数学人教A版高中必修二（2019新编）6-13余弦定理、正弦定理的应用举例（学案）

第13讲余弦定理、正弦定理的应用举例目标导航目标导航课程标准课标解读1.学会根据条件特点选择正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.2.学会利用三角形中的隐含条件.掌握用两边夹角表示的三角形面积公式.3.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.通过本节课的学习，要求利用好三角形中的边的关系，角的关系，边角的关系中的隐含条件，结合给定三角形的条件选择恰当的方法求解三角形中的边、角、周长、面积；解决三角形与三角函数、向量、及平面几何相关联的综合问题；并能解决与实际问题相关联的距离、高度、角度、面积等问题.知识精讲知识精讲知识点1.余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角.2.正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.3.三角形面积公式(1)S＝eq\f(1,2)aha＝eq\f(1,2)bhb＝eq\f(1,2)chc；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)casinB.4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).(3)方位角的其他表示——方向角①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).5.常见距离问题可分为以下三类(1)两点间不可通又不可视(如图①中AB)：可取某点C，使得点A，B和C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a，以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得，AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ).(2)两点间可视但不可到达(如图②中AB)：可选取与点B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如要求图③中河彼岸两点AB间的距离)：可先在此岸一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.6.测量仰角(或俯角)求高度问题：如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)【答案】解题思路是：在△ACD中，eq\f(AC,sinβ)＝eq\f(m,sinα－β.)，所以AC＝eq\f(msinβ,sinα－β).7.测量方向角求高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西75°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在北偏西65°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD?【答案】先在△ABC中，用正弦定理求BC＝eq\f(5sin15°,sin10°)，再在Rt△DBC中求DC＝BCtan8°.【微点拨】1.运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理.测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别.2.正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.【即学即练1】唐代数学家、天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长l与太阳天顶距θ的对应数表.已知晷影长l、表高h与太阳天顶距θ满足l=htanθ，当晷影长为0.7时，天顶距为5°.若天顶距为1°时，则晷影长为（）（参考数据：tan1°≈0.0175，tan3°≈0.0349，tan5°≈0.0875）A．0.14 B．0.16 C．0.18 D．0.24【答案】A【分析】根据给定条件求出h值，再代值计算即可得解.【详解】依题意，，则有，，所以晷影长为0.14.故选：A【即学即练2】．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km．若测得，则A，C两地间的距离为（）A．10km B．km C．km D．km【答案】D【分析】利用余弦定理解三角形即可.【详解】由题意可知，结合余弦定理可得，所以，故，所以A，C两地间的距离为，故选；D【即学即练3】如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（）

A．米 B．米C．10米D．5米【答案】B【分析】结合图形由余弦定理可得答案.【详解】设，则，，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得或（舍），故选：B.【即学即练4】如图，地平面上有一根旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB=20m，在A处测得点P的仰角∠OAP=30°，在B处测得点P的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=60°，则旗杆的高度为（）A．20（）mB．mC．mD．10（）m【答案】C【分析】在直角三角形中表示出，然后由余弦定理求解．【详解】由已知，得，则在中，由余弦定理，得，即，得.故选：C．【即学即练5】某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以海里／时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（）海里A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】易知，先在中，利用正弦定理求得BC，再由求解.【详解】如图所示：由题意得：，，，则，，在中，由正弦定理得：，所以，所以，故选：C【即学即练6】当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹竿如图所示装置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是（）A．150° B．30° C．45° D．60°【答案】B【分析】利用正弦定理分析计算即可【详解】设竹竿与地面所成的角是，影子长为，由正弦定理得，所以，因为，所以当，即时，取得最大值，所以竹竿与地面所成的角为时，影子最长，故选：B【即学即练7】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离是()A.20eq\r(2)米B.20eq\r(3)米C.40eq\r(2)米D.20eq\r(6)米【题点】测量两个不可到达点间的距离【答案】D【解析】在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝40eq\r(2).在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝20eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝BC2＋AC2－2BC×AC×cos∠BCA＝(40eq\r(2))2＋(20eq\r(2))2－2×40eq\r(2)×20eq\r(2)cos60°＝2400，∴AB＝20eq\r(6)，故A，B两点之间的距离为20eq\r(6)米.【即学即练8】如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________km.【答案】7【分析】利用余弦定理，结合∠B+∠D=π，即可求出AC的长．【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为．，

∴由余弦定理可得，，，即，∴，∴可解得．故答案为7【点睛】本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于基本知识的考查．【即学即练9】如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°，从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=500m，则山高MN=______m.【答案】750【分析】利用直角三角形求出，再由正弦定理求出，然后利用直角三角形求出【详解】在中，，所以，在中，，则，由正弦定理得，，所以，在中，，所以，故答案为：750【即学即练10】若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上.【答案】北偏西15°【分析】先作草图，由图知∠ACB＝90°，β＝30°，再根据AC＝BC得∠CBA＝45°，即求得α，得到结果.【详解】如图所示，∠ACB＝90°，

又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故答案为：北偏西15°.能力拓展能力拓展考法01求两点间距离问题：可视不可达的两点间的距离；不可通又不可视的两点间距离；测量两个不可到达点间的距离.【典例1】为测量河的宽度，在一岸边选定两个观测点和，观测对岸标记物，测得，，，则河宽为______米．【答案】【分析】利用正弦定理，把边化角求出，再利用正弦定理和解直角三角形求出河宽CD．【详解】在中，，，∴∠ACB=，由正弦定理得．∵，∴，作，则CD的长为河宽，在中，，∴，故答案为：.【点睛】求可视不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角一边的三角形.【典例2】，CB＝10km，角C＝60°，则A，B两点之间的距离为______km.【题点】测量两个不可到达点间的距离【答案】10eq\r(8－\r(7))【解析】由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC＝(10eq\r(7))2＋102－2×10eq\r(7)×10×eq\f(1,2)＝800－100eq\r(7).∴AB＝10eq\r(8－\r(7)).【典例3】如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.【答案】【分析】在中，根据，，，由余弦定理解得，然后在中，利用正弦定理求解.【详解】在中，因为，，，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），在中，因为，，所以，由正弦定理得：，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题考法02求高度问题：(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形.(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进.【典例4】如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5eq\r(3)mC.5(eq\r(3)－1)mD.5(eq\r(3)＋1)m【题点】测量俯角(仰角)求高度【答案】D【解析】方法一设AB＝xm，则BC＝xm.∴BD＝(10＋x)m.∴tan∠ADB＝eq\f(AB,DB)＝eq\f(x,10＋x)＝eq\f(\r(3),3).解得x＝5(eq\r(3)＋1)m.∴A点离地面的高AB等于5(eq\r(3)＋1)m.方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CD,sin∠CAD)·sin∠ADC＝eq\f(10,sin15°)·sin30°＝eq\f(20,\r(6)－\r(2)).∴AB＝ACsin45°＝5(eq\r(3)＋1)m.【典例5】如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.【题点】测量俯角(仰角)求高度【解析】由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m).即山的高度为800(eq\r(3)＋1)m.【点睛】此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.考法03航海问题：解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.【典例6】如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(eq\r(3)－1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10eq\r(3)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.【题点】测量方向角求距离【解析】设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)·2·cos120°＝6.∴BC＝eq\r(6).又∵eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sinA,BC)＝eq\f(2·sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，又∠ABC∈(0°，60°)，∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，∴sin∠BCD＝eq\f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq\f(10t·sin120°,10\r(3)t)＝eq\f(1,2).又∵∠BCD∈(0°，60°)，∴∠BCD＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝eq\r(6).∴t＝eq\f(\r(6),10)小时≈15分钟.∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.【点睛】解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题.考法04综合问题：【典例7】在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定【答案】C【分析】根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.【详解】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C【典例8】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若a+b＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角形内角和定理与两角和公式可求出cosC，从而得sinC，再由基本不等式与面积公式求解即可【详解】由正弦定理知，＝＝，∵，∴sinB＝4（sinA﹣sinCcosB），∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，∴sinB＝4sinBcosC，又sinB≠0，∴cosC＝，sinC＝＝，∵，∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴△ABC的面积S＝absinC＝．则△ABC的面积的最大值为.故选：D．【典例9】如图，中，，，为外一点，且，，的面积为，则（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】先利用同角三角函数的关系求出的值，再利用二倍角公式结合可求出的值，由的面积为，求出的值，在中，利用余弦定理可求出的值，在中，利用余弦定理可求出的值【详解】∵，∴.又，∴，.故的面积，解得.则在中，由余弦定理可得，得.解法一：在中，由余弦定理可得，即，得.解法二：∵，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或者余弦定理建立已知和所求的关系，具体解题思路：（1）把平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，使用共同条件，求出结果.【典例10】已知的面积为1，，，求的三边长及外接圆的直径．【答案】见解析【分析】由根据同角关系式求出，，同理求出，由诱导公式、两角和的正弦公式求得，得是直角，这样结合三角形面积，正弦定理可求得三角形边长，斜边为外接圆直径．【详解】由，得，．又，得，．从而，得，所以．因为的面积为1，得，解得，所以，，外接圆的直径．【典例11】在锐角中，、、分别是角、、的对边，若满足．（1）求的值；（2）若，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由三角恒等变换化简，结合的取值范围，即可求出的值；（2）根据的面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值．【详解】（1）中，，，即，，，即；又是锐角三角形，，，，解得；（2），且的面积为，解得；由余弦定理得，解得．分层提分分层提分题组A基础过关练1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°【答案】D【分析】题目考察简单的方位问题，要求灯塔A在灯塔B的方位，则在B处建立方位线，如图中的两条虚线所示，则求出即可【详解】∵，∴，∵，∴，∴，∴灯塔A在灯塔B的南偏西故选：D2.如图，要测量某湖泊两侧A，B两点间的距离，若给出下列数据，则其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是（）A．角A，B和边bB．角A，B和边aC．边a，b和角CD．边a，b和角A【答案】D【分析】根据正余弦定理，结合选项，即可判断.【详解】AB选项，都是两角和其中一角的对边，可求第三角，再结合正弦定理，可唯一确定三角形，C选项，已知两边和夹角，根据余弦定理，唯一确定第三边，只有选项D，根据正弦定理，可知当已知两边和其中一边的对角时，三角形得出的结果不一定唯一，故选：D.3.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后向南偏西方向航行3海里达到C处，若A与C的距离为海里，则x的值是（）A．3 B． C． D．或【答案】D【分析】根据题意画出图形，在中利用余弦定理建立方程求解即得.【详解】如图，中，依题意，，，由余弦定理得，，即，解得或，所以x的值是或.故选：D4.如图，在河岸一侧取A，B两点，在河岸另一侧取一点C，若AB=12m，借助测角仪测得∠CAB=45°，∠CBA=60°，则C处河面宽CD为（）A．6（3+）m B．6（3-）mC．6（3+2）m D．6（3-2）m【答案】B【分析】在Rt△BCD中，根据∠CBA＝60°，用BD表示出CD，在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，得到CD＝AD，根据AD+BD＝12，求出BD，计算出CD，得到答案．【详解】在Rt△BCD中，∠CBA＝60°，∵tan∠CBD＝，∴CD＝BD•tan∠CBD＝BD，在Rt△ACD中，∠CAB＝45°，则CD＝AD，∵AB＝AD+BD＝12，∴BD+BD＝12，解得BD＝6﹣6，CD＝BD＝18﹣6．故选：B5.在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦定理得出有关系，由得出的范围，从而得角范围．【详解】在△ABC中，a=2，c=1，由正弦定理，得，∴sinC=sinA.∵A∈(0，π)，∴0<sinA≤1，∴sinC∈.结合函数y=sinx的图象可得C∈.∵a>c，∴角C是锐角，∴C∈.故选：D.6.为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.【详解】依题意，在中，，，，可得，则，在中，，，则，又中，，由余弦定理可得：则.故塔尖之间的距离为.故选：C.7.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】要求树的高度，需求的长度，要求的长度，在中利用正弦定理可得.【详解】解：在中，又由正弦定理得：，树的高度为故选：C.8.在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在地面上前进后测得仰角为，继续在地面上前进以后测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出平面示意图：且，应用余弦定理求，进而求，即可求该山峰的高度.【详解】由题设，若且，∴，∴由余弦定理知：，又，∴，则，∴该山峰的高度米.故选：B9.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB成角的方向飞行，飞行到中途C点，再沿与原来的飞行方向AB成角的方向继续飞行到终点B点.这样飞机的飞行路程比原来的路程500km大约多飞了（）（，）A．10km B．20kmC．30km D．40km【答案】B【分析】由题得，再由正弦定理求出，即得解.【详解】在中，由，得，由正弦定理得，所以，所以，所以，故选：B.10.一船向正北方向匀速航行，看见正西方向有相距海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，船继续航行一小时后，看见一灯塔在船的南偏西方向，另一灯塔在船的南偏西方向，则这艘船的航行速度是（）A．海里/时 B．海里/时 C．海里/时 D．海里/时【答案】B【分析】计算得出，可得出，可计算出，进而可计算得出这艘船的航行速度.【详解】如下图所示，由题意有，，故，所以，，所以，，在中，，所以，，因此，这艘船的航行速度是海里/时.故选：B.11.在中，若，则的形状为（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用诱导公式和两角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化简已知条件，再结合角的范围即可求解.【详解】因为，由可得：，即，所以，所以，所以或，因为，，所以或，所以的形状为等腰三角形或直角三角形，故选：D.12.如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°.已知此山的高，小车的速度是，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】可由，算得,由，算得,由行使时间和速度算得，再由余弦定理解出.【详解】由题意可得，，，，，则，.因为，所以由余弦定理可知，.故选：A.【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为（）

A．米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】设该扇形的半径为，连接，结合题意得出，，，利用余弦定理求出，即为扇形的半径长.【详解】解：设该扇形的半径为，连接，如图所示：由题意得，，，，，在中，由余弦定理得：，即，解得：，所以该扇形的半径为米.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理在平面几何中的应用，利用余弦定理求扇形的半径，解决这类问题的关键是要抓住平面图形的几何性质，把所提供的平面图形拆出三角形，然后在三角形内利用正弦定理或余弦定理进行求解.14.如图，在离地面的热气球上，观察到山顶处的仰角为，在山脚处观察到山顶处的仰角为60°，若到热气球的距离，山的高度，，则（）A．30° B．25° C．20° D．15°【答案】D【分析】首先根据直角三角形的性质得到，在中，由正弦定理得到，从而得到或，再分类讨论即可得到的值.【详解】在中，，，∴在中，由正弦定理知，解得，∴或120°.当时，则，，所以，当时，，，.∴.故选：D15.某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（）A．或 B．或 C．或 D．【答案】B【分析】根据题意画出图形，在中解三角形即可求解.【详解】如图：，，，，在中由余弦定理可得：，即，所以，即，解得：或，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据题意找出正确的边和角的大小，选择余弦定理解三角形即可.16.为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（）A．北偏东， B．北偏东，C．北偏东， D．北偏东，【答案】C【分析】在中，，，，故可由余弦定理求出边AC的长度，在中，可由正弦定理建立方程，求出．【详解】据题意知，在中，，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因为为锐角，所以，所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里.故选：C.【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.题组B能力提升练1.如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（）A．120km B．km C．km D．km【答案】D【分析】设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．【详解】设15min后飞机到了处，则，由题意，，，，，所以，所以，从而，于是，，中，，．故选：D．2.在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔，塔底与这条公路在同一水平平面上，为测量该塔的高度，测量人员在公路上选择了A，B两个观测点，在A处测得该塔底部C在西偏北的方向上，在B处测得该塔底部C在西偏北的方向上，并测得塔顶D的仰角为.已知AB=a，，则此塔的高CD为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】在中用正弦定理求出线段BC长，再在直角中即可求出线段CD长.【详解】在中，，，如图，由正弦定理得：，在中，，，如图，则有，所以塔高CD为.故选：B3.某小区打算将如图所示的区域进行改建，在三边上各选一点连成等边三角形，在其内部建造文化景观，已知，，则区域面积（单位：）的最小值为（）A． B．25 C． D．【答案】D【分析】设，，那么，，在中，利用正弦定理，求出关于的函数，并求出其最大值，即可求解.【详解】在中，，，可得.设，，那么，.在中，由正弦定理，可得，，，其中，所以当时，取到最小值，最小值为，故面积的最小值.故选:D.【点睛】本题考解三角形的实际应用，考查正弦定理，三角恒等变换，以及三角函数的性质，属于中档题.4.在中，，，则周长的最大值为（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】先由得到A=,再利用基本不等式求b+c的最大值，即得三角形周长的最大值.【详解】由题得所以所以,因为所以.由余弦定理得,所以，当且仅当b=c=2时取等.所以.故选C【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为()A．45° B．60° C．75° D．90°【答案】C【分析】设a为最大边，c为最小边，根据题意求得的值，进而利用正弦的两角和公式展开后，化简整理求得tanA的值，进而求得A．【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，，A+C＝120°，即C＝120°﹣A，即，∴，整理得：2sinA＝（1）（cosAsinA）cosAsinAcosAsinA，即4sinA＝3cosAsinAcosA+sinA，即（3）sinA＝（3）cosA，∴tanA＝2，∴tan75°＝tan（45°+30°）2，∴A＝75°．故答案为75°【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理把题设中关于边的问题转化为角的关系．6.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔m，速度为km/h，飞行员先看到山顶的俯角为，经过80s后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（）A． B．C． D．【答案】C【详解】分析：先求AB的长，在中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin∠CBD，故可得山顶的海拔高度．详解：如图，，，

∴在中，

山顶的海拔高度

故选C．【点睛】本题以实际问题为载体，考查正弦定理的运用，关键是理解俯角的概念，属于基础题．7.（多选题）在△ABC中，若，下列结论中正确的有（）A．B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若，则△ABC外接圆的半径为【答案】ACD【分析】先根据题意求出，结合正弦定理可得A，D的正误，结合余弦定理可得B,C的正误.【详解】由题意，设，解得；所以A正确；由以上可知最大，为锐角，B错误；由以上可知最小，，即,因为为锐角，为锐角，所以，C正确；因为，所以，设△ABC外接圆的半径为，则由正弦定理可得，所以，D正确.故选：ACD.8.（多选题）重庆是一座网红城市，外地游客来重庆必到洪崖洞、千厮门大桥打卡.如图，我校测绘兴趣小组为测量河对岸千厮门大桥桥墩底部到顶端的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），画一条基线，测得，测绘兴趣小组利用经纬仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出的高度的是（）A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，【答案】ACD【分析】根据空间角的位置关系，以及边角所在的三角形，应用正余弦定理及空间角的三余弦定理，判断各选项是否可以求出的高度即可.【详解】A：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；B：在△、△都只有一边一角，不能求出其它角或边，无法求的高度，错误；C：根据，，，由正弦定理求，再结合可求的高度，正确；D：由，可得：，结合由正弦定理求，再由可求的高度，正确；故选：ACD9.（多选题）如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（）A． B．BD=2C． D．△CBD的面积为【答案】AC【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式可求的值，利用余弦定理求得的值，再计算，由同角的三角函数关系求出，根据直角三角形边角关系求出，，的值，再计算的面积从而得解．【详解】由，得：，又角为钝角，解得：，由余弦定理，得：，解得，可知为等腰三角形，即，所以，解得，故正确，可得，在中，，得，可得，故错误，，可得，可得，故正确，所以的面积为，故错误．故选：AC．【点睛】利用正弦、余弦定理解三角形，利用求三角形的面积．10.（多选题）如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（）A．是等边三角形B．若，则，，，四点共圆C．四边形面积最大值为D．四边形面积最小值为【答案】AC【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求，再利用，可知为等边三角形，从而判断；利用四点，，，共圆，四边形对角互补，从而判断；设，，在中，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求，利用正弦函数的性质，求出最值，判断．【详解】由正弦定理，得，，，B是等腰的底角，，是等边三角形，A正确；B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知，但由于时，，∴B不正确．C正确，D不正确：设，则，，，，，，，，∴C正确，D不正确；故选：AC.．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11.（多选题）已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（）A．若，则一定是等腰三角形B．若，则是等腰或直角三角形C．若，则一定是等腰三角形D．若，且，则是等边三角形【答案】ABD【分析】A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.【详解】A．因为，所以，所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；B．因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，故正确；C．因为，所以，所以，所以，所以，所以或，所以为等腰或直角三角形，故错误；D．因为，所以，所以或（舍），所以，又因为，所以且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以为等边三角形，故正确.故选：ABD.【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“”.12.“一带一路”国际合作高峰论坛（于2017年5月14日至15日）在北京举行，会议期间达成了多项国际台作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB=60m，BC=120m，于A处测得水深AD=120m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=150m，则cos∠DEF=_______.

【答案】【分析】先利用勾股定理分别求得，进而利用余弦定理求得结果【详解】如图，作∥交于，交于，则,,，在中，由余弦定理得,故答案为：13.黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为m的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°，则估算黄鹤楼的高度CD为_________m.【答案】【分析】由图中所示，可求出，，利用正弦定理求出，在直角△CMD中求解即可.【详解】在△ABM中，，则（m），在△ACM中，因为，，所以.因为，所以（m），故（m）.故答案为：14.已知甲船在岛的正南方处，，甲船以的速度向正北方向的岛航行，同时乙船自岛出发以的速度向北偏东的方向航行，当甲､乙两船距离最近时，它们所航行的时间是___________h.【答案】【分析】作出示意图，设甲､乙两船距离最近时航行时间为，距离为，结合余弦定理列出方程，得到，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】如图所示，设甲､乙两船距离最近时航行时间为，距离为，此时甲船到达处，则甲船距离岛，乙船距离岛，由余弦定理得，整理得，所以当时，取得最小值，即当甲､乙两船距离最近时，它们所航行的时间是.故答案为：.15.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，则B城市处于危险区的时间为_______小时．【答案】1【分析】设地东北方向上存在点到的距离为30千米，，结合余弦定理得到，进而结合韦达定理即可求出，从而求出结果.【详解】设地东北方向上存在点到的距离为30千米，，在中，，故，化简得，设方程的两根为，则，，所以，即图中千米，所以B城市处于危险区的时间为小时，故答案为：1.16.如图，某住宅小区的平面呈扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，小区里有两条笔直的小路､，且拐弯处的转角为.已知某人从沿走到用了，从沿走到用了，若此人步行的速度为每分钟，则该扇形的半径的长约为___________.(结果保留整数)【答案】445【分析】设该扇形的半径为米．根据题意可知，和，进而在中利用余弦定理建立等式求得．【详解】解：设该扇形的半径为米．由题意，得（米，（米，在△中，，即，解得（米∴扇形的半径的长445米，故答案为：445.17.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若，山坡对于地平面的坡度为θ，则等于___________.【答案】【分析】在中，利用正弦定理求得，然后在中，利用正弦定理求得，然后由求解.【详解】在中，由正弦定理得：，所以，在中，由正弦定理得：，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的实际应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.18.设锐角三个内角所对的边分别为,若，，则的取值范围为__________．【答案】【分析】先利用余弦定理化简得，再利用正弦定理求出，再结合B的范围求出c的范围.【详解】由及余弦定理可得，即，所以．又为锐角三角形，所以．由正弦定理可得．由且可得，所以，所以，即．故的取值范围为．故答案为【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题利用了函数的思想，一定要注意考查B的范围，否则会出错.19.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为________．【答案】80【分析】在中，由正弦定理求得；在中，由正弦定理求得；再在中，由余弦定理求得.【详解】由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°，由正弦定理得AC＝＝＝40(＋)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°，由正弦定理＝，得BC＝＝＝160sin15°＝40(－)．在中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋4)＋1600×(8－4)＋2×1600×(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝1600×20＝32000，解得AB＝80．故图中海洋蓝洞的口径为80．故答案为：.【点睛】本题考查利用正余弦定理求解距离问题，属综合题.C培优拔尖练1.用余弦定理证明：平行四边形两条对角线平方的和等于四条边平方的和.【答案】见解析【分析】在三角形ABC和三角形ABD中分别利用余弦定理表示两对角线的平方，结合互补角的余弦值的关系，相加即可得到结论.【详解】已知：四边形ABCD为平行四边形，如图所示.求证：.证明：在三角形ABC中，由余弦定理得,在三角形ABD中，由余弦定理得,∵,∴，∴.2.在△中，已知，，，求证：△为锐角三角形.【答案】证明见解析【分析】由余弦定理求得，即可判断△的最大角为，由大小关系即可证结论.【详解】由题设，，可得.∴，易知：最大角为，又，∴,△为锐角三角形.3.如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案，包括：（1）指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中）；（2）用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【分析】（1）需要测量的数据有到的的俯角，到的的俯角，之间的距离，得到答案.（2）根据正弦定理得到，，再根据余弦定理得到答案.（1）需要测量的数据：到的的俯角，到的的俯角，之间的距离.（2）第一步：计算中，根据正弦定理：，故.第二步：计算中，根据正弦定理：，故.第三步：计算中，根据余弦定理：，即.4.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1