《2.1 等式性质与不等式性质》同步练习及答案（共五套）

《2.1等式性质与不等式性质》分层同步练习（一）基础巩固1．据天气预报可知明天白天的最高温度为13℃,则明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关系是______A．t≤13℃B．t＜13℃C．t＝13℃D．t＞13℃2.已知，则下列不等式成立的是()A． B． C． D．3．设为实数，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．4．已知，记，则M与N的大小关系是()A． B． C． D．不能确定5．已知突数，则_____，_____(用>，<填空).6．设，则的大小顺序是______．7.已知，则的取值范围为_____．8．比较大小：(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2.能力提升9.已知，则的大小关系是（）A． B．C． D．10．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为__________．11．已知，均为正实数，求证：.素养达成12.“绿水青山就是金山银山”。随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭。一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）。假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.（Ⅰ）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格；（Ⅱ）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.【答案解析】基础巩固1．据天气预报可知明天白天的最高温度为13℃,则明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关系是______A．t≤13℃B．t＜13℃C．t＝13℃D．t＞13℃【答案】A【解析】∵明天白天的最高温度为13℃,∴明天白天的气温t与13℃之间存在的不等关系是t≤13℃故选：A2.已知，则下列不等式成立的是()A． B． C． D．【答案】D【解析】A.，取，不满足，排除B.，取，不满足，排除C.，当时，不满足，排除D.，不等式两边同时除以不为0的正数，成立故答案选D3．设为实数，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，故错；当时，，故错；当时，，故错，故选C。4．已知，记，则M与N的大小关系是()A． B． C． D．不能确定【答案】B【解析】由题意可得M-N====，∵，b∈（0，1），∴（b-1）∈（-1，0），（-1）∈（-1，0），∴（b-1）（-1）＞0，∴M＞N故选B.5．已知突数，则_____，_____(用>，<填空).【答案】<<【解析】∵，∴，∴，∴．，∴．故答案为＜；＜．6．设，则的大小顺序是______．【答案】【解析】∵，∴，，而，，，∴，∴，故答案为：．7.已知，则的取值范围为_____．【答案】【解析】∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]8．比较大小：(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2.【答案】见解析【解析】(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36)＝－1<0，所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2.能力提升9.已知，则的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，所以，又，所以，，易得，因此，，故选：D.10．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：（1）高一学生人数多于高二学生人数；（2）高二学生人数多于高三学生人数；（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为__________．【答案】18【解析】设高二学生人数为x，高三学生人数为y，则y由②可知，y≥结合①可知，4≤x≤6，取法6,3,逐一代入②验证，可得只有6,5满足，∴x=6,y=5该志愿者服务队总人数为7+6+5=18人，故答案为18.11．已知，均为正实数，求证：.【答案】见证明【解析】解：方法一：因为，均为正实数，所以由基本不等式可得，，两式相加，得，所以.方法二：.所以.素养达成12.“绿水青山就是金山银山”。随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2018年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭。一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）。假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.（Ⅰ）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格；（Ⅱ）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）甲两周购买鸡蛋的平均价格为，乙两周购买鸡蛋的平均价格为，（Ⅱ）甲两周购买鸡蛋的平均价格为，乙两周购买鸡蛋的平均价格为，由（Ⅰ）知，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠。证法一（比较法）：依题意，且，，，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠。证法二（分析法）：依题意，且，要证：，只需证：只需证：只需证：（已知）。所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠。《2.1等式性质与不等式性质》分层同步练习（二）巩固基础1．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论中不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|2．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是()A．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．a＋eq\f(1,a)≥b＋eq\f(1,b)C．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) D．b－eq\f(1,b)>a－eq\f(1,a)3．下列说法正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<bC．若b>c，则|a|b≥|a|cD．若a>b，c>d，则a－c>b－d4．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是()A．y1<y2 B．y1＝y2C．y1>y2 D．随x值变化而变化5．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．6．已知三个不等式①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．7．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．8．已知1<α<3，－4<β<2，若z＝eq\f(1,2)α－β，则z的取值范围是________．9.已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求证：ab>0.10．已知－2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围．(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.综合应用11．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．ab>bc B．ac>bcC．ab>ac D．a|b|>c|b|12．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则()A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜013．实数a，b，c，d满足下列三个条件：①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d<b＋c.则将a，b，c，d按照从小到大的次序排列为________．14．已知|a|<1，则eq\f(1,1＋a)与1－a的大小关系为________．15．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．16．已知0<a<b且a＋b＝1，试比较：(1)a2＋b2与b的大小；(2)2ab与eq\f(1,2)的大小．17．已知1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围．18．建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件就越好，试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．【参考答案】1.D解析：∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，∴b<a<0，∴b2>a2，ab<b2，a＋b<0，∴A、B、C均正确，∵b<a<0，∴|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误．2.A解析：因为a>b>0，所以eq\f(1,b)>eq\f(1,a)>0，所以a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故选A.3.C解析A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．4.C解析y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以y1>y2.故选C.5.8(x＋19)>22008x>9(x－12)解析：①原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2200km”，写成不等式为8(x＋19)>2200.②若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，写成不等式为8x>9(x－12)．6.3解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得eq\f(bc－ad,ab)>0，又由③得bc－ad>0.所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．7.eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)解析：∵eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0，∴eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).8.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(z\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<z<\f(11,2)))))解析：∵1<α<3，∴eq\f(1,2)<eq\f(1,2)α<eq\f(3,2)，又－4<β<2，∴－2<－β<4.∴－eq\f(3,2)<eq\f(1,2)α－β<eq\f(11,2)，即－eq\f(3,2)<z<eq\f(11,2).9.证明：∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10.解：(1)|a|∈[0，3]．(2)－1<a＋b<5.(3)依题意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6，①由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①＋②得，－10<2a－3b≤3.11.C解析：选C.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零．由b>c，a>0知，ab>ac.12.D解析：由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.a<c<d<b解析：由②得a＝c＋d－b代入③得c＋d－b＋d<b＋c，∴c<d<b.由②得b＝c＋d－a代入③得a＋d<c＋d－a＋c，∴a<c.∴a<c<d<b.14.eq\f(1,1＋a)≥1－a解析：由|a|<1，得－1<a<1.∴1＋a>0,1－a>0.即eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2)∵0<1－a2≤1，∴eq\f(1,1－a2)≥1，∴eq\f(1,1＋a)≥1－a.15.解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.16.解：(1)因为0<a<b且a＋b＝1，所以0<a<eq\f(1,2)<b，则a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)<0，所以a2＋b2<b.(2)因为2ab－eq\f(1,2)＝2a(1－a)－eq\f(1,2)＝－2a2＋2a－eq\f(1,2)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－a＋\f(1,4)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)<0，所以2ab<eq\f(1,2).17.解：令4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,－m＋n＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1.))又∵1≤a－b≤2，∴3≤3(a－b)≤6，又∵2≤a＋b≤4，∴5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，即5≤4a－2b≤10.故4a－2b的取值范围为5≤4a－2b≤10.18.解：设住宅窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求a<b，且eq\f(a,b)≥10%.由于eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(mb－a,bb＋m)>0，于是eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).又eq\f(a,b)≥10%，因此eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)≥10%.所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．《2.1等式性质与不等式性质》同步练习（三）第1课时不等关系与不等式[合格基础练]一、选择题1．下列说法正确的是()A．某人月收入x不高于2000元可表示为“x＜2000”．B．小明的身高xcm，小华的身高ycm，则小明比小华矮表示为“x＞y”．C．某变量x至少是a可表示为“x≥a”．D．某变量y不超过a可表示为“y≥a”．C[对于A，x应满足x≤2000，故A错；对于B，x，y应满足x＜y，故B不正确；C正确；对于D，y与a的关系可表示为y≤a，故D错误．]2．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则()A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤bC[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.]3．若a≠2且b≠－1，则M＝a2＋b2－4a＋2bA．M＞－5 B．M＜－5C．M＝－5 D．不能确定A[M＝(a－2)2＋(b＋1)2－5＞－5.故选A.]4．b克糖水中有a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为()A.eq\f(a＋m,b＋m)＜eq\f(a,b) B.eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)C.eq\f(a－m,b－m)＜eq\f(a,b) D.eq\f(a－m,b－m)＞eq\f(a,b)B[糖水变甜了，说明糖水中糖的浓度增加了，故eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).]5．已知c＞1，且x＝eq\r(c＋1)－eq\r(c)，y＝eq\r(c)－eq\r(c－1)，则x，y之间的大小关系是()A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定C[用作商法比较，由题意x，y＞0，∵eq\f(x,y)＝eq\f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝eq\f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))＜1，∴x＜y.]二、填空题6．已知a，b为实数，则(a＋3)(a－5)________(a＋2)(a－4)．(填“>”“<”或“＝”)<[因为(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0，所以(a＋3)(a－5)<(a＋2)(7．一辆汽车原来每天行驶xkm，如果该汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程将超过2200km，用不等式表示为________．8(x＋19)>2200[因为该汽车每天行驶的路程比原来多19km，所以汽车每天行驶的路程为(x＋19)km，则在8天内它的行程为8(x＋19)km，因此，不等关系“在8天内它的行程将超过2200km”可以用不等式8(x＋19)>2200来表示．]8．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．m3>m2－m＋1[∵m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)(m2＋1)．又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0.]三、解答题9．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下表：效果方式种类轮船运输量/t飞机运输量/t粮食300150石油250100现在要在一天内至少运输2000t粮食和1500t石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．[解]设需要安排x艘轮船和y架飞机．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000，,250x＋100y≥1500，,x∈N，,y∈N，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40，,5x＋2y≥30，,x∈N，,y∈N.))10．x∈R且x≠－1，比较eq\f(1,1＋x)与1－x的大小．[解]∵eq\f(1,1＋x)－(1－x)＝eq\f(1－1－x2,1＋x)＝eq\f(x2,1＋x)，当x＝0时，eq\f(1,1＋x)＝1－x；当1＋x＜0，即x＜－1时，eq\f(x2,1＋x)＜0，∴eq\f(1,1＋x)＜1－x；当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，eq\f(x2,1＋x)＞0，∴eq\f(1,1＋x)＞1－x.[等级过关练]1．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A、B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车()A．11辆 B．10辆C．9辆 D．8辆B[设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x＋3)辆，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＜56，,6x＞56，,4x＋3＜56，,5x＋3＞56.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜11\f(1,5),x＞9\f(1,3),x＜11,x＞8\f(1,5).))∴9eq\f(1,3)＜x＜11.而x为正整数，故x＝10.]2．将一根长5m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为xm，若两段绳子长度之差不小于1m，则x所满足的不等关系为()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－5≥1,0＜x＜5))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－2x≥1,0＜x＜5))C．2x－5≥1或5－2x≥1D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1,0＜x＜5))D[由题意，可知另一段绳子的长度为(5－x)m，因为两段绳子的长度之差不小于1m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－5－x|≥1，,0＜x＜5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－5|≥1，,0＜x＜5.))]3．一个棱长为2的正方体的上底面有一点A，下底面有一点B，则A、B两点间的距离d满足的不等式为________．2≤d≤2eq\r(3)[最短距离是棱长2，最长距离是正方体的体对角线长2eq\r(3).故2≤d≤2eq\r(3).]4．某公司有20名技术人员，计划开发A、B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类eq\f(1,2)7.5B类eq\f(1,3)6今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．20330[设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件，则eq\f(x,2)＋eq\f(50－x,3)≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以应开发A类电子器件20件，能使产值最高，为330万元．]5．甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走一半路程，用速度b行走另一半路程，若a≠b，试判断哪辆车先到达B地？[解]设A，B两地路程为2s，甲车走完A地到B地的路程所用时间为t1，则eq\f(t1,2)a＋eq\f(t1,2)b＝2s，t1＝eq\f(4s,a＋b)，乙车走完A地到B地的路程所用的时间为t2，则t2＝eq\f(s,a)＋eq\f(s,b).又t1－t2＝eq\f(4s,a＋b)－eq\f(s,a)－eq\f(s,b)＝eq\f(4sab－sba＋b－saa＋b,aba＋b)＝eq\f(－sa－b2,aba＋b)＜0(∵a≠b，a＞0，b＞0，s＞0)，∴t1＜t2，即甲车先到达B地．第2课时等式性质与不等式性质[合格基础练]一、选择题1．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，则－a＜－bB[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.]2．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a2>2b D．a>b2D[A错，例如a＝2，b＝－eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝－2，此时，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)；B错，例如a＝2，b＝eq\f(1,2)时，eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝2，此时，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；C错，例如a＝eq\f(5,4)，b＝eq\f(15,16)时，a2＝eq\f(25,16)，2b＝eq\f(30,16)，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．]3．已知a>b，则下列不等式：①a2>b2；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a).其中不成立的个数是()A．0B．1D[虽然已知a>b，但并不知道a、b的正负，如有2>－3，但22<(－3)2，故①错；2>－3⇒eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，②错；若有a＝1，b＝－2，则eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a)＝1，故③错．]4．若abcd<0，且a>0，b>c，d<0，则()A．b<0，c<0 B．b>0，c>0C．b>0，c<0 D．0<c<b或c<b<0D[由a>0，d<0，且abcd<0，知bc>0，又∵b>c，∴0<c<b或c<b<0.]5．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)＜eq\f(1,b) B．a2＞b2C.eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1) D．a|c|＞b|c|C[对A，若a＞0＞b，则eq\f(1,a)＞0，eq\f(1,b)＜0，此时eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，∴A不成立；对B，若a＝1，b＝－2，则a2＜b2，∴B不成立；对C，∵c2＋1≥1，且a＞b，∴eq\f(a,c2＋1)＞eq\f(b,c2＋1)恒成立，∴C正确；对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]二、填空题6．给出以下四个命题：①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)；④a＜b＜0⇒eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a).其中真命题的序号是________．②③[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故eq\f(1,a－b)＜eq\f(1,a)，④不成立．]7．设x＞1，－1＜y＜0，试将x，y，－y按从小到大的顺序排列如下：________.y＜－y＜x[∵－1＜y＜0，∴0＜－y＜1，∴y＜－y，又x＞1，∴y＜－y＜x.]8．若8<x<10,2<y<4，则eq\f(x,y)的取值范围是________．2<eq\f(x,y)<5[∵2<y<4，∴eq\f(1,4)<eq\f(1,y)<eq\f(1,2).∵8<x<10，∴2<eq\f(x,y)<5.]三、解答题9．(1)a<b<0，求证：eq\f(b,a)<eq\f(a,b)；(2)已知a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，求证：ab>0.[证明](1)由于eq\f(b,a)－eq\f(a,b)＝eq\f(b2－a2,ab)＝eq\f(b＋ab－a,ab)，∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0，∴eq\f(b＋ab－a,ab)<0，故eq\f(b,a)<eq\f(a,b).(2)∵eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)<0，即eq\f(b－a,ab)<0，而a>b，∴b－a<0，∴ab>0.10．已知：3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．(1)a；(2)a－b；(3)eq\f(a,b).[解](1)∵3＜a＋b＜4，又∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，∴2＜a＋b＋(－b)＜4，即2＜a＜4.(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.(3)∵0＜b＜1，∴eq\f(1,b)＞1，又∵2＜a＜4，∴eq\f(a,b)＞2.[等级过关练]1．a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，下列不等式恒成立的是()A．ac＞bc B．ab＞acC．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2B[∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴A不正确．对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确，若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]2．若α，β满足－eq\f(π,2)＜α＜β＜eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是()A．－π＜2α－β＜0 B．－π＜2α－β＜πC．－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2) D．0＜2α－β＜πC[∵－eq\f(π,2)＜α＜eq\f(π,2)，∴－π＜2α＜π.∵－eq\f(π,2)＜β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)＜－β＜eq\f(π,2)，∴－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(3π,2).又α－β＜0，α＜eq\f(π,2)，∴2α－β＜eq\f(π,2).故－eq\f(3π,2)＜2α－β＜eq\f(π,2).]3．已知－1≤x＋y≤4，且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________．3≤z≤8[∵z＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，－2≤－eq\f(1,2)(x＋y)≤eq\f(1,2)，5≤eq\f(5,2)(x－y)≤eq\f(15,2)，∴3≤－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)≤8，∴3≤z≤8.]4．设a，b为正实数，有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若eq\f(1,b)－eq\f(1,a)＝1，则a－b<1；③若|eq\r(a)－eq\r(b)|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．①④[对于①，由题意a，b为正实数，则a2－b2＝1⇒a－b＝eq\f(1,a＋b)⇒a－b>0⇒a>b>0，故a＋b>a－b>0.若a－b≥1，则eq\f(1,a＋b)≥1⇒a＋b≤1≤a－b，这与a＋b>a－b>0矛盾，故a－b<1成立．对于②，取特殊值，a＝3，b＝eq\f(3,4)，则a－b>1.对于③，取特殊值，a＝9，b＝4时，|a－b|>1.对于④，∵|a3－b3|＝1，a>0，b>0，∴a≠b，不妨设a>b>0.∴a2＋ab＋b2>a2－2ab＋b2>0，∴(a－b)(a2＋ab＋b2)>(a－b)(a－b)2.即a3－b3>(a－b)3>0，∴1＝|a3－b3|>(a－b)3>0，∴0<a－b<1，即|a－b|<1.因此正确．]5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件．(1)该函数图象过原点；(2)当x＝－1时，y的取值范围为大于等于1且小于等于2；(3)当x＝1时，y的取值范围为大于等于3且小于等于4；求当x＝－2时，y的取值范围．[解]∵二次函数y＝ax2＋bx＋c图象过原点，∴c＝0，∴y＝ax2＋bx.又∵当x＝－1时，1≤a－b≤2.①当x＝1时，3≤a＋b≤4，②∴当x＝－2时，y＝4a－2b设存在实数m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b而4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,m－n＝－2，))解之得m＝1，n＝3，∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b由①②可知3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，∴3＋3≤4a－2b即6≤4a－2b故当x＝－2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10.《2.1等式性质与不等式性质》同步练习（四）（第1课时）选择题1．下列说法正确的是(

)A.某人月收入不高于元可表示为""B.小明的身高,小华的身高,则小明比小华矮表示为""C.某变量至少是可表示为""D.某变量不超过可表示为""2．已知,记,,则与的大小关系是(

)A.B.C.D.不确定3.某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩高于85分，数学成绩不低于80分，用不等式组可以表示为． ． ． ．4．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为、、，则下列选项中能反映、、关系的是． ． ． ．5.若且,则的值与的大小关系是(

)A.B.C.D.6．某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：项目计算方法基础工资2016年1万元，以后每年逐增住房补贴按工龄计算：400元工龄医疗费每年1600元固定不变若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的，到2018年底这位职工的工龄至少是．2年 ．3年 ．4年 ．5年二、填空题7．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．8.一辆汽车原来每天行驶，如果该汽车每天行驶的路程比原来多，那么在8天内它的行程将超过，用不等式表示为．9．如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母的不等式表示出来__________10．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为元/斤、元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可）三、解答题11．有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？12．某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案,甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算?《2.1等式性质与不等式性质》同步练习（四）（第2课时）选择题1．若a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（）A． B． C． D．2．若，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．3．设，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．4．已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．5.已知实数满足且，则下列选项中不一定成立的是（）A． B． C． D．6已知实数，满足，，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题7．已知不等式：①a2b<b3；②1a>0>1b8．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．9．已知,,则的取值范围为__________.10．已知，则的取值范围为_____．三、解答题11．已知下列三个不等式：①ab>0；②ca>db以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？12．已知fx【答案解析（第1课时）】一、选择题1．下列说法正确的是(

)A.某人月收入不高于元可表示为""B.小明的身高,小华的身高,则小明比小华矮表示为""C.某变量至少是可表示为""D.某变量不超过可表示为""【答案】C【解析】对于应满足故错;对于应满足,故不正确;正确;对于与的关系可表示为,故错误.2．已知,记,,则与的大小关系是(

)A.B.C.D.不确定【答案】B【解析】由题意得,故.故选B3.某同学参加期末模拟考试，考后对自己的语文和数学成绩进行了如下估计：语文成绩高于85分，数学成绩不低于80分，用不等式组可以表示为． ．． ．【答案】A【解析】语文成绩高于85分，数学成绩不低于80分，，故选：．4．有一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为、、，则下列选项中能反映、、关系的是． ． ． ．【答案】C【解析】一家三口的年龄之和为65岁，设父亲、母亲和小孩的年龄分别为、、，，，．故选：．5.若且,则的值与的大小关系是(

)A.B.C.D.【答案】A【解析】,∵,∴,,因此.故.6．某公司从2016年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：项目计算方法基础工资2016年1万元，以后每年逐增住房补贴按工龄计算：400元工龄医疗费每年1600元固定不变若该公司某职工在2018年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的，到2018年底这位职工的工龄至少是．2年 ．3年 ．4年 ．5年【答案】C【解析】设这位职工工龄至少为年，则，即，即，所以至少为4年．故选：．二、填空题7．若x∈R，则eq\f(x,1＋x2)与eq\f(1,2)的大小关系为________．【答案】eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2)【解析】∵eq\f(x,1＋x2)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1－x2,21＋x2)＝eq\f(－x－12,21＋x2)≤0，∴eq\f(x,1＋x2)≤eq\f(1,2).8.一辆汽车原来每天行驶，如果该汽车每天行驶的路程比原来多，那么在8天内它的行程将超过，用不等式表示为．【答案】【解析】汽车原来每天行驶，该汽车每天行驶的路程比原来多，现在汽车行驶的路程为，则8天内它的行程为，若8天内它的行程将超过，则满足；故答案为：；9．如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系,并将这种关系用含字母的不等式表示出来__________【答案】【解析】(1)中面积显然比(2)大,又(1)的面积(2)的面积,所以有10．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为元/斤、元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）__________．（在横线上填甲或乙即可）【答案】乙【解析】由题意得甲购买产品的平均单价为，乙购买产品的平均单价为，由条件得．∵，∴，即乙的购买方式更优惠．三、解答题11．有一公园，原来是长方形布局，为美化市容，市规划局要对这个公园进行规划，将其改成正方形布局，但要求要么保持原面积不变，要么保持原周长不变，那么对这个公园选哪种布局方案可使其面积较大？【答案】见解析；【解析】设这个公园原来的长方形布局的长为a,宽为b(a>b).若保持原面积不变，则规划后的正方形布局的面积为ab;若保持周长不变，则规划后的正方形布局的周长为2(a+b)，所以其边长为,其面积为（）2.因为ab-（）2=ab-(a>b),所以ab<（）2.故保持原周长不变的布局方案可使公园的面积较大.12．某家庭准备利用假期到某地旅游,有甲、乙两家旅行社提供两种优惠方案,甲旅行社的方案是:如果户主买全票一张,其余人可享受五五折优惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集体票,可按七五折优惠.如果这两家旅行社的原价相同,请问该家庭选择哪家旅行社外出旅游合算?【答案】见解析；【解析】设该家庭除户主外,还有人参加旅游,甲、乙两旅行社收费总金额分别为,—张全票的票价为元,则只需按两家旅行社的优惠条件分别计算出,再比较的大小即可.∵,而.∴当时.;当时,.又为正整数,所以当时,,即两口之家应选择乙旅行社;当时,,即三口之家或多于三口的家庭应选择甲旅行社.【答案解析（第2课时）】一、选择题1．若a＞b，c＞d，下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意，因为，所以，即，又因为，所以，故选：A．2．若，则下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】C【解析】取代入，排除A、B、D，故选：C。3．设，则下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以当时，A,B不成立，当时，C不成立，综上选D.4．已知为非零实数，且，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，若，则，两边平方得到，故A不正确；对于B，若，则，，则，故B不正确；对于C，，由于为非零数，，则，，故，即，所以C正确。对于D，若，则，，，则，故D不正确；5.已知实数满足且，则下列选项中不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为且，故，所以，故A正确；又，故，故B正确；而，故，故C正确；当时，，当时，有，故不一定成立，综上，选D.6、已知实数，满足，，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，，,则又，因此，故本题选B.二、填空题7．已知不等式：①a2b<b3；②1a>0>1b【答案】2【解析】因为a>0>b且a2>b2，所以a>|b|>0，①a2b<b3化简后是a2>b8．已知a，b，x均为正数，且a＞b，则____（填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】<【解析】由题得，因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,所以所以.9．已知,,则的取值范围为__________.【答案】【解析】，而，根据不等式的性质可得，所以的取值范围为.10．已知，则的取值范围为_____．【答案】【解析】∵1≤a≤2，3≤b≤6，∴3≤3a≤6，﹣12≤﹣2b≤﹣6，由不等式运算的性质得﹣9≤3a﹣2b≤0，即3a﹣2b的取值范围为[﹣9，0].故答案为：[﹣9，0]三、解答题11．已知下列三个不等式：①ab>0；②ca>db以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可组成几个正确命题？【答案】可组成3个正确命题．【解析】（1）对②变形得ca由ab>0,bc>ad得②成立，即①③⇒②．（2）若ab>0,bc-adab>0，则bc>ad（3）若bc>ad，bc-adab>0，则综上所述，可组成3个正确命题．12．已知fx【答案】-【解析】由题意得f解得a=所以f3因为-4≤f因为-1≤f两式相加得-1≤f3≤《2.1等式性质与不等式性质》同步练习（五）一．选择题1．若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A、B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A<B或A>BD．A>B2．已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>－b，则c－a<c＋bC．若a>b，c<d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)D．若a2>b2，则－a<－b3．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0D．－1<α－β<14．有四个不等式：①|a|>|b|；②a<b；③a＋b<ab；④a3>b3．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则不正确的不等式的个数是()A．0