数学人教A版高中必修二（2019新编）6-7平面向量加、减运算的坐标表示（学案）

第07讲平面向量的加、减运算的坐标表示目标导航目标导航课程标准课标解读1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共线．2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法减法.通过本节课的学习，要求会利用坐标来表示平面向量的加、减运算.知识精讲知识精讲知识点平面向量运算的坐标运算运算坐标表示和（差）已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）．【微点拨】进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．【即学即练1】已知向量，，则向量（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的坐标运算法则求解.【详解】因为向量，，所以故选：A.【即学即练2】已知，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量减法法则计算．【详解】故选：A.【即学即练3】若，，，，且，则实数x，y的值分别是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】先利用向量减法的坐标运算计算，再利用，即得解【详解】由题意，，又故选：C【即学即练4】若，，，则=（）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】根据向量的加减运算求解.【详解】∵∴故选：A.【即学即练5】已知，点的坐标为，是的相等向量，则点的坐标为__．【答案】【分析】由题设，易知的坐标，根据向量线性运算的坐标表示及向量相等求，即可写出的坐标.【详解】由题意，得：，∴,,,．故答案为：．【即学即练6】设向量，，，若，，可组成一个三角形，则t=______.【答案】3【分析】根据可组成一个三角形即可得出，然后即可求出的值．【详解】解：因为，，，且，，可组成一个三角形，．故答案为：3．【即学即练7】已知向量的坐标分别是-1,2、3,-5，求a+b，a【答案】a+b【解析】由向量加法和减法的坐标运算可求得结果.【详解】?a=-1,2，b=3,-5【点睛】本题考查向量加法与减法的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.【即学即练8】设a=(2,-7)，b=(x,y)，c=(3,5)，若a+b【答案】QUOTE{x=1y=12【解析】【分析】利用向量坐标的线性运算可得QUOTE{x+2=3y-7=5，求解即可.【详解】由题设，(2,-7)+(x,y)=(3,5)，∴QUOTE{x+2=3y-7=5，解得QUOTE{x=1y=12.能力拓展能力拓展考法01在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算（直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差已知A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2–x1，y2–y1）．已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–y2）【典例1】如图，在▱ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3)【答案】（－3，－5）【解析】根据已知BC=AC-AB，可得【详解】BC=BD=故答案为:(-3,-5).【点睛】本题考查向量的线性关系、向量的坐标运算，属于基础题.【典例2】在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点是A(3，2)，B-3,1，C1,-1，D是BC的中点，求【答案】-4,-2【解析】【分析】根据中点坐标公式求出点D的坐标，从而可求出向量AD的坐标．【详解】因为B-3,1，C1,-1，所以又因为A(3，2)，所以AD=故答案为：-4,-2.【典例3】已知作用在原点的三个力F1=1,2，F【答案】-2,1【解析】【分析】根据向量的几何意义和力的合成，只需将三个力的坐标相加，即可得到它们的合力．【详解】解：根据力的合成的意义，可知F=故合力的坐标为-2,1．【典例4】已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量，试求AC和BD的坐标．【答案】(4,3)，(-4,3)【解析】【分析】由题得AC=4i+3j，即得AC的坐标.再根据BD=BA【详解】由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴．∵AB=4，AD=3，∴AC=4i+3j∴AC=(4,3)∵BD=∴BD=-4i+3j，∴BD【点睛】本题主要考查平面向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.分层提分分层提分题组A基础过关练1．已知､分别是方向与x轴正方向､y轴正方向相同的单位向量，O为坐标原点，设，则点A位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由向量的正交分解可得点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.【详解】由题意得：，位于第四象限故选：D.2.已知点A（0，1），B（3，2），向量，则向量等于（）A．（－7，－4） B．（7，4）C．（－1，4） D．（1，4）【答案】A【分析】首先设，根据得到，再求的坐标即可.【详解】设，则所以，，即.所以.故选：A3.已知平行四边形ABCD的三个顶点，，的坐标分别是,,,，则向量的坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题设知，由向量的线性关系知、、，应用线性运算的坐标表示，即可求的坐标.【详解】平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是,,,，∴，,,,，,,,．,,,．故选：B．4.已知，，则等于（）A．(－2，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)【答案】D【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，而，所以有，故选：D5.在平面直角坐标系中，已知两点A(cos80°，sin80°)，B(cos20°，sin20°)，则的值是（）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由坐标知，利用模长公式求得模长，结合三角函数两角差的余弦公式求得结果.【详解】由A，B坐标知，，则故选：D6.若向量，，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量加法的坐标运算计算．【详解】．故选：A．7.已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A、B、C、D为顶点的凸四边形是（）A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．不能构成平行四边形【答案】B【分析】由向量的坐标公式和向量共线定理即可得出结果.【详解】∵＝(－4，3)，＝(8，0)，＝(4，－3)，＝(－8，0)，∴，∴四边形ABCD为平行四边形．故选：B8.在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（）A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)【答案】A【分析】利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.【详解】在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.故选:A.9.在中，，，则（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】可得，即可求出，得出模.【详解】，，，,，即，.故选：A.10.已知向量，，若，则实数的值为（）A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】C【分析】可求出，从而可得出，解出的值即可.【详解】由题意，向量，，所以，可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示及运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算法则是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于容易题.11.已知，，若，则点的坐标为（）A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）【答案】C【分析】设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解.【详解】设点的坐标为，则，，因为，即，所以，解得，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及平面向量的坐标运算，其中解答中熟记平面向量的坐标表示及运算是解答的关键，着重考查运算能力.12.若向量，则＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的加减运算可得，代入点的坐标可得结果.【详解】由题，故选C【点睛】本题考查了向量的坐标运算，熟悉向量的加减法是解题的关键，属于基础题.13.已知中，，，若，则的坐标为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，，可得；由可得M为BC中点，即可求得的坐标，进而利用即可求解．【详解】因为，所以因为，即M为BC中点所以所以所以选A【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．14.已知点A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),则四边形ABCD是()A．梯形 B．矩形C．菱形 D．正方形【答案】B【详解】由已知得=(3,-2),=(4,6),=(-3,2),所以,且=0,即,所以四边形ABCD是矩形.15.设、、、、是平面上给定的5个不同点，则使成立的点M的个数为（）A．0个 B．1个 C．5个 D．10个【答案】B【分析】根据题意设出点M及5个已知点的坐标，把M的坐标用已知5个点的坐标表示出，进而判断解的个数即可得解.【详解】建立适当的直角坐标系，设，、、、、的坐标依次为，则，因，则，于是有，即，且，所以，且，只有一组解，所以符合条件的点M只有一个.故选：B题组B能力提升练1.（多选题）在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.【详解】解：设第四个顶点为．对于A选项，当点的坐标为时，，，，．∵，，∴四边形不是平行四边形．A不正确；对于B选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，B正确；对于C选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，C正确；对于D选项，当点坐标为时，因为，即且，故是平行四边形，D正确；故选：BCD．2.(多选题)下列各式不正确的是（）A．若，，则B．若，，则C．若，，则D．若，，则【答案】ACD【分析】由向量加、减法的坐标运算逐项排除可得答案．【详解】对于A，若，，则，错误；对于B，若，，则，正确；对于C，若，，则，错误；对于D，若，，则，错误.故选：ACD.3.（多选题）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.【详解】第四个顶点为，当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个顶点的坐标为；当时，，解得，此时第四个项点的坐标为．∴第四个顶点的坐标为或或．故选:ABC.【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.4.设向量满足，且与的方向相反，则的坐标为_______．【答案】【分析】根据给定条件可得是的相反向量，由此即可求得坐标.【详解】因向量与的方向相反，且，则是的相反向量，所以.答案：C培优拔尖练1.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB,【答案】AB=(2,0)；AC=(1,3)；【解析】【分析】根据给定条件求出正△ABC各顶点坐标，再利用坐标表示向量即可得解.【详解】由所给图形，正△ABC的边长为2，则顶点A(0,0),B(2,0),C(1,3)，线段AC中点所以AB=(2,0)，AC=(1,3)，2.设A，B，C，D为平面内的四点，已知A(3，l)，B(-2,2)，且AB=(1)若C点坐标为(-1,4)，求D点坐标；(2)原点为O，OP=AB，求【答案】(1)D(-6,5)(2)P(-5,1)【解析】【分析】应用已知坐标表示出AB，再设D(x,y)、P(a,b)，结合题设写出CD、OP的坐标，最后根据向量相等求参数值，即可写出D、P坐标；(1)由题设，AB=(-5,1)，若D(x,y)，则CD∴(-5,1)=(x+1,y-4)，即QUOTE{x+1=-5y-4=1，可得QUOTE{x=-6y=5，∴D(-6,5).(2)若P(a,b)，则OP=(a,b)，又OP∴(-5,1)=(a,b)，即QUOTE{a=-5b=1，∴P(-5,1)3.在直角坐标系中，O为原点，A(-3,-4),B(5,-12)，且O､A､B是一个平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标.【答案】8,-8、2,-16、-8,8【解析】【分析】分情况讨论，根据向量相等即可求解.【详解】设第四个顶点Cx,y，若OABC则AO=BC，即即x-5=3y+12=4，解得x=8y=-8，此时若OACB为平行四边形，则AO=CB，即即5-x=3-12-y=4，解得x=2y=-16，此时若OCAB为平行四边形，则CO=AB，即-x,-y=故第四个顶点坐标为8,-8、2,-16、-8,8.4.在ΔABC中,D是BC边的中点,已知A(1,1),AB=(-1,-3),CD=(3,5)【答案】(-6,-12)【解析】根据向量关系表示出AC=【详解】设O为坐标原点,∵AC=∴OC-∴OC=即点C的坐标为(-6,-12).【点睛】此题考查根据