微考点6-6圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用（原卷版）

微考点66圆锥曲线中斜率和积与韦达定理的应用【考点分析】斜率和（积）构造与韦达定理目前我们市面上的斜率型题目中一大类就是斜率和（积）构造，这其中主要特征就是一定点两动点，而定点的特征又可进一步分成在坐标轴上和一般点.倘若定点，在椭圆上的动点，那么：①，此时已经凑出韦达定理的形式，就无需再解点，可直接代入韦达定理求解.②,这里对交叉项的处理可进一步代入直线方程：，化简可得：（*），再代入韦达定理.注意，这一步代入很重要，（*）式是一个非常简洁的结构，易于操作.③.可进一步代入直线方程：，化简可得：【精选例题】【例1】已知椭圆的离心率为，点在C上．过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若动点P满足，求动点P的轨迹方程．【例2】已知点在双曲线上，直线（不过点）的斜率为，且交双曲线于、两点.(1)求双曲线的方程；(2)求证：直线、的斜率之和为定值.【例3】已知为坐标原点，椭圆的离心率为，椭圆的上顶点到右顶点的距离为．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆的左、右顶点分别为、，过点作直线与椭圆交于、两点，且、位于第一象限，在线段上，直线与直线相交于点，连接、，直线、的斜率分别记为、，求的值．【例4】已知椭圆的离心率是，且过点．(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的左、右顶点分别为，，且P，Q为椭圆C上异于，的点，若直线过点，是否存在实数，使得恒成立．若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【例5】已知椭圆：的右焦点在直线上，分别为的左、右顶点，且.(1)求的标准方程；(2)已知，是否存在过点的直线交于，两点，使得直线，的斜率之和等于1?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.【例6】双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交双曲线C于B，D两点，且是直角三角形．(1)求双曲线C的标准方程；(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率为k1，k2，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论．【跟踪训练】1.已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.(1)求面积的最大值；(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值.2.已知点为双曲线上一点，的左焦点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)不过点的直线与双曲线交于两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线过定点，并求该定点的坐标.3.已知椭圆：，，点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，，证明，斜率之积为定值．4.在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且．(1)求动点M的轨迹；(2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．5.设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为．(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB．6.设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且．(1)求抛物线E的方程；(2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值．7.已知椭圆经过点，离心率为．过点的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N．(1)求椭圆E的方程；(2)设直线AM和直线AN的斜率分别为和，求的值．1．已知为坐标原点，过点的动直线与抛物线相交于两点．(1)求；(2)在平面直角坐标系中，是否存在不同于点的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．设抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)已知过点的直线与交于不重合的两点，且，直线和的斜率分别为和.求证：为定值.3．已知双曲线的左､右顶点分别为，点在上，且.(1)求的方程；(2)直线与交于两点，记直线的斜率分别为，若，求的值.4．已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为椭圆的左、右焦点，．(1)求椭圆的方程；(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（、在轴的两侧），记直线，，，的斜率分别为，，，．（i）求的值；（ii）若，求面积的取值范围．5．已知曲线C上的任意一点到直线的距离是它到点的距离的倍.(1)求曲线C的方程;(2)设，，过点的直线l在y轴的右侧与曲线C相交于A，B两点，记直线AM，BN的斜率分别为，，求直线l的斜率k的取值范围以及的值.6．已知椭圆的离心率，短轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)过点且斜率不为的动直线与椭圆交于、两点，点是直线上一定点，设直线、的斜率分别为、，若为定值，求点的坐标.7．在平面直角坐标系内，已知两点关于原点对称，且的坐标为.曲线上的动点满足当直线的斜率都存在时，.(1)求曲线的方程；(2)已知直线过点且与曲线交于两点，问是否存在定点，使得直线关于