1)已知四边形ABeD是倍角梯形，AD∕∕BC,ZA=IOOo,请直接写出所有满足条件的NO的

度数；

(2)如图1,在四边形ABCo中，ZBΛZ)+ZB=180o,BC=AD+CD.求证：四边形ABCo是倍

角梯形；

(3)如图2,在(2)的条件下，连结AC,当AB=AC=A0=2时，求BC的长.

3.如图，⅛RtΔABC⅛RtΔADEΦ,/4=90°,AB=AC,AD=AE,点、D,E分别在AB,

AC上.现将4AOE绕点A顺时针旋转α角度(0。＜。＜180。)，连接8。，CE.

(1)求证：ΔADB^ΔAEC；

(2)已知AB=4,AD=3,求解以下问题：

①若0。＜。＜90。，且CoSa＞:，求线段8。长度的取值范围；

4

②若0o＜a＜180。，则点B,C,D,E中是否存在三点共线的情况？若存在，求出线段BO的

长度；若不存在，请说明理由.

4.如图，AABC和AAOE是有公共顶点A的两个等腰直角三角形，NoAE=NBAC=90。，

AD=AE,AB=AC=G,。在线段BC上，从B到。运动，点M和点N分别是边BC,OE的中

点.

(1)【问题发现】若点。是BC边的中点时，除二—,直线8。与MN相交所成的锐角的度

数为(请直接写出结果)

(2)【解决问题］若点。是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由.

(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值.

5.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AE,记旋转角为α.连

接BE,CE,过点C作直线BE的垂线，垂足为F.

(1)如图1,当c=60。时，左的值为______.

Cr

(2)当0o<α<180。且点尸不与点E重合时，

①(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形给出证明；若不成立，请说明理

②当以点C,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形时，请直接写出BE的长.

6.已知矩形MBCD的顶点M是线段AB上一动点，AB=BC,矩形MBC。的对角线交于点0,

连接Ma80.点尸为射线QB上一动点（与点B不重合），连接PM.作PNLPM交射线CB

于点N.

①依题意补全图1:

②写出线段PM与PN的数量关系并证明.

⑵如图2,若∕OMB=a,当点P在08的延长线上时，请补全图形并直接写出PM与PN的数

量关系.

7.如图1,在AABC中，BC=3,NACB=90。，点。在线段84上运动，以线段OB为直角边

O

构造等腰放2k3DE,BE是斜边，当点。运动到点A时（如图2）,Zk3C尸的面积为是,若

v147

BO的长为X,与AABC重叠部分的面积为S.

⑵求S关于X的函数解析式并直接写出自变量X的取值范围.

8.如图1,.ABC和.Z)EF中，ZABC=NDEF=90°,照="=2,边OE与AB相交于点P,且

BCEF

笔啜=2,连接尸〜PC.

图1图2

⑴求,的值；

FD

⑵如图2,连接C/，BE,将。砂绕着点尸在平面内旋转，在旋转过程中疼是否为定值，若

BE

是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

⑶在(2)的条件下，若BC=2,EF=I,当3,E,F三点在一条直线上时，求的的长度.

9.如图1,正方形ABeO中，M,N分别是A3、BC上的点，DM,DN分别与对角线AC相交

于点F、E.

(1)若DM=DN,求证：ZAFM=ZCEN;

(2)若NMDN=45°,求证：2AE-CF=AO；

(3)如图2,连接8。交AC于点0,若DN平分NBDC,直接写出0E：BN：NC的值.

图1图2

10.在ABC中，ZACB=90°.将ABC绕点C逆时针旋转一定角度（旋转角度不大于180。），得

至「OEC（点。，E分别与点A,8对应），连接AO,BE.

（1）如图1,当点A,C,E在同一条直线上时，直接写出AO与8E的位置关系为；

（2）如图2,当点。落在AB上时，（点。不与点A重合），请判断AO与BE的位置关系，并证

明你的结论；

（3）如图3,将ABC绕点C逆时针旋转60。时，延长AO与直线BC,8E分别相交于点F,G,

连接CG,试探究线段CG与。E之间满足的数量关系，并说明理由.

11.如图，在ABCΦ,ZAC8=90。,NftAC的平分线A。交BC于点

过点。作OE14）交AB于点E,以AE为直径作O.

（1）求证：BC是一。的切线；

（2）若AC=3,BC=4,求8E的长；

（3）在（2）的条件下，求tanNEDB的值.

12.在矩形ABCD中，BC=KCD,点E,尸分别是边AD、BC上的动点，且AE=C尸，连接EF,

将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点。落在点H处.

图】≡2

(1)如图1,当EH与线段BC交于点P时，求证：PE=PF;

(2)如图2,当点P在线段Ce的延长线上时，G”交AB于点M,求证：点M在线段EF的垂

直平分线上；

(3)当AB=5时，在点E由点A移动到A。中点的过程中，计算出点G运动的路线长.

13.以AB为直径作半圆O,AB=Io,点C是该半圆上一动点，连接AC、BC,并延长BC到

点。，使OC=BC,过点。作OELAB于点E、交AC于点凡连接。F.

(1)如图1,当点E与点。重合时，求NBAC的度数；

(2)如图2,当OE=8时，求线段族的长；

(3)在点C运动过程中，若点E在线段OA上，是否存在以点E、。、尸为顶点的三角形与△ABC

相似？若存在，求出此时线段OE的长；若不存在，请说明理由.

14.如图，射线4?和射线CB相交于点8,ZABC≈a(0o<a<180o),且AB=CB,点。是射线

CB上的动点(点。不与点C和点3重合),作射线A并在射线AD上取一点E,使ZAEC=a,

连接CE,BE.

⑴如图1,当点。在线段CB上，α=60。时,在AD上截取AF=CE,连接8F,证明：∆ABFg∕∖CSE,

请求ZAEB的度数，探求线段AE,BE,CE之间的数量关系.

(2)如图2,当点。在线段CB上，c=90。时，请写出ZAEB的度数，探求线段AE,BE,CE之

间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,当点。在线段CB上，α=i20。时，请直接写出线段AE,BE,CE之间的数量关系.

15.如图1,在菱形AB8中，ZDAB=GOo,AB=A,以AB为直径作半圆。交AQ于点E,过点

E作。的切线交8于点G,交胡的延长线于点尺当点尸从点G运动至点尸时，点。恰好

从点A运动至点8,设AQ=X,PF^y.

AQOAQO

图1图2

(1)求证：AF=DG.

⑵求y关于X的函数表达式.

(3)连接PQ.

①当PQ与AAEB的一边平行时，求X的值.

②如图2,记PQ与BE交于点M,连结MG,BG若NEPM=NMGB,求一BMQ的面积.

16.如图，四边形ABe。中，AB=BC,ZABC=UOo,连接OB,总、有NDBC=/DAB+60°.

备用图备用图

(1)求—4>8的度数;

⑵点F是线段CD的中点，连接BF.

①写出线段AD，BD,8尸之间的数量关系，并给出证明；

②延长AD8/相交于点M连接CN,若A8=2G,求线段CN长度的最小值.

17.数学探究小组利用一些三角形彩纸裁剪面积最大的内接正方形，他们就有关问题进行了探

究：

定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角

形的内接正方形.

作图：如图1,正方形DEFG的顶点E,尸在边AB上，顶点。在边AC上，在ABC及其内部,

以A为位似中心，作正方形DEFG的位似正方形D'EF'G',且使正方形D'E,F'G'的面积最大.

实践操作：

(1)第一小组拿到的钝角三角形原材料，你认为在钝角三角形中存在个内接正方形;

(2)第二小组拿到的是直角三角形原材料，小明说：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的

内接正方形的面积较大.小丽同学认为他的结论不正确，她通过计算腰长为1的等腰直角三角

形（如图2和图3）的情况给予说明，请你帮助小丽同学完成计算和说理过程；

⑶第三小组拿到的是不等边锐角三角形原材料，小华同学认为：在不等边锐角三角形中，两

个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小.小华同学己经写出了题设条件，请你帮助

他完成推理过程.如图4,设锐角.ΛBC的三条边分别为a、AC不妨设“>"c,三条边上的对

应高分别为4、4、%,内接正方形的边长分别为乙、几、*

18.综合与实践

问题情境：在数学活动课上，王老师让同学们用两张矩形纸片进行探究活动.

阳光小组准备了两张矩形纸片ABCz）和所G"，其中AB=6,AD=S,将它们按如图1所示的方

式放置，当点A与点E重合，点F,，分别落在AB,AO边上时，点F,〃恰好为边AB,A。的

中点.然后将矩形纸片EFG"绕点A按逆时针方向旋转，旋转角为a,连接母■与

D

图3

观察发现:

（1）如图2,当a=90。时，小组成员发现BF与。，存在一定的关系，其数量关系是.;位

置关系是

探索猜想：

⑵如图3,当90。<&<180。时，(1)中发现的结论是否仍然成立？请说明理由.

拓展延伸：

⑶在矩形£7七”旋转过程中，当C,A,F三点共线时，请直接写出线段/汨的长.

19.【基础巩固】

⑴如图1,ABIBC于点B,CELBC于点、C,AC工DE交BC于点D,求证：£=空

DECE

【尝试应用】

(2)如图2,在矩形ABC。中，E是BC上的一点，作。F_LAE交BC于点F,CE=EF,若

AB=2,AD=4,求得的值.

【拓展提高】

3

⑶如图3,菱形ABS的边长为man∕A8="E为AO上的一点,作DGACE交AC于点八

交AB于点G,且CE=2。尸，求BG的长.

图1图2图3

20.如图，为矩形ABC。的对角线，点E在AQ上，连接BE,F是OBDE的外接圆与DC的延

长线的一个交点，延长BC交圆于点G,点。恰好是EG的中点，连接EF,分别交8C,8。于点

H,M,连接£)”.

(1)求证：BDLEF.

(2)求证：四边形8瓦汨是菱形.

(3)若H恰好是MF的中点时，求空的值.

21.如图1,在,,ABC中，BC=2√5,AB=5,CotNABC=g.点。、E分别在边AC、AB1.(不

与端点重合)，8。和CE交于点F，满足ZABQ=ZBCE.

⑴求证：CD2=DFDB;

(2)如图2,当CEIAB时，求CD的长；

(3)当，8F是等腰三角形时，求以■:〃的值.

22.(1)［证明体验］如图1,在oABC中，。为AB边上一点，连接8,若ZAS=ZABC,求证：

AC2=AD-AB.

(2)在RtAABC中，ZAC5=90。,ZABC=60。，BC=2,。为AB边上一动点，连接C。，E为CD

中点，连接BE.

①［思考探究］如图2,当ZAa)=NiDBE时，求AQ的长.

②［拓展延伸］如图3,当NQE3=30。时，求AO的长.

图1图2图3

23.如图，以AB为直径的。中，4C切。于点A,且AC=AB,连接BC,交。于点。，作

射线CO交。于点E.

(1)作AM,CE于点M,交BC于点、N,交。于点F,连接BF(尺规作图，保留作图痕迹，不

写作法)；

⑵在(1)的条件下，

①求证：Δ,ACM^Δ,BAF；

②若Ab=6,求BZ)的长.

24.如图1,。的直径AB垂直弦CD于点E,点P为AC上的一点，连接PE并延长交。于点

Q,连接。Q,过点P画P尸〃。Q交。C的延长线于点F.若。。的直径为10,QE=3.

⑴求。的长;

(2)如图2,当∕PQO=90°时,求NPEC的正切值;

(3)如图1,设PE=X，DF=y.

①求y关于X的函数解析式；

②若PFXoQ=20,求)的值.

25.已知：如图1,四边形ABC。中，AB=AD=CD,ZB=ZC<90o.

(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形;

(2)边CO的垂直平分线E尸交C。于点E,交对角线AC于点P,交射线AB于点E

①当AF=AP时，设Ao长为X,试用X表示Ae的长；

②当斯=DE时，求黑的值.

(1)如图1,将等边ABC沿AE)折叠，使得AC与A3重合，则NBAD的度数为。；

【问题探究】

(2)如图2,在YABCO中，E、尸分别为A8、CQ的中点，AC是对角线，S.AC1BC,判断

四边形AEcF的形状，并说明理由;

【问题解决】

（3）如图3是一个矩形木板，已知BC=2√i48,点E、F分别是AB、C。的中点，现要制作一

块直角三角形（RtZ∖CMP）的木楔，要求该木楔的直角顶点M是A。的中点，点尸在8C边上.木

匠师傅在这块木板上的作法如下：

①连接所，以点B为圆心，外的长为半径作弧，交EF于点N,交边BC于点Q

②连接朗并延长，与AD的交点是点M的位置；

③作ZABM的平分线交A。于点“，连接Hq并延长，与BC的交点是点P的位置.

请问，若按上述作法，制作的！CMP木楔是否符合要求？请说明理由.

参考答案：

144

1.

25

2.(1)满足条件的NA的度数为160°或130°；

(3)βC=√5+l

3-⑵①°<8"万；②存在,劭=回押或叵产

4.(1)血，45°

⑵成立

(3)〃点运动的路径长为6,"的最小值为3

5•⑴T

⑵①仍然成立②嗜或竽.

6.(1)①画图见解析；②)P忙PN

s`PM

⑵丽=UuIɑ.

7.⑴AC=4;