《4.2.1指数函数的概念》教案、导学案与同步练习

《第四章指数函数与对数函数》《4.2.1指数函数的概念》教案【教材分析】指数函数与幂函数是相通的，本节在已经学习幂函数的基础上通过实例总结归纳指数函数的概念，通过函数的三个特征解决一些与函数概念有关的问题.【教学目标与核心素养】课程目标1、通过实际问题了解指数函数的实际背景；2、理解指数函数的概念和意义.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的概念；2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；3.数学运算：利用指数函数的概念求参数；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.【教学重难点】重点：理解指数函数的概念和意义；难点：理解指数函数的概念．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。【教学过程】一、情景导入在本章的开头，问题（1）中时间与GDP值中的,请问这两个函数有什么共同特征.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本111-113页，思考并完成以下问题1.指数函数的概念是什么？2.指数函数解析式的特征？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．指数函数的定义函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.四、典例分析、举一反三题型一判断一个函数是否为指数函数例1判断下列函数是否为指数函数（1）（2）（3）（4）【答案】由指数函数的定义易知（1）（2）（3）不是指数函数，（4）是指数函数.解题技巧：（判断一个函数是否为指数函数）(1)需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．跟踪训练一1.判断下列函数是否为指数函数（1）（2）（3）（4）（＞1，且）【答案】（1）（2）（3）不是指数函数，（4）是指数函数.题型二指数函数的概念例2（1）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.【答案】(1)，，(2)2【解析】（1）将点（3，π），代入得到，即，解得：，于是，所以，，.（2）由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得a2-3a+3=1,解题技巧：（利用指数函数定义求参数）跟踪训练二1.已知指数函数图象经过点P(-1,3),则f(3)=.2.已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a=.【答案】1.127【解析】1.设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),由题意得a-1=3,解得a=13,所以f(x)=13x,故f(3)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,∴a2-2a+2=1,五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计4.2.1指数函数的概念4.2.1指数函数的概念1.指数函数概念例1例22.指数函数的特征七、作业课本118页习题4.2中1题2题5题【教学反思】本节主要学习了一类新的函数：指数函数。主要就指数函数的概念及三个特征学习指数函数，本节课需要学生熟记定义及特征.《4.2.1指数函数的概念》导学案【学习目标】知识目标1、通过实际问题了解指数函数的实际背景；2、理解指数函数的概念和意义.核心素养1.数学抽象：指数函数的概念；2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；3.数学运算：利用指数函数的概念求参数；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.【重点与难点】重点：理解指数函数的概念和意义；难点：理解指数函数的概念．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。1．指数函数的定义函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.【小试牛刀】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2是指数函数.（）(2)指数函数y＝ax中，a可以为负数.（）2.函数y=(a-2)ax是指数函数,则()A.a=1或a=3 B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1【自主探究】题型一判断一个函数是否为指数函数例1判断下列函数是否为指数函数（1）（2）（3）（4）跟踪训练一1.判断下列函数是否为指数函数（1）（2）（3）（4）（＞1，且）题型二指数函数的概念例2（1）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.跟踪训练二1.已知指数函数图象经过点P(-1,3),则f(3)=.2.已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a=.【课堂检测】1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1.A．0个 B．1个C．3个 D．4个2．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝______.3．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为______．4．已知函数f(x)是指数函数，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(\r(5),25)，则f(x)＝________.答案小试牛刀1．（1）×（2）×2．C自主探究例1【答案】由指数函数的定义易知（1）（2）（3）不是指数函数，（4）是指数函数.跟踪训练一1.【答案】（1）（2）（3）不是指数函数，（4）是指数函数.例2【答案】(1)，，(2)2【解析】（1）将点（3，π），代入得到，即，解得：，于是，所以，，.（2）由y=(a2-3a+3)ax是指数函数,可得a2-3a+3=1,跟踪训练二【答案】1.127【解析】1.设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),由题意得a-1=3,解得a=13,所以f(x)=13x,故f(3)2.函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,∴a2-2a+2=1,当堂检测 1、B2、1 3、74、5x《4.2.1指数函数的概念》分层同步练习一巩固基础1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－1；②y＝ax(a>0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2x－1.A．0个B．1个C．3个D．4个2．当x∈[－2,2)时，y＝3－x－1的值域是()A．(－eq\f(8,9)，8]B．[－eq\f(8,9)，8]C．(eq\f(1,9)，9)D．[eq\f(1,9)，9]3．函数y＝eq\r(2x－1)的定义域是()A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是()5．函数y＝ax－5＋1(a≠0)的图象必经过点________．6．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x<0，,－2－x，x>0，))则函数f(x)的值域是________．7.函数f(x)＝eq\r(ax－1)(a>0，且a≠1)的定义域是(－∞，0]，求实数a的取值范围.8．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，eq\f(1,2))，其中a＞0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．综合应用9．函数y＝5－|x|的图象是()10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,x＋1，x≤0.))若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()A．－3B．－1C．1D．311.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是()A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<012．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.13．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．14．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．求函数y＝(eq\f(1,2))x2－2x＋2(0≤x≤3)的值域．16．已知－1≤x≤2，求函数f(x)＝3＋2×3x＋1－9x的最大值和最小值．【参考答案】B解析由指数函数的定义可判定，只有②正确．2.A解析y＝3－x－1，x∈[－2,2)上是减函数，∴3－2－1＜y≤32－1，即－eq\f(8,9)＜y≤8.3.C解析由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.A解析当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A.5.(5,2)解析指数函数的图象必过点(0,1)，即a0＝1，由此变形得a5－5＋1＝2，所以所求函数图象必过点(5,2)．6.(－1,0)∪(0,1)解析由x<0，得0<2x<1；由x>0，∴－x<0,0<2－x<1，∴－1<－2－x<0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．7.解由题意，当x≤0时，ax≥1，所以0<a<1，故实数a的取值范围是0<a<1.8.解(1)∵f(x)的图象过点(2，eq\f(1,2))，∴a2－1＝eq\f(1,2)，则a＝eq\f(1,2).(2)由(1)知，f(x)＝(eq\f(1,2))x－1，x≥0.由x≥0，得x－1≥－1，于是0＜(eq\f(1,2))x－1≤(eq\f(1,2))－1＝2，所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．9.D解析当x＞0时，y＝5－|x|＝5－x＝(eq\f(1,5))x，又原函数为偶函数，故选D.10.A解析依题意，f(a)＝－f(1)＝－21＝－2，∵2x＞0，∴a≤0，∴f(a)＝a＋1＝－2，故a＝－3，所以选A.11.D解析从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0<a<1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0<a<1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b>0，即b<0.12.1解析由指数函数的定义得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.13.7解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝5，,a0＋b＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝3，))所以f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＋3，所以f(－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－2＋3＝4＋3＝7a≥1或a＝0解析作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.15.解令t＝x2－2x＋2，则y＝(eq\f(1,2))t，又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤3，∴当x＝1时，tmin＝1，当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，∴(eq\f(1,2))5≤y≤(eq\f(1,2))1，故所求函数的值域[eq\f(1,32)，eq\f(1,2)]．16.解设t＝3x，∵－1≤x≤2，∴eq\f(1,3)≤t≤9，则f(x)＝g(t)＝－(t－3)2＋12，故当t＝3，即x＝1时，f(x)取得最大值12；当t＝9，即x＝2时，f(x)取得最小值－24.《§4.2.1指数函数的概念》同步练习二一．选择题1．如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（）A． B．2C．3 D．42．已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为（）A．4个 B．8个C．16个 D．32个3．下列函数不是指数函数的是（）A． B．C． D．4．设，则（）A．2 B．4C．8 D．165．函数是指数函数，则实数（）A． B．C． D．或6．已知函数，若，则（）A．2 B．C．8 D．7．设，则（）A．2 B．4C．8 D．168．将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再过甲桶中的水只有升，则的值为（）A．10 B．9C．8 D．5二．填空题9．下列函数中指数函数的个数是．①②③④（为常数，，）⑤⑥⑦10．已知函数的图象经过点，其中且．则；（2）函数的值域为．三．解答题11．已知（为常数，且）的图像过点.（1）求的解析式；（2）若函数，试判断的奇偶性并给出证明．12．函数和的图象的示意图如下图所示，设两函数的图象交于点，，且.(1)请指出示意图中曲线，分别对应哪一个函数？(2)若，，且，指出，的值，并说明理由；(3)结合函数图象示意图，直接写出，，，的大小．【参考答案】一．选择题1．如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（）A． B．2C．3 D．4【答案】B2．已知某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……依此类推，那么1个这样的细胞分裂3次后，得到的细胞个数为（）A．4个 B．8个