中职数学拓展模块（高教版）4.4平面与平面的位置关系

4.4平面与平面的位置关系情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业观察你所在教室的六个面,想一想,任两个平面之间有几种位置关系？典型例题巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知一般地,当两个平面有一条公共直线时,称两个平面相交;当两个平面没有公共点时,称两个平面平行.

观察发现,两个平面之间的位置关系有两种:相交和平行.事实上,根据公理3可知,当两个平面有一个公共点时,这两个平面相交于一条直线.典型例题巩固练习归纳总结布置作业情境导入探索新知如图(1)所示,平面α与平面β相交于直线l,记作α∩β=l.如图(2)所示,平面α与平面β平行,记作α∥β,此时α∩β=画两个平面平行时,要使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.两平面平行4.4.1情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业观察教室,可以直观感受到教室的天花板和地面所在平面是平行的.考虑到平面的无限展性,直接判断这两个平面是否有公共点是很难实现的.那么,如何判断两个平面是平行的呢？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

可以设想,如果一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.那么这两个平面平行,但要判定所有直线都与平面平行也是比较困难的,考虑到两条相交直线可以确定一个平面,是否可以通过平面内的两条相交直线与另一个平面平行来判定两个平面平行呢？

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业如图(1)所示,如果m⊆β,n⊆β,且m∩n=P,m∥α,n∥α,是否有β∥α呢？如图(2)所示,假设平面β与α不平行,设α∩β=AB,则由m∥α可知m∥AB.同理可得,n//AB.根据直线平行的传递性,得m∥n

,这与已知条件m∩m=P矛盾,所以β∥α.

于是有以下结论：两个平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行.例1

证明:如果一个平面内有两条相交直线分别平行与另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面互相平行.证明情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题已知:m∩n=P,m⊆α,n⊆α,m'⊆β,n'⊆β,

且m∥m',n∥n',如图所示.

求证:α∥β.因为m∥m',m'⊆β,m⊈β,所以m∥β.同理可证,

n∥β.

又m⊆α,n⊆α,m∩m=P，根据两个平面平行的判定定理可知α∥β.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题既然可以用直线与平面平行、直线与直线平行判定平面与平面平行,那么能否利用平面与平面的平行来判定直线与平面平行、直线与直线平行呢？如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.也就是说,如果α∥β,l⊆α,那么l∥β.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业两个平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么两条交线互相平行.

已知:α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n,如图所示.求证:m∥n.因为m⊆γ,n⊆γ,所以m、n共面.

又因为α∥β,m⊆α,n⊆β,

所以m、n没有公共点,因此m∥n.证明例2证明：如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直，那么它也与另一个平面垂直.

已知:α//β,l⊥α,如图所示.

求证:l⊥β.证明情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题

过直线l分别作平面γ、φ,

使γ∩α=m,γ∩β=m',φ∩α=n,φ∩β=n'.由α//β,得m//m',n//n'.

因为l⊥α,所以l⊥m,l⊥n,则l⊥m',l⊥n'.

显然,m'与n'是β内的相交直线.故l⊥β.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习1.

在底面为矩形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面AD1与平面A1C1的位置关系是

,平面AB1与平面DC1的位置关系是

.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习2.

判断下列命题的真假.(1)如果平面α与β没有公共点,那么α∥β；

(2)在图中所示的三棱锥中,若A'C'∥AC,则平面A'B'C'∥平面ABC；(3)如果m⊆α,n⊆α,且m∥β,n∥β,那么α∥β；

(4)如果m⊆α,n⊆β,且α∥β,那么m∥n；(5)如果α∥β,β∥γ,那么α∥γ.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习3.

在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是A1B1、AB、AD、A1D1的中点,求证:平面EFGH∥平面BB1D1D.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习4.

已知平面α∥β,ΔABC在β内,

AB、AC分别与平面α相交于D、E两点,如图所示,求证：情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习5.

工程人员具有一丝不苟、精益求精的工匠精神是工程质量的基本保障.为检验所铺设的地板是否达到水平要求,工程人员将水平仪(如图)分两次交叉放置在地板上,如果气泡两次都在正中间,则说明地板与水平面平行,达到要求.你知道其中的原理吗？二面角4.4.2情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业打开笔记本计算机时,显示屏的开合程度不同,键盘与屏幕所在平面的相对位置就不同,如图所示.怎样来描述这种不同呢？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业观察可知,显示屏的开合程度可以用角度来描述.

平面内的一条直线把这个平面分成两部分,其中的每一部分都称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业根据二面角的不同摆放位置,常常把二面角画成图所示图形.当二面角的棱为l,两个面分别为α、β时,二面角记为α-l-β.图(4)所示的二面角也可记为A-BD-C.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

如图,平面角∠AOB的大小就是二面角α-l-β的大小.

如图所示,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,分别在两个面内作垂直于校的射线OA、OB,射线

OA、OB

所成的最小正角称为这个二面角的平面角.

可以用二面角的平面角的大小度量二面角的大小.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业规定,当二面角的两个半平面重合时,二面角为零角;当二面角的两个半平面构成一个面时,二面角为平角.于是,二面角的取值范围是[0,π].当二面角的平面角为直角时,称为直二面角.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例3

已知二面角α-l-β是锐角,其面α内一点A到棱l的距离为2,到面的距离为l,求这个二面角的大小.解如图所示,过点A作AB⊥l,垂足为B;

再作AC⊥β,垂足为C,连接.

由题意可知AB=2,AC=1.因为AC⊥β,l⊆β,所以AC⊥l,又因为AB⊥l,AB交AC于点A,所以l⊥平面ABC.

又因为

BC⊆平面ABC,所以l⊥BC,从而∠ABC

是二面角α-l-β的一个平面角.

因为AB=2，AC=1，ΔACB是直角三角形，所以

因此,二面角α-l-β的大小是

情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例4

求证:如果一个平面γ垂直于二面角α-l-β的棱l,O为垂

足,且与两半平面的交线分别为

OA、OB,如图所示.那么∠AOB

是二面角α-l-β的平面角

.

证明因为γ∩α=OA,γ∩α=OB,所以OA⊆γ,OB⊆γ.

又因为l⊥γ,所以l⊥OA,l⊥OB.

因此,∠AOB

是二面角α-l-β的一个平面角.

例4中,垂直于棱l的平面,与二面角α-l-β的交线

OA、OB构成了二面角的平面角∠AOB,这又为我们提供了一种寻找二面角的平面角的方法.我们己经知道了两条直线所成的角和直线与平面所成的角的定义,那么,两个平面所成的角怎样定义呢？情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

在两个相交平面形成的四个二面角中,至少有一个不大于,这个二面角称为两个相交平面所成的角.

于是,两个相交平面所成角的范围是

这样的角有两个.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题例5

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面

AB1C1D与平面ABCD

所成的角的大小.解因为正方体ABCD-A1B1C1D1的各个面均是正方形,所以

AD⊥AA1,AD⊥AB.

又因为

AA1与AB

相交,所以AD⊥平面AA1B1B.

因为AB1⊆平面AA1B1B,所以

AD⊥AB1,从而∠B1AB是二面角B1-AD-B的一个平面角.

因为AB1是正方形

AA1B1B的对角线,所以∠B1AB=因此,平面AB1C1D与平面ABCD所成的角的大小是情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习1.

己知二面角α-l-β,C∈α,D∈β,AC⊥AB,AD⊥AB,垂足均为A,则二面角α-AB-β的平面角是

.

2.

已知正方体

ABCD-A1B1C1D1,试找出二面角A1-BD-A

与二面角A1-BD-C

的一个平面角,并分析二者之间的大小关系.

情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习3.判断下列说法是否正确.（1）两个相交平面所成的角的取值范围是而二面角的取值范围是[0,π]；

（2）在正方体

ABCD-A1B1C1D1中,∠D1AB1是二面角D1-AA1-B1的平面角；

（3）分别在二面角的两个面内取一条直线,使两条直线相交,则相交直线所成的角是二面角的平面角.

情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习4.

己知等腰ΔABC的腰长为5cm,底边长为8cm.现沿着底边上的高AD

对折,折后求二面角B-AD-C的大小.5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1-CD-A的大小.情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题练习5.

我国水利建设具有悠久的历史,尤其中华人民共和国成立后,修建了许多水车,在防洪、用水、供电、灌溉等方面发挥了巨大作用.如图所示,某水库大坝高85m,斜坡面与水平面成45°角,则斜坡面有多长？两平面垂直4.4.3情境导入探索新知典型例题巩固练习归纳总结布置作业观察教室,可以直观感受到教室的墙面和底面是相互垂直的.如何检验这一结论的正确性呢？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

当两个平面所成的角是时,称这两个平面互相垂直.此时两个平面相交形成的四个二面角都是.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.

情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业

要检验墙面和地面所成的二面角是否为直二面角,可以作出它们构成的二面角的平面角,并测量其大小是否为除此之外,还有什么方法呢？情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业我们知道,利用直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直.类似地,也可以利用直线与平面垂直来判定平面与平面垂直.

如图所示,直线

AB⊥平面β,垂足为

B,AB⊆平面α.

设α∩β=CD,则B∈CD.在β内过点B作BE⊥CD.

由

AB⊥β可知AB

⊥

CD,AB⊥BE.

于是,∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,且∠ABE是直角.因此,α与β所成的角是,即α⊥β.

两个平面垂直的判定定理

如果一个平面经过另一个平面的条垂线,那么这两个平面互相垂直.例6

如图所示,己知∠ACB=90°,P是平面ABC

外一点,且

PA⊥平面ABC,求证:平面PAC⊥平面PBC.

情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题证明

因为∠ACB=90°,所以

AC⊥BC.

因为PA⊥平面ABC,BC⊆平面ABC,所以PA⊥BC.

因为PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.

因为BC⊆平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.

利用直线与平面的垂直可以判定平面与平面垂直.反过来,也可以借助于两个平面的垂直来判定直线与平面垂直.情境导入典型例题巩固练习探索新知归纳总结布置作业两平面垂直的性质定理

如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面

.已知:α⊥β,α∩β=CD,AB⊆α,AB⊥CD,垂足为B,如图所示.求证:AB⊥β.

证明在平面β内过点B作BE⊥CD,则由AB⊥CD可知∠ABE是二面角α-CD-β的平面角.

因为α⊥β,所以∠ABE=

即

AB⊥BE.

则AB

与两条相交直线

BE、CD

都垂直,故AB⊥β.

例7

己知平面α⊥平面β,点A∈α,且AB⊥β,垂足是B.求证:AB

⊆α.

情境导入巩固练习归纳总结布置作业探索新知典型例题证明