数学人教A版高中必修二（2019新编）10-2事件的关系和运算（学案）

第02讲事件的关系和运算目标导航目标导航课程标准课标解读结合具体的事例理解事件的包含关系与相等关系；结合具体事例能进行随机事件的并、交的运算；通过具体事例理解随机事件的互斥与对立关系；通过本节课的学习，要求掌握随机事件间的关系，能进行事件的交、并运算.知识精讲知识精讲知识点1.事件的关系定义符号图示包含关系一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B2.交事件与并事件定义符号图示并事件(或和事件)一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或积事件)一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)3.互斥事件和对立事件定义符号图示互斥事件一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)A∩B＝∅对立事件一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为eq\x\to(A)A∪B＝ΩA∩B＝∅4.事件的关系或运算的含义及符号表示事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，A∪B＝Ω【微点拨】定义多个事件的和事件以及积事件.对于三个事件A、B、C，A∪B∪C(或A+B+C)发生，当且仅当A、B、C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生，当且仅当A、B、C同时发生.【即学即练1】许洋说：“本周我至少做完三套练习题．”设许洋所说的事件为A，则A的对立事件为（

）A．至多做完三套练习题 B．至多做完两套练习题C．至多做完四套练习题 D．至少做完两套练习题【答案】B【解析】【分析】两个事件互为对立事件，是指它们的交集为空集，并集为全集.由对立事件的概念可快速求解.【详解】至少做完3套练习题包含做完3，4，5，6，…套练习题，故它的对立事件为做完0，1，2套练习题，即至多做完2套练习题．故选：B.【即学即练2】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“向上的点数为”，其中，“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是（

）A． B． C．与互斥 D．与对立【答案】C【解析】【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，依次分析，即可【详解】对于A，，，∴，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，与不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，，，与是互斥但不对立事件，故D错误；故选：C【即学即练3】从装有2个白球和3个黑球的口袋内任取两个球，那么下列事件中是互斥而不对立的事件是（）A．“恰有两个白球”与“恰有一个黑球”B．“至少有一个白球”与“至少有一个黑球”C．“都是白球”与“至少有一个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是黑球”【答案】A【解析】对于A，事件：“恰有两个白球”与事件：“恰有一个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能两个都是黑球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴A正确；对于B，事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴B不正确；对于C.“都是白球”与“至少有一个黑球”不能同时发生，且对立，故C错误；对于D，“至少有一个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，故不互斥.故选：A.【即学即练4】如果事件A，B互斥，那么（

）A．A∪B是必然事件B．A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件C．A的对立事件与B的对立事件是互斥事件D．A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的含义判断.【详解】A.因为事件A，B互斥，若对立，则A∪B是必然事件，若不对立，则A∪B不是必然事件，故错误；B.A的对立事件与B的对立事件的和事件是必然事件，故正确；C.若事件A，B互斥，不对立，则A的对立事件与B的对立事件不是互斥事件，故错误；D.若事件A，B互斥，且对立，则A的对立事件与B的对立事件是对立事件，故错误；故选：B【即学即练5】抽查10件产品，设试验的样本空间为Ω，A＝“至多有1件次品”，B＝“至少有两件次品”，则（

）A．A⊆BB．B⊆AC．A∩B≠∅D．A∩B＝∅，且A∪B＝Ω【答案】D【解析】【分析】分析事件A、B包含的基本事件，判断二者的关系.【详解】A＝“至多有1件次品”，包含：0件次品和1件次品；B＝“至少有两件次品”包含：2件次品、3件次品、4件次品、5件次品、6件次品、7件次品、8件次品、9件次品和10件次品、故A∩B＝∅，且A∪B＝Ω.故选：D【点睛】判断两个事件是否互斥（对立）：①定义法；②直接法：利用生活常识直接判断；③集合法：把事件A、B对应的基本事件用集合表示，根据两个集合的交集为空集，可判断A、B互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B为对立事件.【即学即练6】对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝“两次都击中飞机”，B＝“两次都没击中飞机”，C＝“恰有一枚炮弹击中飞机”，D＝“至少有一枚炮弹击中飞机”，下列关系不正确的是（

）A．A⊆DB．B∩D＝C．A∪C＝DD．A∪B＝B∪D【答案】D【解析】【分析】按照事件间的互斥关系和包含关系分析求解即可.【详解】“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：恰有一枚炮弹击中，两枚炮弹都击中．故A⊆D，A∪C＝DB，D为互斥事件，B∩D＝；A∪B＝“两个飞机都击中或者都没击中”，B∪D为必然事件，这两者不相等故选：D【即学即练7】已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设表示事件“3件产品

全不是次品”，表示事件“3件产品全是次品”，表示事件“3件产品中至少有1件是

次品”，则下列结论正确的是（

）A．与互斥 B．与互斥但不对立C．任意两个事件均互斥 D．与对立【答案】D【解析】【分析】列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断.【详解】设1表示取到正品,0表示取到次品，所有事件则故与不互斥，故A,C错故与互斥且对立,故B错，D正确故选：D【即学即练8】（多选）下列命题中为真命题的是（

）A．若事件与事件互为对立事件，则事件与事件为互斥事件B．若事件与事件为互斥事件，则事件与事件互为对立事件C．若事件与事件互为对立事件，则事件为必然事件D．若事件为必然事件，则事件与事件为互斥事件【答案】AC【解析】根据互斥与对立事件的定义逐个辨析即可.【详解】对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题.对于B,互斥事件不一定是对立事件,如将一枚硬币抛掷两次,共出现（正,正）,（正,反）,（反,正）,（反,反）四种结果,事件“两次出现正面”与事件“只有一次出现反面”是互斥事件,但不是对立事件,故B为假命题.对于C,事件为对立事件,则在一次试验中一定有一个发生,故C为真命题.对于D,事件表示事件至少有一个要发生,不一定互斥,故D为假命题.故选：AC【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的辨析.【即学即练9】在随机抛掷一颗骰子的试验中，事件“出现不大于4的偶数点”，事件“出现小于6的点数”，则事件的含义为______，事件的含义为___.【答案】

出现点

出现点【解析】分析事件的基本事件再判断即可.【详解】易知“出现6点”,则“出现点”,“出现点”.故答案为：(1).出现点

(2).出现点【点睛】本题主要考查了事件的基本运算,属于基础题.【即学即练10】电路如图所示.用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝____________.(用B，C，D间的运算关系式表示)【答案】(BC)∪(BD)或B∩(C∪D)【解析】【分析】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，由此可得．【详解】灯亮必须形状开关I闭合，开关II和III中至少有一个闭合，因此．故答案为：．也可写成：．【即学即练11】在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3件，若记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是___________.【答案】3件至多有2件一级品【解析】【分析】根据对立事件的定义即可得到答案.【详解】“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件为“3件不都是一级品”，即为“3件至多有2件一级品”.故答案为：3件至多有2件一级品.【即学即练12】抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝________________________________________________________________________．【答案】（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.【解析】【分析】根据试验结果，直接写出事件包含的基本事件即可求解.【详解】抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示,其中分别表示正反，则（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.故答案为：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正）.【即学即练13】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析【分析】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．【解析】(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．【即学即练14】掷一枚骰子，给出下列事件：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”.求：（1），；（2），.【答案】（1），“出现2点”.（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【解析】根据题意表示出集合，再求（1），；（2），即可.【详解】由题意知：“出现奇数点”，“出现偶数点”，“出现的点数小于3”，（1），出现2点”；（2）“出现1，2，3，4，5或6点”，“出现1，2，4或6点”.【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算.能力拓展能力拓展考法01事件的关系判断：1.判断事件间的包含关系，交事件、并事件关系要以定义为标准来判断.2.判断两个事件是否为互斥事件，主要看它们在一次试验中能否同时发生，若不能同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件；判断两个事件是否为对立事件，主要看在一次试验中这两个事件是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生.这两个条件同时成立，那么这两个事件是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件.【典例1】同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可.【详解】事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有.故选：A.【点睛】本题主要考查了事件的包含关系,属于基础题型.【典例2】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是（

）A．全是红球 B．至少有1个红球C．至多有1个红球 D．1个红球，1个白球【答案】C【解析】【分析】根据题意，写出事件“至少有1个白球”所包含的基本事件，根据选项即可判断和选择.【详解】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球，则其包含的基本事件是：个白球个红球，个白球；又至多有1个红球包含的基本事件也是：个白球个红球，个白球.故选：.【典例3】抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，则事件A的对立事件是（

）A．{至多有2件正品} B．{至多有1件次品}C．{至少有1件正品} D．{至少有2件次品}【答案】D【解析】【分析】根据对立事件的定义，结合题意，即可写出事件的对立事件.【详解】因为抽查10件产品，设A={至多有1件次品}，故事件的对立事件是：{至少有2件次品}.故选：.【典例4】．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中的两个事件是互斥事件的为（

）A．“都是红球”与“至少1个红球”B．“恰有2个红球”与“至少1个白球”C．“至少1个白球”与“至多1个红球”D．“2个红球，1个白球”与“2个白球，1个红球”【答案】D【解析】【分析】分析每个选项中的两个事件是否有共同的基本事件判断并作答.【详解】对于A选项：“至少1个红球”的事件中含有“都是红球”这一事件，即两个事件可以同时发生，A中的两个事件不互斥；对于B选项：“恰有2个红球”和“至少1个白球”的事件中都含有“两红球，一白球”的事件，B中的两个事件不互斥；对于C选项：“至少1个白球”与“至多1个红球”的事件中都含有“三白球”与“一红球，两白球”的两个事件，C中的两个事件不互斥；对于D选项，3个球中“2个红球，1个白球”的事件与“2个白球，1个红球”的事件不可能同时发生，是互斥事件，所以两个事件是互斥事件的为D.故选：D【典例5】某人打靶时，连续射击两次，事件A＝“至少有一次中靶”，B＝“两次都不中靶”，则（

）A．A⊆B B．B⊆AC．A∩B＝∅ D．∩B＝∅【答案】C【解析】【分析】列举射击2次的基本事件，分析A、B的关系.【详解】连续射击两次，用，（x、y取0,1，取0表示射中，取1表示未射中）表示基本事件，包括：其中故A∩B＝∅，其他都不对.故选：C【点睛】判断两个事件是否互斥（对立）：①定义法；②直接法：利用生活常识直接判断；③集合法：把事件A、B对应的基本事件用集合表示，根据两个集合的交集为空集，可判断A、B互斥；若两个集合的交集为空集，同时二者的并集为全集，则A、B为对立事件.【典例6】抛掷相同硬币3次，记“至少有一次正面向上”为事件A，“一次正面向上，两次反面向上”为事件B，“两次正面向上，一次反面向上”为事件C，“至少一次反面向上”为事件D，“3次都正面向上”为事件E.(1)试判断事件A与事件B，C，E的关系；(2)试求AD，B+C所包含的样本点，并判断AD与B+C的关系.【答案】(1)B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E(2)AD={有正面向上，也有反面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，AD=B+C【分析】（1）写出事件A所包含的基本事件，可以看出是事件B，事件C和事件E的和，故可以得到答案；（2）写出事件D所包含的基本事件，与事件A进行比较，得到AD所包含的样本点，再写出B+C所包含的样本点，可得到AD与B+C的关系.【解析】(1)事件A为“至少有一次正面向上”，包含“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都正面向上”三个基本事件，所以B⊆A，C⊆A，E⊆A，A=B+C+E.(2)“至少一次反面向上”为事件D，包含“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向上”和“3次都反面向上”三个基本事件，可以看出事件A与事件D有相同的两个基本事件，即“一次正面向上，两次反面向上”，“两次正面向上，一次反面向上”，故AD={一次正面向上或两次正面向上}，B+C={一次正面向上或两次正面向上}，所以AD=B+C.【典例7】某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”．判断下列事件是不是互斥事件，如果是，判断它们是不是对立事件．（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E.【答案】答案见解析.【解析】【分析】（1）若只订甲报，则事件A与事件C有可能同时发生，从而可判断;(2)由事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，事件B和事件E必有一个发生，从而可判断.(3)若只订乙报，则事件B与事件D可能同时发生，从而可判断;（4）写出事件B“至少订一种报”可能结果和事件C“至多订一种报”的所有可能结果，从而可判断;（5）由事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，从而可判断;【详解】（1）由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．（2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件．（3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．考法02事件的交、并运算：事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.【典例8】抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“出现的点数是1或2”，事件“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据事件和事件，计算，，根据结果即可得到符合要求的答案.【详解】由题意可得：，，，.故选B.【点睛】本题主要考查的是古典概型的基本事件，考查交事件和并事件，需要借助于集合的运算，集合与集合的关系来解决，是基础题.【典例9】设A，B是两个任意事件，下面关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】根据事件的运算法则逐个分析即可.【详解】若,则,故A错误；由题知,,B正确；∵当事件A、B都不发生时,发生,但A不发生,不是A的子集,C错误；,,D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查了事件的基本运算,属于基础题型.【典例10】抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，若事件，事件，求事件，.【答案】，.【解析】【分析】利用随机事件的运算，求，.【详解】由题设，，.【典例11】生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”．【答案】C=AB；.【解析】【分析】根据给定条件利用事件的运算即可列式作答.【详解】要使得产品合格，需要第一道工序和第二道工序加工都合格，即事件A，B同时发生，所以C=AB；产品不合格，就是第一道工序和第二道工序加工中至少有一道加工工序不合格，所以，.考法03事件的关系和运算的综合应用：【典例12】如图所示，事件A＝“甲元件正常”，B＝“乙元件正常”，C＝“丙元件正常”．则A∪B∪C表示的含义为________，∩∩表示的含义为________．【答案】

电路工作正常

电路工作不正常【解析】【分析】结合事件的关系和运算即可.【详解】表示甲、乙、丙元件至少有一个正常，即电路工作正常；表示甲、乙、丙元件都不正常，即电路工作不正常.故答案为：电路工作正常；电路工作不正常.【典例13】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，则事件M的含义是______________________．【答案】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8【解析】【分析】根据事件可归纳出M的含义.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子两次,事件M＝{(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)}，归纳可知，事件M的含义是：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8的事件.故答案为：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，向上点数之和为8.【典例14】从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，判断下列每对事件是不是互斥事件，是不是对立事件．(1)“取出3个红球”与“取出3个球中至少有1个白球”；(2)“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”；(3)“取出3个红球”与“取出的球中至少有1个红球”．【答案】(1)是互斥事件，也是对立事件；(2)是互斥事件，但不是对立事件；(3)既不是互斥事件，也不是对立事件.【分析】根据题意，求得从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球所有的基本事件，再写出每个事件中包含的基本事件，即可判断.【解析】(1)从装有5个红球、5个白球的袋中任意取出3个球，从颜色的角度出发，包含如下基本事件：个白球，个白球个红球，个白球个红球，个红球.事件“取出3个球中至少有1个白球”，包括：个白球，个白球个红球，个白球个红球，故该事件与“取出3个红球”是互斥事件，也是对立事件.(2)根据（1）中所求，显然：“取出2个红球和1个白球”与“取出3个红球”是互斥事件，但不是对立事件.(3)“取出的球中至少有1个红球”包括基本事件：个白球个红球，个白球个红球，个红球，故该事件与“取出3个红球”不是互斥事件，因为有共同的基本事件：个红球；同时，也不是对立事件.【典例15】设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.（1）三个事件都发生；（2）三个事件至少有一个发生；（3）A发生，B，C不发生；（4）A，B都发生，C不发生；（5）A，B至少有一个发生，C不发生；（6）A，B，C中恰好有两个发生.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】由互斥事件和对立事件的定义、事件的间的关系求解即可【详解】解：（1）三个事件都发生表示为；（2）三个事件至少有一个发生表示为；（3）A发生，B，C不发生表示为；（4）A，B都发生，C不发生表示为；（5）A，B至少有一个发生，C不发生表示为；（6）A，B，C中恰好有两个发生表示为.【典例16】记某射手一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环分别为事件，，，，指出下列事件的含义：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）射中10环或9环或8环.（2）射中9环.（3）射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【解析】（1）根据意义即可得到；（2）先求出，即可得出；（3）先求出，即可得出.【详解】（1）=射中10环，=射中9环，=射中8环，射中10环或9环或8环.（2）=射中8环，射中环数不是8环，则射中9环.（3）射中9环或8环或7环，则射中10环或6环或5环或4环或3环或2环或1环或0环.【点睛】本题主要考查的是交事件（积事件）与并事件（和事件）的理解和应用以及对互斥事件、对立事件的概念理解，以及集合间的基本运算，是基础题.【典例17】一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件=“第一次摸到红球”，=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）事件R与，R与G，M与N之间各有什么关系？（3）事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件与事件的交事件与事件R有什么关系？【答案】（1）详见解析（2）事件包含事件R；事件R与事件G互斥；事件M与事件N互为对立事件（3）事件M是事件R与事件G的并事件；事件R是事件与事件的交事件.【解析】（1）所有的试验结果如图所示,用数组表示可能的结果,是第一次摸到的球的标号,是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间事件=“第一次摸到红球”,即或2,于是；事件=“第二次摸到红球”,即或2,于是.同理,有,,,.（2）因为,所以事件包含事件R；因为,所以事件R与事件G互斥；因为,,所以事件M与事件N互为对立事件.（3）因为,所以事件M是事件R与事件G的并事件；因为,所以事件R是事件与事件的交事件.【典例18】在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．【答案】（1）见解析；（2）事件D2，D3，E，F，G为和事件.【解析】(1)若事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件D2包含事件C4，C5，C6；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.故事件D2，D3，E，F，G为和事件．分层提分分层提分题组A基础过关练1．一个射手进行一次射击，事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5，则（

）A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件C．A⊆B D．A⊇B【答案】C【解析】【分析】列出事件、的样本点，即可判断；【详解】解：事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7或8或9或10环，故A⊆B.故选：C2.从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（

）A．① B．②④ C．③ D．①③【答案】C【解析】【分析】列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.【详解】解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.故选：C3.从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A={三件产品全不是次品}，B={三件产品全是次品}，C={三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是（

）A．A与C互斥 B．B与C互斥C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件的定义进行判断即可【详解】由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥.故答案选：D4.打靶次，事件表示“击中发”，其中、、、.那么表示（

）A．全部击中 B．至少击中发C．至少击中发 D．以上均不正确【答案】B【解析】【分析】利用并事件的定义可得出结论.【详解】所表示的含义是、、这三个事件中至少有一个发生，即可能击中发、发或发.故选：B.5.某产品分为甲、乙、丙三级，其中甲级为正品，乙、丙两级均属次品．从等级分别为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A，B，C，则抽得次品为（

）A．A B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据事件的运算逐个判断即可.【详解】事件A为抽到一件正品，故A错误.事件为抽到乙的反面，即抽到正品，故B错误.事件为抽到丙的反面，即抽到正品，故C错误.事件为抽取甲级产品的反面，即抽到次品，故D正确.故选：D.6.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（

）A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球【答案】B【解析】【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球”，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.7.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有（

）①恰有一名男生和全是男生；②至少有一名男生和至少有一名女生；③至少有一名男生和全是男生；④至少有一名男生和全是女生.A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】【分析】按互斥事件的概念逐个判断即可.【详解】由互斥事件的概念可知，①④中的两个事件是互斥事件，②③两个事件不是互斥事件.故选：D.【点睛】本题主要考查利用互斥事件的概念判断两个事件是否互斥，属基础题.8.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（

）A．B．C．表示向上的点数是1或2或3D．表示向上的点数是1或2或3【答案】C【解析】【分析】根据题意，可得，求得，即可求解．【详解】由题意，可知，则，∴表示向上的点数为1或2或3．故选：C.【点睛】本题主要考查了随机事件的概念及其应用，其中解答中正确理解抛掷一枚骰子得到基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9.把电影院的4张电影票随机地分发给甲、乙、丙、丁4人，每人分得1张，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”是（

）A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．以上答案都不对【答案】C【解析】【分析】事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”不可能同时发生，故它们是互斥事件.事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”可能都不发生，故它们不是对立事件.【详解】由题意知，事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”不可能同时发生.由互斥事件的定义可知，它们是互斥事件.又事件“丙分得4排1号”与事件“丁分得4排1号”其中一个可能发生，即事件“甲分得4排1号”与事件“乙分得4排1号”可能都不发生.由对立事件的定义知，它们不是对立事件.故选：.【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题.10.甲、乙两个元件构成一串联电路，设=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，则表示电路故障的事件为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意，可知串联电路中，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，根据并事件的定义，即可得出答案.【详解】解：由题意知，甲、乙两个元件构成一串联电路，=“甲元件故障”，=“乙元件故障”，根据串联电路可知，甲元件故障或者乙元件故障，都会造成电路故障，所以电路故障的事件为：.故选：A.【点睛】本题考查对并事件的理解，属于基础题.11.从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取两个数，分别有下列事件：①恰有一个是奇数和恰有一个是偶数；②至少有一个是奇数和两个数都是奇数；③至少有一个是奇数和两个数都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.其中，为互斥事件的是（

）A．① B．②④ C．③ D．①③【答案】C【解析】根据互斥事件的定义，逐一分析四个答案中的两个事件的关系，可得答案.【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数是相同的事件，故①不是互斥事件；②至少有一个是奇数包含两个数都是奇数的情况，故②不是互斥事件；③至少有一个是奇数和两个都是偶数不能同时发生，故③是互斥事件；④至少有一个是奇数和至少有一-个是偶数可以同时发生，故④不是互斥事件.故选：.【点睛】本题考查互斥事件的判断，解题时要认真审题，是基础题.12.口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次取出2张卡片，给出以下事件：①2张卡片都不是红色；

②2张卡片中恰有1张红色；③2张卡片中至少有1张红色；

④2张卡片都为绿色.其中与事件“2张卡片都为红色”互斥但不对立的事件是（

）A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【解析】根据互斥与对立事件的定义,分析所有的基本事件再逐个辨析即可.【详解】从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色、1张绿色”“1张红色、1张蓝色”“1张绿色、1张蓝色”,则给出的事件中,与事件“2张卡片都为红色”互斥但不对立的事件为“2张卡片都不是红色”“2张卡片中恰有1张红色”“2张卡片都为绿色”,即①②④满足条件.故选：A【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的辨析,属于基础题.13.某产品外为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，从等级为甲、乙、丙的三件产品中任取一件，抽到甲、乙、丙三级产品分别为事件A、B、C，则抽取一件抽得次品为（

）A．A B．BC C． D．【答案】D【解析】根据事件的运算逐个判断即可.【详解】事件A为抽到一件正品,故A错误.事件BC为同时抽到BC,不满足题意,故B错误.事件为抽到丙的反面,故C错误.事件为抽取甲级产品的反面,即抽到次品,故D正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了对事件及其运算的理解,属于基础题型.14.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并给出以下结论：①；②是必然事件；③；④.其中正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②③【答案】A【解析】根据事件的关系逐个判断即可.【详解】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件,③不正确；事件：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选：A【点睛】本题主要考查了事件的基本关系,属于基础题型.题组B能力提升练1.（多选题）若甲、乙、丙三个人站成一排，则下列是互斥事件的有（

）A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”D．“甲站排头”与“乙站排尾”【答案】AC【解析】【分析】把“甲乙丙三个人站成一排”按照“排头、排中，排尾”进行分类，结合互斥事件的概念，即可求解.【详解】按照站排头可分为三种情况：甲在排头、乙在排头、丙在排头，所以A正确，B错误；“甲不站排头和排尾”与“乙不站排头和排尾”等价于“甲站排中”与“乙站排中”是互斥的，所以C正确；“甲站排头”包括“乙站排尾”，所以D错误.故选：AC.2.(多选题)抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A＝{出现奇数点}，事件B＝{出现2点}，事件C＝{出现奇数点或2点}，则下列成立的是（

）A．A⊆C B．A∩B＝∅C．A∪B＝C D．B∩C＝∅【答案】ABC【解析】【分析】写出事件，判断即可.【详解】{出现点数为1,3,5}，{出现2点}，{出现点数为1,2,3,5}.所以，，，.所以选项A、B、C正确，选项D不正确．故选：ABC.3.(多选题)下列结论正确的有（）A．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，恰有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件B．在标准大气压下，水在时结冰为随机事件C．若一组数据，，，的众数是，则这组数据的平均数为D．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.若该校一、二、三、四年级本科生人数之比为，则应从四年级中抽取名学生【答案】AD【解析】A.分别写出两个事件，根据互斥事件的概念判断；B.根据自然知识之间判断选项；C.根据众数和平均数公式计算结果；D.根据分层抽样的计算公式，计算结果.【详解】A.恰有一个黑球包含的事件是“一黑一红”，至少有一个红球包含的事件是“一红一黑”和“两个红球”，两个事件有公共事件，所以不是互斥事件，故A正确；B．在标准大气压下，水在时结冰为不可能事件，故B不正确C.众数是2，所以，平均数，故C不正确；D.由条件可知名学生，故D正确.故选：AD4.(多选题)设，，为三个事件，下列各式意义表述正确的是（）A．表示事件不发生且事件和事件同时发生 B．表示事件，，中至少有一个没发生 C．表示事件，至少有一个发生 D．表示事件，，恰有一个发生【答案】ACD【解答】根据题意，依次分析选项：对于，表示事件不发生且事件和事件同时发生，正确，对于，表示事件、、至少一个发生，则表示事件都没有发生，错误，对于，表示事件，至少有一个发生，正确，对于，表示事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，事件、不发生且事件发生，则表示事件，，恰有一个发生，故选：ACD．5.(多选题)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（

）A．2张卡片不全为红色 B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色【答案】BD【解析】【分析】本题先写出所有情况：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，再根据选项选择互斥而不对立的事件即可.【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立“2张恰有一张红色”“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件是“2张都为红色”二者并非互斥，“2张不全为红色”是对立事件．故选：BD.【点睛】本题考查互斥事件、对立事件.6.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件A:恰有一件次品.事件B:至少有两件次品.事件C:至少有一件次品.事件D:至多有一件次品.并给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】由并事件与交事件的概念逐个分析判断即可【详解】事件A∪B:至少有一件次品，即事件C，所以①正确;事件A∩B=∅，③不正确;事件D∪B:至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以②正确;事件A∩D:恰有一件次品，即事件A，所以④不正确.故答案为：①②C培优拔尖练1.掷一枚骰子，下列事件：A=“出现奇数点”，B=“出现偶数点”，C=“点数小于3”，D=“点数大于2”，E=“点数是3倍数”.求：（1）A∩B，BC；（2）A∪B，B+C；（3）记为事件H的对立事件，求.【答案】（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.【解析】【分析】（1）A∩B表示同时发生，BC表示同时发生；（2）A∪B表示至少有一个事件发生，表示至少有一个事件发生；（3）表示的对立事件；等价于同时发生；等价于至少有一个事件发生；等价于的对立事件与的对立事件至少有一个事件发生.【详解】∵，，，，∴，，，∴（1）A∩B=，BC={2}；（2）A∪B={1，2，3，4，5，6}，B+C={1，2，4，6}；（3）={1，2}；=BC={2}；=A∪C={1，2，3，5}；={1，2，4，5}.2.从40张扑克牌(红桃､黑桃､方块､梅花，点数从1~10各1张)中，任取一张.（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.【答案】（1）是互斥事件，不是对立事件，理由见解析；（2）既是互斥事件，又是对立事件，理由见解析；（3）不是互斥事件，也不是对立事件，理由见解析.【解析】【分析】利用互斥事件和对立事件的定义分别判断即可【详解】（1）是互斥事件，不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.（2）既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件.（3）不是互斥事件，也不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.3.某连锁火锅城开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20位顾客可参加如下活动：摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等)，顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动．记事件A：“获得不多于30元菜品或饮品”．（1）求事件A包含的基本事件；（2）写出事件A的对立事件，以及一个事件A的互斥事件．【答案】（1）{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；（2）事件A的对立事件是＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”(答案不唯一)．【解析】【分析】（1）金额不多于30元的有10元，20元，30元三种；（2）除10元，20元，30元三种外的所有可能放在一起，即金额多于30元且不多于120元，其中任何一个或几个组成的事件都是与事件A互斥．【详解】（1）事件A包含的基本事件有：{获得10元菜品或饮品}，{获得20元菜品或饮品}，{获得30元菜品或饮品}；（2）事件A是获得不多于30元菜品或饮品，它的对立事件获得多于30元但不多于120元的菜品或饮品，即＝“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”，在获利的菜品或饮品不多于120元且多于30元中的任何一个都是与事件A互斥，如事件A的一个互斥事件为：“获得40元菜品或饮品”．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件作对立事件的定义，掌握它们的定义是解题关键．对立事件是非此即彼的关系，互斥事件是不同发生的事件，但它们都包含在所研究的事件空间中．4.用红、黄、蓝三