人教版八年级数学下册同步练习 17.1.2 勾股定理在实际生活中的应用 分层作业（原卷版+解析）

人教版初中数学八年级下册17.1.2勾股定理在实际生活中的应用同步练习夯实基础篇一、单选题：1．已知点，，则，两点间的距离是（

）A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度2．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是：（

）A．8m B．5m C．9m D．7m3．如图，高速公路上有两点相距10km，为两村庄，已知于，于,现要在上建一个服务站，使得两村庄到站的距离相等，则的长是（

）km．A．4 B．5 C．6 D．4．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）．A．8米 B．10米 C．12米 D．14米5．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（

）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A．12m B．13m C．16m D．17m7．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（

）A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对二、填空题：8．在平面直角坐标系内，点到原点O的距离是______．9．如图，一根长的吸管置于底面直径为高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是___________．10．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了_____步路．（假设2步为1米）11．如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为_．12．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为___m．13．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高__米．三、解答题：14．如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，求茶杯的高度．15．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？16．如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．17．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100米，请问这辆小汽车是否超速？18．为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．(1)求风筝的高度CE．(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？19．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？能力提升篇一、单选题：1．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的木棒最长为（）A．19m B．24m C．13m D．15m2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm3．如上图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12，底面周长为10，在容器内壁离容器底部3的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（

）A．13 B．12 C．15 D．16二、填空题：4．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行12海里，这时两轮船相距_____海里．5．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm．三、解答题：6．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m．假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？7．如图，草原上，一牧童在A处放马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC，BD的长分别为500m和700m，且CD=500m，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，牧童将马牵到河边什么地方饮水，才能使走过的路程最短？牧童最少要走多少m？人教版初中数学八年级下册17.1.2勾股定理在实际生活中的应用同步练习夯实基础篇一、单选题：1．已知点，，则，两点间的距离是（

）A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度【答案】B【分析】根据题意画出图形即可由图直接求出A、B两点之间的距离．【详解】解：如图，可知A、B间的距离为3个单位长度．故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合是解题的关键．2．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是：（

）A．8m B．5m C．9m D．7m【答案】A【分析】根据大树末端部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【详解】由题意可知：BC=3m，AC=4m，∴在中，m∴这棵树原来的高度m．故答案选：A．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．3．如图，高速公路上有两点相距10km，为两村庄，已知于，于,现要在上建一个服务站，使得两村庄到站的距离相等，则的长是（

）km．A．4 B．5 C．6 D．【答案】A【分析】根据题意设出EB的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】设EB=x，则AE=10-x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，，在Rt△BCE中，，由题意可知：DE=CE，所以：=，解得：(km)．所以，EB的长为4km．故选：A．【点睛】本题主要考查的是勾股定理的运用，主要是运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，运用方程思想求解．4．如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）．A．8米 B．10米 C．12米 D．14米【答案】B【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米，过点作于，则是矩形，连接，米，米，米，在中，米，故选：B．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用．5．我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是（

）A．5尺 B．10尺 C．12尺 D．13尺【答案】D【分析】依题意，芦苇的长度为直角三角形的斜边，水深为一直角边，另一直角边为5尺，由勾股定理即可列出方程，进而得到答案．【详解】解：设水深x尺，则芦苇的长度为（x+1）尺，依题意，由勾股定理，得：，解得，所以芦苇的长度为13尺．故选D．【点睛】本题考查勾股定理的应用，将题目描述问题转化成直角三角形求边长的问题是解题的关键．6．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A．12m B．13m C．16m D．17m【答案】D【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．7．如图，一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为4米，若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处，则竹竿底端外移的距离（

）A．小于2米 B．等于2米 C．大于2米 D．以上都不对【答案】A【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的长，即可得出BD的长，再根据无理数的估算，估算出BD的长即可得答案．【详解】∵AB=5，OA=4，AC=2，AB=CD=5，∴OB==3，OD==，∴BD=-3，∵16＜21＜25，∴4＜＜5，∴1＜-3＜2，即BD的长小于2米，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用及无理数的估算，灵活运用勾股定理、熟练运用“夹逼法”估算无理数是解题关键．二、填空题：8．在平面直角坐标系内，点到原点O的距离是______．【答案】【分析】根据两点间的距离公式，即可求解．【详解】解：根据两点间的距离公式可得：故答案为：．【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握勾股定理是解题的关键．9．如图，一根长的吸管置于底面直径为高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度最短是___________．【答案】5【分析】当杯子如图中所放的方式时，露在杯子外面的长度最小，在杯中的吸管与圆柱形水杯的底面直径和高构成了直角三角形，由勾股定理可求出吸管在水杯中的长度，吸管总长度减去杯子里面的长度即露在外面的长度．【详解】设杯子底面直径为a，高为b，吸管在杯中的长度为c，根据勾股定理，得：c2＝a2＋b2，解得：c＝15，∴吸管露在外面最短为20－15＝5（cm），故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理在实际问题中的应用，牢记公式稍加分析即可．10．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，踩伤了花草．则他们仅仅少走了_____步路．（假设2步为1米）【答案】8【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，根据2步为1米，即可得出少走的步数．【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝6m，BC＝8m，∴，则（8+6﹣10）×2＝8，∴他们仅仅少走了8步，故答案为：8．【点睛】本题考查了勾股定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，点在正方形的边上，若，，那么正方形的面积为_．【答案】．【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．【详解】解：由勾股定理得，，正方形的面积，故答案为．【点睛】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．12．如图，小华将升旗的绳子拉到竖直旗杆的底端，绳子末端刚好接触地面，此时绳子末端距离地面2m，则绳子的总长度为___m．【答案】10【分析】设绳子的长度为xm，则AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m，再利用勾股定理得到即，解方程即可．【详解】解：设绳子的长度为xm，则AC=AD=xm，AB=AD-BD=（x-2）m，BC=6m，在Rt△ABC中，∴，解得，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够根据题意构造直角三角形进行求解．13．在一棵树的10米高的B处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树20米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高__米．【答案】15【详解】试题解析：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x2+202=[30-（x-10）]2，解得x=15m．故这棵树高15m．【点睛】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．三、解答题：14．如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，求茶杯的高度．【答案】茶杯的高度为12厘米【分析】由题意得当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短，据此利用勾股定理求解即可．【详解】解：由题意得当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短，此时CD=7厘米，AB=5厘米∴AC=20-7=13厘米，∴厘米，∴茶杯的高度为12厘米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意确定当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短是解题的关键．15．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242．∴AC=26，26÷5=5.2（s）．答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．16．如图，高速公路上有A，B两点相距10km，C，D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C，D两村庄到E站的距离相等，求BE的长．【答案】4km【分析】根据题意设出BE的长为xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE＝xkm，则AE＝（10﹣x）km，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝62+x2，由题意可知：DE＝CE，所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，解得：x＝4．所以，EB的长是4km．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17．“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方60米的C处，过了4秒后到达B处（），此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为100米，请问这辆小汽车是否超速？【答案】小汽车已超速行驶．【分析】根据题意得出由勾股定理得出的长，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．【详解】解：根据题意，得米，米，，在中，根据勾股定理，(米)，80米千米，4秒小时，，所以小汽车已超速行驶．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出的长是解题关键．18．为了测量如图风筝的高度CE．测得如下数据：①BD的长度为8米（注：）；②放出的风筝线BC的长为17米；②牵线放风筝的同学身高为1.60米．(1)求风筝的高度CE．(2)若该同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度CE为16.6米(2)他应该往回收线7米．【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．（1）在Rt△CDB中，由勾股定理得，∴，CE＝CD＋DE＝15＋1.6＝16.6米，答：风筝的高度CE为16.6米；（2）如图，设风筝沿CD方向下降9米至点，则，，，，∴他应该往回收线7米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．19．明朝数学家程大位在《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点E，且尺），踏板升高到点B位置，此踏板高地五尺（尺，），则秋千绳索长多少尺？【答案】【分析】设OB＝OA＝x（尺），在Rt△OBE中利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：设OB＝OA＝x（尺），∵四边形BECD是矩形，∴BD＝EC＝5（尺），在Rt△OBE中，OB＝x，OE＝x−4，BE＝10，∴x2＝102＋（x−4）2，∴x＝．∴OA的长度为（尺）．【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．能力提升篇一、单选题：1．如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m，4m，3m，则能放进木箱中的木棒最长为（）A．19m B．24m C．13m D．15m【答案】C【分析】连接AC，AG，由题意可知∠ACG=∠ABC=90°，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC，AG，由长方体的性质可以知∠ACG=∠ABC=90°，∴(m)，∴(m),∴能放进木箱中的木棒最长为13m，故选C．.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为100cm，15cm和10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为（）A．115cm B．125cm C．135cm D．145cm【答案】B【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．【详解】解：展开图为：则AC=100cm，BC=15×3+10×3=75cm，在Rt△ABC中，AC=100cm，∴AB==125cm．所以蚂蚁所走的最短路线长度为125cm．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键．3．如上图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12，底面周长为10，在容器内壁离容器底部3的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（

）A．13 B．12 C．15 D．16【答案】A【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【详解】解：由题意可得：此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3与饭粒相对的点处，，，将容器侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离，.故选A.【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．二、填空题：4．如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行5海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行12海里，这时两轮船相距_____海里．【答案】13【分析】根据题意可得，∠AOB=180°-25°-65°=90°，OA=5，OB=12，再根据勾股定理可得AB的长，即可得两轮船的距离．【详解】解：如图，根据题意可知：∠AOB=180°-25°-65°=90°，OA=5，OB=12，∴AB==13(海里)．所以两轮船相距13海里．故答案为：13【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．5．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm．【答案】10【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=1+3+1+3=8（cm），A′B′=6cm