《4.3.1 对数的概念》教学设计、导学案、同步练习

第四章指数函数与对数函数《4.3.1对数的概念》教学设计【教材分析】本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.3.1节《对数的概念》。从内容上看它是学生了指数幂运算的基础上，通过实际问题的提出，从而建立对数的概念。其研究和学习过程，与先前学习加法与减法、乘法与除法类似。由指数运算进而提出对数运算，本节为后续的对数函数奠定基础。培养学生数学运算、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。3、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。a.数学抽象：对数的概念；b.逻辑推理：指数式与对数式的转化；c.数学运算：对数的运算；d.直观想象：指数与对数的关系；e.数学建模：在实际问题中建立对数概念；【教学重难点】教学重点：对数的概念、指数式与对数的互化教学难点：由于对数符号是直接引入的，带有“规定”的性质，且这种符号比较抽象，不易为学生接受，因此，对对数符号的认识会形成教学中的难点。【教学过程】教学过程设计意图（一）、创设问题情境问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？上述问题实际上就是从2=1.11x，3=1.11x，4=1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。（二）、探索新知1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是________________.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？[提示]由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．1．思考辨析(1)logaN是loga与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()[答案](1)×(2)×(3)√2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝aB．logaM＝2C．log22＝MD．log2a＝MB[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]（三）典例解析例1将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：(1)54＝625;(2)2－7＝eq\f(1,128)；(3)(eq\f(1,2))m＝5.73(4)logeq\f(1,2)32＝－5；(5)lg1000＝3；(6)ln10＝2.303[解](1)由54＝625，可得log5625＝4.(2)由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.(3)由(eq\f(1,2))m＝5.73，可得logeq\f(1,2)5.73＝m，(4)由logeq\f(1,2)32＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.(5)由lg1000＝3，可得103＝1000.(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.[规律方法]指数式与对数式互化的方法将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式；1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)3－2＝eq\f(1,9)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16；(3)logeq\f(1,3)27＝－3;(4)logeq\r(x)64＝－6.[解](1)log3eq\f(1,9)＝－2；(2)logeq\f(1,4)16＝－2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27；(4)(eq\r(x))－6＝64.例2求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－eq\f(2,3)；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x;(4)－lne2＝x.[解](1)x＝(64)eq\s\up12(－\f(2,3))＝(43)eq\s\up12(－\f(2,3))＝4－2＝eq\f(1,16).(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq\s\up12(eq\f(1,6))＝8eq\s\up12(eq\f(1,6))＝(23)eq\s\up12(eq\f(1,6))＝2eq\s\up12(eq\f(1,2))＝eq\r(2).(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2，所以x＝－2.规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。[探究问题]1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)吗？提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.2．如何解方程log4(log3x)＝0?提示：借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3.例3设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13C．100D．±100(2)若log3(lgx)＝0，则x的值等于________.思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．(1)B(2)10[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.(2)由log3(lgx)＝0得lgx＝1，∴x＝10.]归纳总结:1.利用对数性质求解的2类问题的解法（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求logalogbc的值，先求logbc的值，再求logalogbc的值.（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解.2.性质alogaN＝N与logaab＝b的作用（1）alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a,为底的指数形式.（2）logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数开门见山，通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念。培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养。通过对对数概念的解析，理解对数与指数的关系，进而理解对数的概念，发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养；通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉指数式与对数式的转化。深化对对数概念的理解。通过问题探究进一步理解对数的概念，并推出对数的相关性质，发展学生数学运算和逻辑推理核心素养；三、当堂达标1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)【答案】D[由m－1>0得m>1，故选D.]2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg1＝0B．27eq\s\up12(－\f(1,3))＝eq\f(1,3)与log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2与9eq\s\up12(eq\f(1,2))＝3D．log55＝1与51＝5【答案】C[C不正确，由log39＝2可得32＝9.]3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.【答案】3[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]4．log33＋3log32＝________.【答案】3[log33＋3log32＝1＋2＝3.]5．求下列各式中的x值：(1)logx27＝eq\f(3,2)；(2)log2x＝－eq\f(2,3)；(3)x＝log27eq\f(1,9)；(4)x＝logeq\s\do8(\f(1,2))16.【答案】(1)由logx27＝eq\f(3,2)，可得xeq\s\up12(eq\f(3,2))＝27，∴x＝27eq\s\up12(eq\f(2,3))＝(33)eq\s\up12(eq\f(2,3))＝32＝9.(2)由log2x＝－eq\f(2,3)，可得x＝2eq\s\up12(－\f(2,3))，∴x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(eq\f(2,3))＝eq\r(3,\f(1,4))＝eq\f(\r(3,2),2).(3)由x＝log27eq\f(1,9)，可得27x＝eq\f(1,9)，∴33x＝3－2，∴x＝－eq\f(2,3).(4)由x＝logeq\s\do8(\f(1,2))16，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。四、小结1、对数的概念，指数式与对数式的转化；2、对数的性质及运用；五、作业1.课时练2.预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；《4.3.1对数的概念》导学案【学习目标】1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．【重点难点】教学重点：理解对数的概念,掌握指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化教学难点：掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．【知识梳理】1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是________________.【学习过程】问题提出：在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？上述问题实际上就是从2=1.11x，3=1.11x，4=1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．对数的发明：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。1．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是________________.2．常用对数与自然对数3．对数的基本性质(1)负数和零没有对数．(2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．思考：为什么零和负数没有对数？[提示]由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．1．思考辨析(1)logaN是loga与N的乘积．()(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.()(3)对数运算的实质是求幂指数．()2．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝aB．logaM＝2C．log22＝MD．log2a＝M（三）典例解析例1将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式：(1)54＝625;(2)2－7＝eq\f(1,128)；(3)(eq\f(1,2))m＝5.73(4)logeq\f(1,2)32＝－5；(5)lg1000＝3；(6)ln10＝2.303(1)3－2＝eq\f(1,9)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16；(3)logeq\f(1,3)27＝－3;(4)logeq\r(x)64＝－6.例2求下列各式中的x的值：(1)log64x＝－eq\f(2,3)；(2)logx8＝6；(3)lg100＝x;(4)－lne2＝x.[探究问题]1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)吗？提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.2．如何解方程log4(log3x)＝0?提示：借助对数的性质求解，由log4(log3x)＝log41，得log3x＝1，∴x＝3.例3设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于()A．10B．13C．100D．±100(2)若log3(lgx)＝0，则x的值等于________.【达标检测】1．在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg1＝0B．27eq\s\up12(－\f(1,3))＝eq\f(1,3)与log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2与9eq\s\up12(eq\f(1,2))＝3D．log55＝1与51＝53．若log2(logx9)＝1，则x＝________.4．log33＋3log32＝________.5．求下列各式中的x值：(1)logx27＝eq\f(3,2)；(2)log2x＝－eq\f(2,3)；(3)x＝log27eq\f(1,9)；(4)x＝logeq\s\do8(\f(1,2))16.参考答案：二、学习过程思考辨析1.[答案](1)×(2)×(3)√2.B[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]（三）典例解析例1.[解](1)由54＝625，可得log5625＝4.(2)由2－7＝eq\f(1,128)，可得log2eq\f(1,128)＝－7.(3)由(eq\f(1,2))m＝5.73，可得logeq\f(1,2)5.73＝m，(4)由logeq\f(1,2)32＝－5，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－5＝32.(5)由lg1000＝3，可得103＝1000.(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.跟踪训练1[解](1)log3eq\f(1,9)＝－2；(2)logeq\f(1,4)16＝－2；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－3＝27；(4)(eq\r(x))－6＝64.例2.[解](1)x＝(64)eq\s\up12(－\f(2,3))＝(43)eq\s\up12(－\f(2,3))＝4－2＝eq\f(1,16).(2)x6＝8，所以x＝(x6)eq\s\up12(eq\f(1,6))＝8eq\s\up12(eq\f(1,6))＝(23)eq\s\up12(eq\f(1,6))＝2eq\s\up12(eq\f(1,2))＝eq\r(2).(3)10x＝100＝102，于是x＝2.(4)由－lne2＝x，得－x＝lne2，即e－x＝e2，所以x＝－2.规律方法：要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解。例3.思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．(1)B(2)10[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.(2)由log3(lgx)＝0得lgx＝1，∴x＝10.]三、达标检测1.【答案】D[由m－1>0得m>1，故选D.]2.【答案】C[C不正确，由log39＝2可得32＝9.]3.【答案】3[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]4.【答案】3[log33＋3log32＝1＋2＝3.]5.【答案】(1)由logx27＝eq\f(3,2)，可得xeq\s\up12(eq\f(3,2))＝27，∴x＝27eq\s\up12(eq\f(2,3))＝(33)eq\s\up12(eq\f(2,3))＝32＝9.(2)由log2x＝－eq\f(2,3)，可得x＝2eq\s\up12(－\f(2,3))，∴x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up20(eq\f(2,3))＝eq\r(3,\f(1,4))＝eq\f(\r(3,2),2).(3)由x＝log27eq\f(1,9)，可得27x＝eq\f(1,9)，∴33x＝3－2，∴x＝－eq\f(2,3).(4)由x＝logeq\s\do8(\f(1,2))16，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝16，∴2－x＝24，∴x＝－4.《4.3.1对数的概念》同步练习一基础巩固1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④3lo其中正确命题的个数为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.若3x=4,则x等于()(A)43 (B)(C)log34 (D)log433.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()(A)e0=1与ln1=0(B)log39=2与91(C)8-13=12与log(D)log77=1与71=74.已知logx16=2,则x等于()(A)4 (B)±4 (C)256 (D)25.已知loga12=m,loga3=n,则am+2n(A)3 (B)34 (C)9 (D)6.(1)若e=lnx,则x=;

(2)若lg(lnx)=0,则x=;

(3)若21+log47.设a=log310,b=log37,则3a-b=.

8.21+129.计算下列各式:(1)10lg3-(10)log(2)22-log2能力提升10.3log34-2723(A)14 (B)0 (C)1 (D)611.已知lg2=0.3010,由此可以推断22017是位整数()

(A)605 (B)606 (C)607 (D)60812.函数f(x)=3x21-x13.计算下列各式:(1)2lne+lg1+3lo(2)3log3素养达成14.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求x·y344.3.1对数的概念答案解析基础巩固1.有下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④3lo其中正确命题的个数为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【答案】B【解析】②错误,如(-1)2=1,不能写成对数式;④错误,log3(-5)没有意义.故正确命题的个数为2.2.若3x=4,则x等于()(A)43 (B)(C)log34 (D)log43【答案】C【解析】指数式、对数式互化.3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()(A)e0=1与ln1=0(B)log39=2与91(C)8-13=12与log(D)log77=1与71=7【答案】B【解析】对于A,e0=1可化为0=loge1=ln1,所以A正确;对于B,log39=2可化为32=9,所以B不正确;对于C,8-13=12可化为log812=-14.已知logx16=2,则x等于()(A)4 (B)±4 (C)256 (D)2【答案】A【解析】改写为指数式x2=16,但x作为对数的底数,必须取正值,所以x=4.5.已知loga12=m,loga3=n,则am+2n(A)3 (B)34 (C)9 (D)【答案】D【解析】由已知得am=12,an所以am+2n=am×a2n=am×(an)2=12×32=96.(1)若e=lnx,则x=;

(2)若lg(lnx)=0,则x=;

(3)若21+log4【答案】(1)ee(2)e(3)64【解析】(1)因为e=lnx,所以x=ee.(2)因为lg(lnx)=0,所以lnx=100=1.所以x=e1=e.(3)因为21+log4x=16=2所以x=43=64.7.设a=log310,b=log37,则3a-b=.

【答案】10【解析】因为a=log310,b=log37,所以3a=10,3b=7,所以3a-b=3a3b8.21+12【答案】25【解析】原式=2·2log29.计算下列各式:(1)10lg3-(10)log(2)22-log2【答案】(1)8(2)2【解析】(1)原式=3-(10)0+6=3-1+6=8.(2)原式=22÷2log23=4÷3+19×=43+=2.能力提升10.3log34-2723(A)14 (B)0 (C)1 (D)6【答案】B【解析】3log34-2723-lg0.01+lne3=4-3211.已知lg2=0.3010,由此可以推断22017是位整数()

(A)605 (B)606 (C)607 (D)608【答案】D【解析】因为lg2=0.3010,令22017=t,所以2017×lg2=lgt,则lgt=2017×0.3010=607.117,所以22017是608位整数.故选D.12.函数f(x)=3x21-【答案】(-13【解析】由1-x>013.计算下列各式:(1)2lne+lg1+3lo(2)3log3【答案】(1)4(2)7【解析】(1)原式=21+0+2=2+2=4.(2)原式=3log=3log34=43=73素养达成14.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求x·y3【答案】64【解析】因为log2(log3(log4x))=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.由log4(log2y)=1,知log2y=4,所以y=24=16.因此x·y34=64×163《4.3.1对数的概念》同步练习二一、选择题1．指数式x3=15的对数形式为:()A．log315=xB．log15x=3C．logx3=15D．logx15=32．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝10，则x＝10；④若lnx＝e，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④3．方程的解是()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝94．若x＝y2(y>0，且y≠1)，则必有()A．log2x＝yB．log2y＝xC．logxy＝2D．logyx＝25．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<2B．2<a<3或3<a<5C．2<a<5D．3<a<46．已知,则f(4)等于()A．log25B．log23C．D．二、填空题7．已知a2＝(a>0)，则loga＝________.8．计算：＋lne2＝________.9.已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，则logα8＝________．10．设x＝log23，则＝________.三、解答题11．将下列指数式与对数式互化：(1)log216＝4;(2)log27＝－3；(3)＝6;(4)43＝64；(5)3－2＝(6)＝16.12．求下列各式中x的值：(1)log3(log2x)＝0；(2)log2(lgx)＝1；(3)5＝x；(4)(a)＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．4.3.1对数的概念答案解析一、选择题1．指数式x3=15的对数形式为:()A．log315=xB．log15x=3C．logx3=15D．logx15=3【答案】D【解析】因为指数式x3=15的对数形式为logx15=3，所以选D.2．下列四个等式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若lgx＝10，则x＝10；④若lnx＝e，则x＝e2.其中正确的是()A．①③B．