《第一章 集合与常用逻辑用语》导学案

《第一章集合与常用逻辑用语》导学案《§1．1集合的概念》导学案一、导学目标1．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2．能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3．掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征．二、学习过程【知识点一】集合的概念1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．3．集合中元素的特征特征含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性集合中的元素无先后顺序之分4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．自我检测1：分析下列对象，能否构成集合，并说明理由？不等式的解；接近数0的数；方程的解；1,2,1；⑤坐标平面内第一象限内所有的点；【知识点二】元素与集合的表示及关系1．元素与集合的符号表示表示eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(元素：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.,集合：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.))2．元素与集合的关系关系语言描述记法示例a属于集合Aa是集合A中的元素若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉Aa不属于集合Aa不是集合A中的元素常见数集的及其记法：非负整数集（自然数集）：全体非负整数组成的集合，记作；正整数集：所有正整数的集合，记作；整数集：全体整数的集合，记作；有理数集：全体有理数的集合，记作；实数集：全体实数的集合，记作．自我检测2：填或②③④⑤⑥【知识点三】集合的表示1．列举法把集合中的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．自我检测3：选择恰当的方法表示下列集合①由大于3小于10的整数组成的集合___________________；②方程的实数解组成的集合______；题型一集合的概念【例1】下列对象能构成集合的是()A.高一年级全体较胖的学生B．sin30°，sin45°，cos60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点题型二元素与集合的关系【例2】填或N，0，3．7Z，Q，Q，R．题型三集合的表示【例3】试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)由大于10小于20的所有整数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)不等式的解集；(4)所有奇数组成的集合；(5)坐标平面内第一、三象限内所有点的集合；(6)一次函数的图象与二次函数的图象的交点组成的集合；(7)抛物线上的所有点组成的集合；(8)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8))的解集．题型四集合的辨别【例4】区分下列集合的含义（1）（2）（3）（4）（5）题型五集合的化简【例5】化简下列集合（1）可以简化表示为．（2）可以简化表示为．（3）集合可以简化表示为．（4）集合可以简化表示为．题型六集合元素的互异性【例6】含有三个元素的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，也可表示为集合{a2，a＋b,0}，求a，b的值．三、课后练习1．已知集合A中元素x满足－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)，且x∈N*，则必有()A．－1∈AB．0∈AC．eq\r(3)∈AD．1∈A2．下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}4．将集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5,2x－y＝1))))))用列举法表示，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{(3,2)}D．(2,3)5．若集合，集合，且，实数a=，b=．6．简化下列集合=．=．【参考答案】【自我检测1】能构成集合的有：①③⑤；能构成集合的有：②④【自我检测2】、、、、、【自我检测3】①；②【例1】D【例2】、、、、、【例3】试分别用描述法和列举法表示下列集合(1)由大于10小于20的所有整数组成的集合；(2)方程的所有实数根组成的集合；(3)不等式的解集；(4)所有奇数组成的集合；(5)坐标平面内第一、三象限内所有点的集合；(6)一次函数的图象与二次函数的图象的交点组成的集合；(7)抛物线上的所有点组成的集合；(8)方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8))的解集．【例4】略【例5】化简下列集合（1）．（2）可以简化表示为．（3）集合可以简化表示为．（4）集合可以简化表示为．【例6】含有三个元素的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))，也可表示为集合{a2，a＋b,0}，求a，b的值．【解析】∵eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(b,a)＋1＝a2＋a＋b＋0，,a·\f(b,a)·1＝a2·a＋b·0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝0.))由集合中元素的互异性，得a≠1.∴a＝－1，b＝0.1．已知集合A中元素x满足－eq\r(5)≤x≤eq\r(5)，且x∈N*，则必有()A．－1∈AB．0∈AC．eq\r(3)∈AD．1∈A解析：D2．下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}解析：C3．集合{x∈N*|x－3<2}的另一种表示法是()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5}D．{1,2,3,4,5}解析：B4．将集合eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5,2x－y＝1))))))用列举法表示，正确的是()A．{2,3}B．{(2,3)}C．{(3,2)}D．(2,3)解析：B5．若集合，集合，且，实数a=，b=．解析：，6．简化下列集合=．解析：=．解析：《§1．2集合间的基本关系》导学案一、导学目标1．在具体情境中，了解空集的含义．2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．二、学习过程（预习教材P7~P8，找出疑惑之处）复习1：用适当的符号填空.（1）0N；Q；-1.5R.（2）设集合，则1A；A.复习2：请用适当的方法表示下列集合.（1）2的倍数；4的倍数；（2）一元二次函数的自变量的取值集合一元二次函数的函数值的取值集合；思考：复习2中各题当中的两个集合有何关系？【知识点一】子集的概念①对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集（subset），记作：②集合相等：若，则集合与集合相等，记作：③真子集：若集合，存在元素，则称集合是集合的真子集（propersubset），记作：，读作：真包含于（或真包含）为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图．BABA的Venn图表示的Venn图表示的Venn图表示自我检测1：试用适当的符号填空.（1）任何一个集合都是它本身的子集，即AA．（2）对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则AC．【知识点二】空集的概念空集：不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：.并规定：空集是任何集合的，是任何非空集合的．自我检测2：试用适当的符号填空.（1），；（2），R；（3）N，QN；（4）.符号“”与“”有什么区别？思考：设集合A={0,1}，集合，则A与B的关系如何？题型一集合间关系的判断【例1-1】下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4【例1-2】设集合，，，则集合之间的关系．【例1-3】已知集合，求实数，的值．题型二子集、真子集及个数【例2】写出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．思考：设一个有限集合中的元素个数为个，则集合的子集的个数为个其中真子集的个数为个非空子集的个数为个非空真子集的个数为个题型三数学思想之分类讨论（注意对可变集合为空集时的讨论）【例3-1】已知集合，，且，求实数的值．【例3-2】已知，，且，求实数的取值范围．【例3-3】已知，其中，如果集合的元素都是集合的元素，求实数的取值范围．三、课后作业1．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A3．设，且，则实数的取值范围为（）.A.B.C.D.4．设，，则（）A.B.C.D.无关5．满足的集合有个．6．设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，则满足条件的a的取值集合．【参考答案】复习1：（1）、、；（2）、．复习2：（1），；（2），．第二个集合中的元素都在第一个集合当中，反之，不成立．【自我检测1】（1）（2）【自我检测2】试用适当的符号填空．（1），；、（2），R；、（、）（3）N，QN；、（4）．（）符号“”与“”有什么区别？解析：前者是元素与集合间的关系；后者是集合与集合间的关系思考：设集合A={0,1}，集合，则A与B的关系如何？解析：【例1-1】B【例1-2】【例1-3】【例2】集合的所有子集为思考：设一个有限集合中的元素个数为个，则集合的子集的个数为个其中真子集的个数为个非空子集的个数为个非空真子集的个数为个【例3-1】【例3-2】【例3-3】或1．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：B2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()A．0⊆AB．{0}∈AC．∅∈AD．{0}⊆A解析：D3．设，且，则实数的取值范围为（）．A．B．C．D．解析：B4．设，，则（）A．B．C．D．无关解析：B5．满足的集合有个．解析：76．设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，则满足条件的a的取值集合．解析：由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}．当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.当N＝{－1}时，由eq\f(1,a)＝－1，得a＝－1.当N＝{3}时，由eq\f(1,a)＝3，得a＝eq\f(1,3).故满足条件的a的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3)))．《§1.3.1集合的基本运算—交集、并集》导学案一、学习目标1．理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．2．能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．二、学习过程（预习教材P10~P13，找出疑惑之处）复习：集合间的基本关系如果集合的任意一个元素都是集合的元素，则称集合是集合的，记作．若集合，存在元素，则称集合是集合的，记作．若，则．思考：已知,，如何理解以下元素组成的集合=．=．【知识点一】并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（unionset），记作：，读作：“”，用描述法表示是：．Venn图表示：自我检测1：完成下列填空；；；；．若，则．【知识点二】交集一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersectionset），记作，读“”，用描述法表示是．Venn图表示：自我检测2：完成下列填空；；；；．若，则．题型一并集的运算【例1】(1)设A＝{4,5,6,8}，B＝{3,5,7,8}，求A∪B．(2)设集合A＝{x|－1<x<2}，集合B＝{x|1<x<3}，求A∪B．(3)设集合A＝{1,2}，求满足A∪B＝{1,2,3}的集合B．题型二交集的运算【例2】(1)已知集合，，，求．(2)已知集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x>3}，则A∩B＝________．(3)设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，求．题型三交集、并集性质的运用【例3-1】已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若，且，求a的值．题型四数学思想之分类讨论（注意可变集合为时的情况）【例4-1】已知集合，，，求的取值范围．【例4-2】已知集合，，，求的取值范围．【例4-3】已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a三、课后练习1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}2．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}3．已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}4．已知集合，，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5．设，，则A∩B＝．6．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．【参考答案】复习：子集、；真子集、；．思考：已知,，如何理解以下元素组成的集合=．=．【自我检测1】完成下列填空；；；；．若，则．【自我检测2】完成下列填空；；；；．若，则．【例1】(1)(2)(3)或或或【例2】(1)(2)(3){等腰直角三角形}【例3-1】解析：A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2,3}，C＝{－4,2}．因为，且，那么3∈A，故9－3a＋a2即a2－3a所以a＝－2或a＝5.当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，不符合A∩C＝∅.综上知，a＝－2.【例4-1】【例4-2】或【例4-3】解析：①当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,a＋3<－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋3≥2a，,2a>4，))解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,2}B．{1,2}C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}解析：A2．已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()A．{0}B．{1}C．{1,2}D．{0,1,2}解析：C3．已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}解析：A4．已知集合，，，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．解析：B5．设，，则A∩B＝．解析：6．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.答案：(－∞，1]《§1.3.2集合的基本运算—补集》导学案一、导学目标：1．在具体情境中，了解全集的含义．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．3．能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．二、学习过程（预习教材P10~P13，找出疑惑之处）复习:已知,,如何理解以下元素组成的集合=；=；思考：已知,,，如何理解以下元素组成的集合=（其中）；=（其中）．【知识点一】全集、补集①如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U．②已知集合U,集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集（complementaryset），记作：，读作：“”，用描述法表示是：．补集的Venn图表示：自我检测1：完成下列填空；；；．题型一补集的运算【例1】求下列集合的补集（1）设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB．（2）设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1<x<3}，求∁UM，∁UN．题型二集合交、并、补的综合运算【例2-1】已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求，，、，，．【例2-2】试用集合的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合．Ⅰ部分:__________Ⅱ部分:__________Ⅲ部分:__________Ⅳ部分:__________或_____________．题型三补集思想的应用【例3-1】设全集U＝{3,6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|,6}，∁UA＝{5}，求实数m【例3-2】设全集，若，，，求、．【例3-3】已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若，求实数m的取值范围．三、课后练习1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}2．已知集合U=，，那么集合（）．A．B．C．D．3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}4．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}5．已知全集U=R，集合A=，若，则；．6．设全集，，且，求实数的值．【参考答案】复习：已知,，如何理解以下元素组成的集合=．=．思考：已知,,，如何理解以下元素组成的集合=（其中）；=（其中）．【自我检测1】完成下列填空；；；．【例1】求下列集合的补集（1），所以，．（2），．【例2-1】解析：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：由图可知，【例2-2】试用集合的交集、并集、补集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合．Ⅰ部分:Ⅱ部分:Ⅲ部分:Ⅳ部分:或．【例3-1】解析：因为∁UA＝{5}，所以5∈U但5∉A，所以m2－m－1＝5，解得m＝3或m＝－2.当m＝3时，|3－2m此时U＝{3,5,6}，A＝{3,6}，满足∁UA＝{5}；当m＝－2时，|3－2m此时U＝{3,5,6}，A＝{6,7}，不符合题意舍去．综上，可知m＝3．【例3-2】解析：，．【例3-3】解析：先求A∩B＝∅时m的取值范围(1)当时，①方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)＜0，解得(2)当，时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．②设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝－42－42m＋6≥0，,x1＋x2＝4≥0，,x1x2＝2m＋6≥0，))③即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－1，,m≥－3，))解得－3≤m≤－1，综上，当时，m的取值范围是．又因为U＝R，④所以当时，m的取值范围是．1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝()A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}解析：A2．已知集合U=，，那么集合（）．A．B．C．D．解析：C3．设全集U＝R，M＝{x|x<－2或x>2}，N＝{x|1<x<3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}解析：C4．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}解析：D5．已知全集U=R，集合A=，若，则；．解析：，．6．设全集，，且，求实数的值．解析：或．《§1．4充分条件与必要条件》导学案一、导学目标：1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．2．通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.二、学习过程（预习教材P17~P22，回答下列问题）请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若，则（2）若，则（3）若或，则【知识点一】充分条件与必要条件一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时我们就说，由p可以推出q，记作，并且说，p是q的，q是p的．【知识点二】充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有，又有，就记作．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．自我检测1：（1）根据以上充分必要条件的定义，请给出是的什么条件？①若,但，则②若，但，则③若，且，则④若，且，则（2）在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的 条件．（3）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【知识点三】充分条件、必要条件、充要条件的判断方法1．定义法：分别判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．2．等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．3．集合法：利用集合间的包含关系进行判断．4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．自我检测2：如图1，有一个圆，在其内又含有一个圆，请回答p：红点在内，q：红点一定在内”中，则p是q的什么条件？题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．①p：若四边形的两组对角分别相等，q：这个四边形是平行四边形；②p：a＝b，q：ac＝bc；③p：x2＝9，q：x＝3；④p：m<eq\f(1,4)，q：一元二次方程x2＋x＋m＝0有实根；⑤p：x，y为无理数，q：xy为无理数；⑥p：且，q：且；⑦p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；⑧p：，q：或．题型二求条件(充分条件、必要条件和充要条件)【例2】判断使不等式成立的充分不必要条件是否唯一．（必要不充分、充要条件呢）题型三条件和结论的传递性【例3】已知,都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则（1）是的什么条件？（2）是的什么条件？（3）是的什么条件？题型四充分条件、必要条件、充要条件的应用【例4-1】关于的不等式:的解集为的充要条件是【例4-2】已知，，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．题型五充要条件的证明【例5】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．三、课后练习1．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．（1）“”是“”的；（2）“四边形对角线相等”是“这个四边形是平行四边形”的；（3）“”是“”的；（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的；（5）“x－3＝0”是“(x－2)(x－3)＝0”的；2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．2x2－5x－3<0的必要不充分条件是()A．－eq\f(1,2)<x<3B．0<x<2C．－1<x<2D．－eq\f(1,2)<x<45．若是的必要而不充分条件，是的充要条件，是的充分而不必要条件，那么是的________．6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是____．【参考答案】复习：（1）√（2）×（3）√【自我检测1】（1）①p是q的充分不必要条件②p是q的必要不充分条件③p是q的充要条件④p是q的既不充分也不必要条件（2）充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要（3）B【自我检测2】充分不必要【例1】指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．①p：若四边形的两组对角分别相等，q：这个四边形是平行四边形；必要不充分条件②p：a＝b，q：ac＝bc；充分不必要条件③p：x2＝9，q：x＝3；必要不充分条件④p：m<eq\f(1,4)，q：一元二次方程x2＋x＋m＝0有实根；充要条件⑤p：x，y为无理数，q：xy为无理数；必要不充分条件⑥p：且，q：且；充要条件⑦p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；充分不必要条件⑧p：，q：或．充分不必要条件【例2】判断使不等式成立的充分不必要条件是否唯一．不唯一（必要不充分、充要条件呢）【例3】已知,都是的必要条件，是的充分条件，是的充分条件，则（1）是的什么条件？充要条件（2）是的什么条件？充要条件（3）是的什么条件？必要不充分条件 【例4-1】关于的不等式:的解集为的充要条件是【例4-2】已知，，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．【解析】令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或x≥2))))；由已知p⇒q且qp，得∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2≥－\f(1,2)，,a<2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2>－\f(1,2)，,a≤2，))解得eq\f(3,2)≤a<2或eq\f(3,2)<a≤2，即eq\f(3,2)≤a≤2，即所求a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))．【例5】求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．解析：(1)a＝0时，可得x＝－eq\f(1,2)，符合题意．(2)当a≠0时，方程为一元二次方程，若方程有两个异号的实根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0；若方程有两个负的实根，则必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)>0，,－\f(2,a)<0，,Δ＝4－4a≥0，))解得0<a≤1.综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1.反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根．因此，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1．1．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．（1）“”是“”的；必要不充分条件（2）“四边形对角线相等”是“这个四边形是平行四边形”的；充要条件（3）“”是“”的；充分不必要条件（4）“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的；充分不必要条件（5）“x－3＝0”是“(x－2)(x－3)＝0”的；充分不必要条件2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：C3．设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：C4．2x2－5x－3<0的必要不充分条件是()A．－eq\f(1,2)<x<3B．0<x<2C．－1<x<2D．－eq\f(1,2)<x<4解析：D5．若是的必要而不充分条件，是的充要条件，是的充分而不必要条件，那么是的________．解析：充分不必要条件．6．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是___．解析：对称轴x＝－eq\f(b,2)≤0，即b≥0．《§1．5全称量词与存在量词》导学案一、导学目标：1．全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2．全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．二、学习过程（预习教材P26~P31，回答下列问题）思考1：下列各组语句是命题吗？两者有什么关系?（1）；对所有的，．（2）是整数；对任意一个，是整数．（3）方程有实根；任给，方程有实根．【知识点一】全称量词和全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、任给符号∀全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为“∀x∈M，p(x)”自我检测1：下列命题中全称量词命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°．A．0B．1C．2D．3思考2：下列各组语句是命题吗？二者有什么关系？（1）；存在一个，使．（2）能被2和3整除；至少有一个，能被2和3整除．（3）；有些，使．【知识点二】存在量词和存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有些、有的符号表示∃存在量词命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号记为“∃x∈M，p(x)”自我检测2：下列命题中存在量词命题的个数是()①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A．0B．1C．2D．3【知识点三】全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，非p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，非p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．自我检测3：辨别下列命题格式？并给出相应的否定形式？命题“”的否定是______________．命题“”的否定是_______________________．题型一全称量词命题与存在量词命题的判断【例1】判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假：(1)一切矩形都是平行四边形；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(4)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立(5)无论取什么实数，方程必有实根；(6)方程至少存在一个负根；(7)存在一个x∈R，使eq\f(1,x－1)＝0；(8)有一个角α，使sinα＝eq\f(1,2)．题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定，并判断真假：(1)任意两个等边三角形都相似．(2)本节课里有一个人在打瞌睡．(3)．(4)．题型三全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例3】已知命题，；命题，；则下列判断正确的是()A．是假命题B．是假命题C．是假命题D．是假命题题型四恒成立问题与存在问题【例4】已知，都有恒成立，则的取值范围是．已知，使得成立，则的取值范围是．三、课后作业1．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．对任意的x