《1.4充分条件与必要条件》同步练习及答案（共五套）

《1.4充分条件与必要条件》分层同步练习（一）基础巩固1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的()A.充分不必要条件 B．充分必要条件C.必要不充分条件 D．非充分非必要条件2.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充要条件 D．既不充分也不必要条件3.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的().A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.无法判断4．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数A．x|-3C．x|x≤-5.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1aA.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6.已知p:x2+x-2>0,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.a<-2C.-2<a7.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的条件.

8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围是.

能力提升9．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a<0B．a>0C．a<－1D．a<110．设p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.0<a<eq\f(1,2) B．0≤a≤eq\f(1,2)C.0≤a<eq\f(1,2) D.0<a≤eq\f(1,2)11.已知p是r的充分条件而不是必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件②p是q的充分条件而不是必要条件③r是q的必要条件而不是充分条件④r是s的充分条件而不是必要条件则正确命题序号是.

12．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.素养达成13．已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案解析】基础巩固1.“x>3”是“不等式x2-2x>0”的()A.充分不必要条件 B．充分必要条件C.必要不充分条件 D．非充分非必要条件【答案】A【解析】当x>3,则x2-2x>0,充分性成立;当x2-2x>0时,则x<0或x>2,必要性不成立.故选A.2.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形,因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A.3.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的().A.充分条件B.必要条件C.既不充分也不必要条件D.无法判断【答案】B【解析】原命题的逆命题是“若q,则p”,它是真命题,即q⇒p,所以p是q的必要条件.4．若x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件，则实数A．x|-3C．x|x≤-【答案】D【解析】由x>2m2－3是－1<x<4的必要不充分条件得x|-1<x<4x|x>2m5.若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<1aA.充分不必要条件 B．必要不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当0<ab<1,a<0,b<0时,有b>1a;反过来,b<1a,当a<0时,有ab>1.所以“0<ab<1”是“b<6.已知p:x2+x-2>0,q:x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是()A.a<-2C.-2<a【答案】D【解析】由x2+x-2>0得x>1或x<-2,若q是p的充分不必要条件,则a≥1.故选D.7.若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的条件.

【答案】充分不必要【解析】当A∩B={4}时,m2=4,所以m=±2.所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.8.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围是.

【答案】x|x>2【解析】根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有x|-2<x<故有a>2.能力提升9．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a<0B．a>0C．a<－1D．a<1【答案】C【解析】一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是eq\f(1,a)<0，即a<0，则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选C．10．设p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.0<a<eq\f(1,2) B．0≤a≤eq\f(1,2)C.0≤a<eq\f(1,2) D.0<a≤eq\f(1,2)【答案】B【解析】∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<\f(1,2)，,a＋1≥1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1>1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).11.已知p是r的充分条件而不是必要条件,s是r的必要条件,q是r的充分条件,q是s的必要条件.现有下列命题:①s是q的充要条件②p是q的充分条件而不是必要条件③r是q的必要条件而不是充分条件④r是s的充分条件而不是必要条件则正确命题序号是.

【答案】①②【解析】由p是r的充分条件而不是必要条件,可得p⇒r,由s是r的必要条件可得r⇒s,由q是r的充分条件得q⇒r,由q是s的必要条件可得s⇒q,故可得推出关系如图所示:据此可判断命题①②正确.12．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【答案】见解析．【解析】(1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.素养达成13．已知p：关于x的方程4x2－2ax＋2a＋5＝0的解集至多有两个子集，q：1－m≤a≤1＋m，m>0.若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】见解析．【解析】∵q是p的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件．对于p，依题意，知Δ＝(－2a)2－4×4(2a＋5)＝4(a2－8a－20)≤0，∴－2≤a≤10.设P＝{a|－2≤a≤10}，Q＝{a|1－m≤a≤1＋m，m>0}，由题意知PQ，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m<－2，,1＋m≥10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,1－m≤－2，,1＋m＞10，))解得m≥9，∴实数m的取值范围是m|m《1.4充分条件与必要条件》分层同步练习（二）（第一课时）巩固基础1．“ab≠0”是“直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件2．a<0，b<0的一个必要条件为 ()A．a＋b<0 B．a－b>0C.eq\f(a,b)>1 D.eq\f(a,b)<－13．“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．既是充分条件，也是必要条件4．设a，b为实数，则“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1综合应用6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的 ()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>18．使x(y－2)＝0成立的一个充分条件是()A．x2＋(y－2)2＝0 B．(x－2)2＋y2＝0C．x2＋y2＝1 D．x＋y－2＝09．设a，b，c∈R，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac>bc”是“a>b”的充分条件C．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件10．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．11．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．12．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.【参考答案】1.C解析ab≠0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,b≠0))，此时直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交；又当ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交时，a≠0且b≠0.2.A解析a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.3.C解析∵－2<x<1D⇒/x>1或x<－1且x>1或x<－1D⇒/－2<x<1，∴“－2<x<1”是“x>1或x<－1”的既不充分条件，也不必要条件．4.A解析∵0<ab<1，∴a，b同号，且ab<1.∴当a>0，b>0时，a<eq\f(1,b)；当a<0，b<0时，b>eq\f(1,a).∴“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的充分条件．而取a＝－1，b＝1，显然有a<eq\f(1,b)，但不能推出0<ab<1，∴“0<ab<1”是“a<eq\f(1,b)或b>eq\f(1,a)”的充分而不必要条件．5.C解析∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0))⇔a<0，本题要求的是充分不必要条件．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故答案为C.6.A解析x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，但x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.故A正确．7.B解析对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．8．A【解析】因x2＋(y－2)2＝0⇔x＝0，且y＝2⇒x(y－2)＝0，故选A.9．C【解析】排除选项A，B，D项知，C项正确．10.a>2根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.11.解p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2,1＋m≤10))，解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．12.解依题意a>0.由条件p：|x－1|>a得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<eq\f(1,2)，或x>1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq\f(1,2).令a＝1，则p：x<0，或x>2，此时必有x<eq\f(1,2)，或x>1.即p⇒q，反之不成立．∴a＝1.《1.4充分条件与必要条件》分层同步练习（二）（第二课时）巩固基础1.设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.在下列三个结论中，正确的有()①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件.A.①② B.②③C.①③ D.①②③3．“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A.m＝－2 B.m＝2C.m＝－1 D.m＝16.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)7.已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}.(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要不充分条件.综合应用8．设x∈R，则“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.m>eq\f(1,4) B.0<m<1C.m>0 D.m>110．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11.设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是________.12.下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以为x2<1的充分条件的所有序号为________．13．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.14．设x，y∈R，求证：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.【参考答案】1.A解析a＝1时，N⊆M，但当a取-1时，也满足N⊆M。2.C解析②AB2＋BC2＝AC2，也能推出，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分不必要条件。A解析当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数．4.D解析可以从a、b同正、同负、一正一负分析。5.A解析二次函数对称轴计算考查6.充分不必要7.解由M∩P＝{x|5<x≤8}知，a≤8.(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件是－3≤a≤5.(2)M∩P＝{x|5<x≤8}的充分不必要条件，显然，a在[－3,5]中任取一个值都可以.(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5<x≤8}的必要不充分条件.故a<－3时为必要不充分条件.8.A解析解不等式后直接判断．不等式2x2＋x－1>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－1))))，故由x>eq\f(1,2)⇒2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D⇒/x>eq\f(1,2).9.C解析从Δ入手，Δ<0即可C解析A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件．11.(1)(4)解析：观察线路串并联情况12.②③④解析由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．13.证明充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0，综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.14.证明充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要条件．《1.4充分条件与必要条件》同步练习（三）[合格基础练]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件的是()A．－2≤x≤2 B．－2<x<0C．0<x≤2 D．1<x<3A[由x2<4得－2<x<2，必要不充分条件的x的范围真包含{x|－2<x<2}，故选A.]4．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；而x＝y⇒|x|＝|y|，故选B.]5．a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0C.eq\f(a,b)>1 D.eq\f(a,b)<－1A[a＋b<0a<0，b<0，而a<0，b<0⇒a＋b<0.故选A.]二、填空题6．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C必要不充分[由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C17．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的______条件．充要[因为a>0，b>0，所以a＋b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a＋b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．]8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．{a|a≤1}[p：x>1，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≤1.]三、解答题9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：(1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.[解]在(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件；在(2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；在(3)中，若a<b<0，则推不出eq\f(a,b)<1，反之若eq\f(a,b)<1，当b<0时，也推不出a<b，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．10．(1)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件？(2)是否存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件？[解](1)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件，则只要eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))⊆{x|x<－1或x>3}，即只需－eq\f(m,2)≤－1，所以m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的充分条件．(2)欲使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))，这是不可能的．故不存在实数m，使2x＋m<0是x＜－1或x>3的必要条件．[等级过关练]1．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么()A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件D．无法判断A[因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．]2．若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则()A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件B[由A∪B＝C知，x∈A⇒x∈C，x∈Cx∈A.所以x∈C是x∈A的必要不充分条件．]3．若p：x－3<0是q：2x－3<m的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．{m|m＞3}[由x－3<0得x<3，由2x－3<m得x<eq\f(1,2)(m＋3)，由p是q的充分不必要条件知{x|x<3}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)m＋3))))，所以eq\f(1,2)(m＋3)＞3，解得m＞3.]4．设p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤\f(1,2)))))[因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分条件，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1≥1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).]5．求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．[解]①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＞0，,－\f(1,a)＜0，,Δ＝1－4a≥0，))即0＜a≤eq\f(1,4).综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤eq\f(1,4).反之，若a≤eq\f(1,4)，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤eq\f(1,4).《1.4充分条件与必要条件》同步练习（四）一、选择题1．有以下四种说法,其中正确说法的个数为()(1)“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件;(2)“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件;(3)“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件;(4)“A∩B=B”是“A=⌀”的必要不充分条件.A．0B．1C．2D．32．实数a，b，c不全为0的等价条件是()A．实数a，b，c均不为0B．实数a，b，c中至多有一个为0C．实数a，b，c中至少有一个为0D．实数a，b，c中至少有一个不为03．设甲、乙、丙是三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么()A．丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件4．设，则“”是“，且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．集合的关系如图所示，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题7．设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是__________．8．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，则s是q的________条件，r是q的________条件，p是s的________条件．9．p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，那么p是q的______________条件．10．设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R”是“三、解答题11．设集合，，写出的一个充分不必要条件．12．证明:△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三条边).【答案解析】一、选择题1．有以下四种说法,其中正确说法的个数为()(1)“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件;(2)“a>b>0”是“a2>b2”的充要条件;(3)“x=3”是“x2-2x-3=0”的必要不充分条件;(4)“A∩B=B”是“A=⌀”的必要不充分条件.A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】若m是实数,则m可能是无理数,故(1)错误;a>b>0⇒x2-2x由A=∅,有A∩B=正确说法的个数为0，故选A.2．实数a，b，c不全为0的等价条件是()A．实数a，b，c均不为0B．实数a，b，c中至多有一个为0C．实数a，b，c中至少有一个为0D．实数a，b，c中至少有一个不为0【答案】D【解析】实数a，b，c不全为0等价于为a，b，c中至少有一个不为0，故选：D．3．设甲、乙、丙是三个条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么()A．丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件【答案】A【解析】由甲是乙的必要不充分条件，知甲不能推出乙，乙能推出甲，由丙是乙的充分不必要条件，知丙能推出乙，乙不能推出丙,所以，丙能推出甲，甲不能推出丙，即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件，故选A.4．设，则“”是“，且”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，且可得到，反之不成立，所以“”是“，且”的必要而不充分条件5．集合的关系如图所示，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由Venn图可知是的真子集，所以“”是“”的充分非必要条件，故选A．6．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以当时，成立，当时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件.二、填空题7．设计如图所示的四个电路图，条件p：“开关S闭合”；条件q：“灯泡L亮”，则p是q的充分不必要条件的电路图是__________．【答案】(1)(4)【解析】图(1)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，∴p⇒q，但q/⇒p，所以p是q的充分不必要条件．图(2)p⇔q，∴p是q的充要条件．图(3)开关S，S1与灯泡L串联，∴p/⇒q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．图(4)开关S闭合则灯泡L亮，反之，灯泡L亮不一定有开关S闭合，∴p⇒q，但q/⇒p，∴p是q的充分不必要条件．8．已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，则s是q的________条件，r是q的________条件，p是s的________条件．【答案】充分充分必要【解析】将题目条件借助于推出符号表示为s是q的充分条件，r是q的充分条件，p是s的必要条件．9．p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，那么p是q的______________条件．【答案】充分不必要【解析】∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根10．设集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，则“A∪B=R【答案】必要不充分【解析】∵集合A={x|x≤1}，当A∪B=R时，∵a≤当a=1时一定可以得到a∴“A∪B=R”是“故答案为：必要不充分条件三、解答题11．设集合，，写出的一个充分不必要条件．【答案】，，中之一即可．【解析】主要考查充要条件的概念及其判定方法。解：，等价于m=0，或=－3或=2，即，或，或，故的一个充分不必要条件是，，中之一即可。12．证明:△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三条边).【答案】见解析【解析】充分性:∵a2+b2+c2=ab+bc+ac,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=0,∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,即a=b=c,∴△ABC是等边三角形.必要性:∵△ABC是等边三角形,∴a=b=c,∴a2+b2+c2-ab-bc-ac=a2+b2+c2-a2-b2-c2=0,∴a2+b2+c2=ab+bc+ac.综上所述,△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a,b,c是△ABC的三条边).《1.4充分条件与必要条件》同步练习（五）一．选择题1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．“a＞0”是“|a|＞0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝14．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知p：x>1或x<－3，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)