新教材选择性3.3.1抛物线的标准方程课件（20张）

3.3.1抛物线的标准方程学习目标1.了解抛物线的实际背景,经历从具体情境中抽象出抛物线的过程.2.掌握抛物线的定义及抛物线的标准方程.3.了解抛物线的定义及方程的简单应用.

1|抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作

抛物线,定点F叫作抛物线的①焦点

,定直线l叫作抛物线的②准线

.2|抛物线的标准方程 标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图形

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点坐标③

④

⑤

⑥

准线方程⑦

x=-

⑧

x=

⑨

y=-

⑩

y=

开口方向向右向左向上向下判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.y关于x的二次函数.

(

✕)y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离是p.

(√)3.平面内到一定点的距离与到一定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.

(

✕)4.以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2=4y.

(√)y=ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是

,准线方程是x=-

.

(

✕)提示:方程y=ax2化为标准形式为x2=

y(a≠0),表示焦点在y轴上的抛物线,其焦点坐标为

,准线方程是y=-

.1|求抛物线的标准方程

(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系;(2)当抛物线的位置没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以

减少讨论不同情况的次数;(3)注意p与

的几何意义.

根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.(1)准线方程为y=

;(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5;(3)经过点(-3,-1);(4)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的一个交点.解析(1)由题意,抛物线的准线方程为y=

,可得抛物线的准线交y轴于正半轴,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则

=

,则p=

,故所求抛物线的标准方程为x2=-

y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,可得|m|=5,即m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.(3)因为点(-3,-1)在第三象限,所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0).若抛物线的标准方程为y2=-2p1x(p1>0),则由(-1)2=-2p1×(-3),解得p1=

;若抛物线的标准方程为x2=-2p2y(p2>0),则由(-3)2=-2p2×(-1),解得p2=

.故所求抛物线的标准方程为y2=-

x或x2=-9y.(4)对于直线方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时,

=3,所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y;当焦点为(4,0)时,

=4,所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x.故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.2|抛物线定义的应用

抛物线定义的两种应用:(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点

到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线

点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最

值问题.

(1)动圆P与定圆A:(x+2)2+y2=1外切,且与直线l:x=1相切,求动圆圆心P的轨迹方程;(2)若点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线

的距离之和的最小值.思路点拨(1)设动圆圆心P(x,y),过点P作PD⊥l于点D,作直线l':x=2,过点P作PD'⊥l'于点D',连

接PA,由题意可得PA=PD',从而可知点P的轨迹是以A为焦点,l'为准线的抛物线,进

而可求出圆心P的轨迹方程.(2)先求出抛物线的焦点为F

,准线l的方程为x=-

,设M(0,2),过点P作PH⊥l于点H,利用抛物线的定义可得所求距离之和为PM+PH=PM+PF≥MF,当且仅

当M,P,F三点共线时等号成立,即可求解.解析(1)如图,设动圆圆心P(x,y),过点P作PD⊥l于点D,作直线l':x=2,过点P作PD'

⊥l'于点D',易知P、D、D'共线,连接PA.设动圆P的半径为R,由题知圆A的半径为1.∵圆P与圆A外切,∴PA=R+1.又∵圆P与直线l:x=1相切,∴PD'=PD+DD'=R+1.∴PA=PD',即动点P到定点A的距离与到定直线l'的距离相等,∴点P的轨迹是以A为焦点,ly2=-2px(p>0),可

知p=4,∴所求动圆圆心P的轨迹方程为y2=-8x.

(2)由y2=2x可知抛物线的焦点为F

,准线l的方程为x=-

,设M(0,2),过点P作PH⊥l于点H,由抛物线的定义可得PH=PF,所以点P到点M(0,2)的距离与P到l的距离之和为PM+PH=PM+PF≥MF,当且仅当

M,P,F三点共线时等号成立,所以距离之和的最小值为MF=

=

=

.

2|直线与抛物线的位置关系

通常使用代数法:将直线的方程与抛物线的方程联立,整理成关于x的方程ax2+bx+

c=0.(1)当a≠0时,利用判别式解决:Δ>0⇒相交;Δ=0⇒相切;Δ<0⇒相离.(2)当a=0时,方程只有一个解x=-

,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合.直线与抛物线相切时,只有一个公共点,但是不能把直线与抛物线有且只有一个

公共点统称为相切,这是因为平行(或重合)于抛物线的对称轴的直线与抛物线只

有一个公共点,而这时抛物线与直线是相交的.若直线(斜率为k,且k≠0)与抛物线y2=2px(p>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则AB=

·|x1-x2|=

·|y1-y2|.(1)若直线AB过抛物线的焦点F,则AB=x1+x2+p,x1x2=

,y1y2=-p2.(2)若直线AB过抛物线的焦点F,且垂直于对称轴,则AB=2p.(3)若直线AB过抛物线的焦点F,且直线的倾斜角为α(α≠0),则AB=

.

已知抛物线C:y2=4x,F是抛物线C的焦点,过点F的直线l与C相交于A,B两点,O为坐

标原点.(1)如果l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;(2)设FA=2BF,求直线l的方程.思路点拨(1)写出直线l的方程,与抛物线方程联立,由根与系数的关系求出AB的中点坐标.

根据焦点弦公式求出AB的长,从而求出圆的方程.(2)将线段关系转化为向量关系,联立直线与抛物线的方程,消元后应用根与系数

的关系和向量相等的条件求出两交点的横坐标,进而求出直线的斜率,写出直线

方程.解析

设A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因为y2=4x,所以F(1,0),又因为直线l的斜率为1,所以直线l的方程为y=x-1,联立

消去y得x2-6x+1=0,由根与系数的关系,得x1+x2=6,则y1+y2=x1+x2-2=4,故AB的中点为(3,2),即圆心的坐标为(3,2).又AB=x1+x2+p=8,所以圆的半径r=4,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因为FA=2BF,所以

=2

,又

=(x1-1,y1),