新教材高中数学人教B版学案2-1-2一元二次方程的解集及其根与系数的关系

2．1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系[课程目标]1.会用配方法求一元二次方程的解集；2.会用根与系数的关系求解根的问题．知识点一一元二次方程根的解集[填一填]关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)利用配方法，总可以写成eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))2＝eq\f(b2－4ac,4a2)，其中Δ＝b2－4ac.(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，\f(－b－\r(b2－4ac),2a)))；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程的解集为∅.知识点二一元二次方程根与系数的关系[填一填]关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).[答一答]1．关于x的方程x4－2x2－3＝0一定有四个解吗？提示：不对．有两解．方程配方得(x2－1)2＝4，x2－1＝±2，x2＝3或x2＝－1(舍)，所以x＝±eq\r(3)，两解．2．解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的步骤是什么？提示：先因式分解，若能分解，则直接求解．若分解不开，则求Δ，根据Δ的符号确定方程解的情况．类型一求一元二次方程的解集[例1]求下列关于x的一元二次方程的解集．(1)x2－6x－5＝0;(2)9x2＋6x＋1＝0；(3)－2x2＋5x－4＝0.[解](1)x2－6x－5＝0，配方得(x－3)2＝14，解得x－3＝±eq\r(14)，即x＝3±eq\r(14)，因此方程的解集为{3＋eq\r(14)，3－eq\r(14)}．(2)9x2＋6x＋1＝0，配方得(3x＋1)2＝0，解得3x＋1＝0，即x＝－eq\f(1,3)，因此方程的解集为{－eq\f(1,3)}．(3)－2x2＋5x－4＝0变形为2x2－5x＋4＝0，Δ＝(－5)2－4×2×4＝－7<0，因此方程的解集为∅.可先配方再求解，也可直接利用求根公式求解，最后一定要写成解集的形式.[变式训练1]求下列关于x的一元二次方程的解集．(1)2x2－6x＋3＝0;(2)x2＋x＋1＝0；(3)4x2－12x＋9＝0.解：(1)Δ＝(－6)2－4×2×3＝12，由求根公式得x＝eq\f(6±\r(12),2×2)＝eq\f(3±\r(3),2)，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3－\r(3),2)，\f(3＋\r(3),2))).(2)Δ＝12－4×1＝－3<0，方程x2＋x＋1＝0的解集为∅.(3)4x2－12x＋9＝0，配方得(2x－3)2＝0，解得x＝eq\f(3,2)，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))).类型二转化为一元二次方程求解集[例2]求下列关于x的方程的解集．(1)x－4eq\r(x)－3＝0;(2)2x4－3x2－1＝0.[解](1)设eq\r(x)＝t，则t≥0，方程变形为：t2－4t－3＝0，配方得(t－2)2＝7，解得t＝2±eq\r(7)，∵t＝2－eq\r(7)<0舍去，∴eq\r(x)＝2＋eq\r(7)，解得：x＝11＋4eq\r(7)，故原方程解集为{11＋4eq\r(7)}．(2)设x2＝t，则t≥0，方程变形为2t2－3t－1＝0，则Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17>0，由求根公式得t＝eq\f(3±\r(17),2×2)＝eq\f(3±\r(17),4).∵t>0，∴t＝eq\f(3＋\r(17),4)，∴x2＝eq\f(3＋\r(17),4)，∴x＝±eq\f(\r(3＋\r(17)),2)，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3＋\r(17)),2)，－\f(\r(3＋\r(17)),2))).可因式分解后再求解，也可先换元转化为一元二次方程再求解，注意新元的条件，最后写成解集的形式.[变式训练2]求下列关于x的方程的解集．(1)2x＋7eq\r(x)＋4＝0;(2)x4－6x2＋5＝0.解：(1)设eq\r(x)＝t，则t≥0，方程变形为2t2＋7t＋4＝0，Δ＝72－4×2×4＝17>0，由求根公式得t＝eq\f(－7±\r(17),4)<0，故原方程解集为∅.(2)x4－6x2＋5＝0，变形为(x2－1)(x2－5)＝0，即x2－1＝0或x2－5＝0，解得x＝±1或x＝±eq\r(5)，原方程解集为{1，－1，eq\r(5)，－eq\r(5)}．类型三一元二次方程根与系数关系的应用[例3]若x1，x2分别是方程x2＋2x－2018＝0的两个实根，试求下列各式的值：(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(3)(x1－5)(x2－5);(4)|x1－x2|.[思路分析]本题若直接用求根公式法求出方程的两个根，再代入求值，则计算较复杂．此题应根据各式的特点，利用韦达定理来解答，使计算更简单．[解]由韦达定理得x1＋x2＝－2，x1x2＝－2018.(1)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2018)＝4040.(2)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(－2,－2018)＝eq\f(1,1009).(3)(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2018－5×(－2)＋25＝－1983.(4)|x1－x2|＝eq\r(x1－x22)＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(－22－4×－2018)＝2eq\r(2019).不求根时，可先将各式转化成与韦达定理有关的关系式，再代入系数求解.但用韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或等于零.[变式训练3]已知x1和x2分别是一元二次方程2x2＋3x－6＝0的两个实根，求下列各式的值：(1)|x1－x2|；(2)eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))；(3)xeq\o\al(3,1)＋xeq\o\al(3,2).解：由韦达定理得x1＋x2＝－eq\f(3,2)，x1x2＝－3.(1)|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2－4×－3)＝eq\f(\r(57),2).(2)eq\f(1,x\o\al(2,1))＋eq\f(1,x\o\al(2,2))＝eq\f(x1＋x22－2x1x2,x1x22)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2－2×－3,－32)＝eq\f(11,12).(3)xeq\o\al(3,1)＋xeq\o\al(3,2)＝(x1＋x2)(xeq\o\al(2,1)－x1x2＋xeq\o\al(2,2))＝(x1＋x2)[(x1＋x2)2－3x1x2]＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2－3×－3))＝－eq\f(135,8).1．方程x2－x＋1＝0的解集为(D)A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)，\f(1－\r(5),2))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(5),2)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2))) D．∅解析：Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，方程无解．故选D.2．方程mx2－2x＋1＝0的解集为{1}，则m＝(A)A．1 B．－1C．0 D．2解析：将x＝1代入方程得m＝1，故选A.3．方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，则xeq\o\al(2,1)x2＋xeq\o\al(2,2)x1＝(A)A．3 B．－3C．2 D．－2解析：由已知得，x1＋x2＝3，x1x2＝1，则xeq\o\a