人教A版（2019）必修第二册 第七章 7.1.2 复数的几何意义（教学课件）

第七章

§7.1复数的概念7.1.2复数的几何意义学习目标XUEXIMUBIAO1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数

及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一复平面思考实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？答案不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.知识点二复数的几何意义1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)

复平面内的点Z(a，b).2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)

平面向量

.知识点三复数的模1.定义：向量

的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值.2.记法：复数z＝a＋bi的模记作

.3.公式：|z|＝|a＋bi|＝

.|z|或|a＋bi|知识点四共轭复数1.定义：当两个复数的实部

，虚部

时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做

.2.表示：复数z的共轭复数用

表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么

＝

.相等互为相反数共轭虚数a－bi思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU1.复数的模一定是正实数.(

)2.若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(

)3.复平面内的点与复数是一一对应的.(

)4.两个复数互为共轭复数，则它们的模相等.(

)××√√2题型探究PARTTWO例1

在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；一、复数与复平面内的点的关系解复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.由题意得m2－2m－8＝0.解得m＝－2或m＝4.(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围.反思感悟利用复数与点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据.(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练1

求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面内的x轴上方；解∵点Z在x轴上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2.(2)在实轴负半轴上.解若复数z的对应点在实轴负半轴上，二、复数与复平面内的向量的关系例2

在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数.解记O为复平面的原点，故点D对应的复数为－3－2i.反思感悟

复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.A.－10＋8i B.10－8iC.0 D.10＋8i√解析由复数的几何意义，(2)已知平面直角坐标系中O是原点，向量

对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量

对应的复数是A.－5＋5i B.5－5iC.5＋5i D.－5－5i√根据复数与复平面内的点一一对应，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量

对应的复数是5－5i.三、复数的模及其应用例3

(1)已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|等于√解析因为1＋xi＝(2－y)－3i，(2)已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.∴z＝－15＋8i.反思感悟复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.跟踪训练3

(1)已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是A.z1>z2

B.z1<z2C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|√(2)已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是√解析0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG复数模的几何意义典例设z∈C，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？(1)|z|<3；所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.(2)|z|＝2.所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.素养提升复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.3随堂演练PARTTHREE123451.复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√解析z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)，位于第三象限.123452.已知z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A.(－1,2) B.(－2,1)C.(1，＋∞) D.(－∞，－2)√解析∵z＝m－1＋(m＋2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，则实数m的取值范围是(－2,1).123453.(多选)已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值可以为A.1 B.2C.3 D.4√√解得m＝1或m＝3.123453－4i5123455.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________.2＋4i解析因为复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，所以A(6,5)，B(－2,3)，又C为线段AB的中点，所以C(2,4)，所以点C对应的复数是2＋4i.课堂小结KETANGXIAOJIE1.知识清单：(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.(2)复数的模及几何意义.(3)共轭复数.2.方法归纳：待定系数法、数形结合.3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.4课时对点练PARTFOUR基础巩固12345678910111213141516√A.－2－iB.2＋iC.1－2iD.－1＋2i√解析由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，123456789101112131415163.已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√解析若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，则复数a－ai＝－1＋i对应的点为(－1,1)，位于第二象限.12345678910111213141516√解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，123456789101112131415165.已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形？A.一个圆

B.线段C.两点

D.两个圆√12345678910111213141516解析∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆.故选A.123456789101112131415166.若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝____，b＝____.24解析因为z1与z2互为共轭复数，所以a＝2，b＝4.123456789101112131415167.复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数x的取值范围是____________.(3，＋∞)解析∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，123456789101112131415168.若复数z对应的点在y＝2x的图象上，且|z|＝

，则复数z＝_________________.1＋2i或－1－2i解析依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.9.在复平面内，O是原点，向量

对应的复数为2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量

对应的复数；则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知，点A的坐标为(2,1).根据对称性可知，x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i.12345678910111213141516(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.12345678910111213141516解设点C对应的复数为z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知，x2＝－2，y2＝－1，故z2＝－2－i.10.设z＝x＋yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤，判断复数w＝x＋y＋(x－y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.12345678910111213141516综合运用11.(多选)已知z1，z2是复数，则以下结论正确的是A.若z1＋z2＝0，则z1＝0，且z2＝0B.若|z1|＋|z2|＝0，则z1＝0，且z2＝0C.若|z1|＝|z2|，则向量

重合D.若|z1－z2|＝0，则√12345678910111213141516√12345678910111213141516解析A中，z1＋z2＝0只能说明z1＝－z2；B中，|z1|＋|z2|＝0，说明|z1|＝|z2|＝0，即z1＝z2＝0；故正确的为B，D选项.√1234567891011121314151613.设A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cosB－tanA)＋itanB对应的点位于复平面的A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√解析因为A，B为锐角三角形的两个内角，又tanB>0，所以点(cosB－tanA，tanB)在第二象限，故选B.1234567891011121314151614.若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_____.123456789101112131415165解析由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.拓广探究1234567891011121314151615.已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2