2018高考数学新课标2理科真题

./1.<2018年新课标Ⅱ理>eq\f<1＋2i,1－2i>＝<>A.－eq\f<4,5>－eq\f<3,5>i B.－eq\f<4,5>＋eq\f<3,5>iC.－eq\f<3,5>－eq\f<4,5>i D.－eq\f<3,5>＋eq\f<4,5>iD[解析]eq\f<1＋2i,1－2i>＝eq\f<<1＋2i><1＋2i>,<1－2i><1＋2i>>＝－eq\f<3,5>＋eq\f<4,5>i.2.<2018年新课标Ⅱ理>已知集合A＝{<x,y>|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为<>A.9 B.8 C.5 D.4A[解析]当x＝－1时,y2≤2,得y＝－1,0,1；当x＝0时,y2≤3,得y＝－1,0,1；当x＝1时,y2≤2,得y＝－1,0,1.所以集合A中元素有9个.3.<2018年新课标Ⅱ理>函数f<x>＝eq\f<ex－e－x,x2>的图象大致为<>ABCDB[解析]f<－x>＝eq\f<e－x－ex,<－x>2>＝－eq\f<ex－e－x,x2>＝－f<x>,则f<x>为奇函数,图象关于原点对称,排除A；当x＝1时,f<1>＝e－eq\f<1,e>＞0,排除D；当x→＋∞时,f<x>→＋∞,排除C.故选B.4.<2018年新课标Ⅱ理>已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则a·<2a－b>＝<>A.4 B.3 C.2 D.0B[解析]由题意,a·<2a－b>＝2a2－a·b＝2＋1＝3.5.<2018年新课标Ⅱ理>双曲线eq\f<x2,a2>－eq\f<y2,b2>＝1<a>0,b>0>的离心率为eq\r<3>,则其渐近线方程为<>A.y＝±eq\r<2>x B.y＝±eq\r<3>x C.y＝±eq\f<eq\r<2>,2>x D.y＝±eq\f<eq\r<3>,2>xA[解析]依题意,e＝eq\f<c,a>＝eq\r<3>,则eq\f<b,a>＝eq\r<eq\f<b2,a2>>＝eq\r<eq\f<c2－a2,a2>>＝eq\r<eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<c,a>>>2－1>＝eq\r<2>,所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f<b,a>x＝±eq\r<2>x.故选A.6.<2018年新课标Ⅱ理>在△ABC中,coseq\f<c,2>＝eq\f<eq\r<5>,5>,BC＝1,AC＝5,则AB＝<>A.4eq\r<2> B.eq\r<30> C.eq\r<29> D.2eq\r<5>A[解析]cosC＝2×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<eq\r<5>,5>>>2－1＝－eq\f<3,5>,由余弦定理,得AB＝eq\r<BC2＋AC2－2BC·AC·cosC>＝eq\r<1＋25＋2×1×5×eq\f<3,5>>＝4eq\r<2>.7.<2018年新课标Ⅱ理>为计算S＝1－eq\f<1,2>＋eq\f<1,3>－eq\f<1,4>＋…＋eq\f<1,99>－eq\f<1,100>,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入<>A.i＝i＋1? B.i＝i＋2? C.i＝i＋3? D.i＝i＋4?B[解析]模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S＝N－T＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1－eq\f<1,2>>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<1,3>－eq\f<1,4>>>＋…＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<1,99>－eq\f<1,100>>>,则在空白处应填入"i＝i＋2?".8.<2018年新课标Ⅱ理>我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是"每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和",如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是<>A.eq\f<1,12>B.eq\f<1,14>C.eq\f<1,15>D.eq\f<1,18>C[解析]在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有Ceq\o\al<2,10>＝45种,和等于30的有<7,23>,<11,19>,<13,17>共3种,则对应的概率p＝eq\f<3,45>＝eq\f<1,15>.9.<2018年新课标Ⅱ理>在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝eq\r<3>,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为<>A.eq\f<1,5>B.eq\f<eq\r<5>,6>C.eq\f<eq\r<5>,5>D.eq\f<eq\r<2>,2>C[解析]以D为原点,DA为x轴DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝eq\r<3>,∴A<1,0,0>,D1<0,0,eq\r<3>>,D<0,0,0>,B1<1,1,eq\r<3>>,eq\o<AD1,\s\up6<→>>＝<－1,0,eq\r<3>>,eq\o<DB1,\s\up6<→>>＝<1,1,eq\r<3>>.设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cosθ＝eq\f<eq\o<AD1,\s\up6<→>>·eq\o<DB1,\s\up6<→>>,|eq\o<AD1,\s\up6<→>>||eq\o<DB1,\s\up6<→>>|>＝eq\f<2,2eq\r<5>>＝eq\f<eq\r<5>,5>.故选C.10.<2018年新课标Ⅱ理>若f<x>＝cosx－sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是<>A.eq\f<π,4> B.eq\f<π,2> C.eq\f<3π,4> D.πC[解析]f<x>＝cosx－sinx＝－<sinx－cosx>＝－eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<π,4>>>.由－eq\f<π,2>＋2kπ≤x－eq\f<π,4>≤eq\f<π,2>＋2kπ<k∈Z>,得－eq\f<π,4>＋2kπ≤x≤eq\f<3π,4>＋2kπ<k∈Z>.取k＝0,得f<x>的一个减区间为eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<－\f<π,4>,\f<3π,4>>>.由f<x>在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是eq\f<3π,4>.11.<2018年新课标Ⅱ理>已知f<x>是定义域为<－∞,＋∞>的奇函数,满足f<1－x>＝f<1＋x>,若f<1>＝2,则f<1>＋f<2>＋f<3>＋…＋f<50>＝<>A.－50 B.0 C.2 D.50C[解析]∵f<x>是奇函数,且f<1－x>＝f<1＋x>,∴f<1－x>＝f<1＋x>＝－f<x－1>,f<0>＝0,则f<x＋2>＝－f<x>,则f<x＋4>＝－f<x＋2>＝f<x>,即f<x>是周期为4的周期函数.∵f<1>＝2,∴f<2>＝f<0>＝0,f<3>＝f<1－2>＝f<－1>＝－f<1>＝－2,f<4>＝f<0>＝0,则f<1>＋f<2>＋f<3>＋f<4>＝2＋0－2＋0＝0,∴则f<1>＋f<2>＋f<3>＋…＋f<50>＝12[f<1>＋f<2>＋f<3>＋f<4>]＋f<49>＋f<50>＝f<1>＋f<2>＝2＋0＝2.12.<2018年新课标Ⅱ理>已知F1,F2是椭圆C:eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,b2>＝1<a＞b＞0>的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为eq\f<eq\r<3>,6>的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°,则C的离心率为<>A.eq\f<2,3>B.eq\f<1,2>C.eq\f<1,3>D.eq\f<1,4>D[解析]由题意知A<－a,0>,F1<－c,0>,F2<c,0>,直线AP的方程为y＝eq\f<eq\r<3>,6><x＋a>.由∠F1F2P＝120°,|PF2|＝|F1F2|＝2c,则P<2c,eq\r<3>c>,代入AP的方程,整理得a＝4c,∴C的离心率e＝eq\f<c,a>＝eq\f<1,4>.13.<2018年新课标Ⅱ理>曲线y＝2lnx在点<1,0>处的切线方程为________.y＝2x－2[解析]∵y＝2lnx,∴y′＝eq\f<2,x>.当x＝1时,y′＝2,∴曲线y＝2lnx在点<1,0>处的切线方程为y－0＝2<x－1>,即y＝2x－2.14.<2018年新课标Ⅱ理>若x,y满足约束条件eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x＋2y－5≥0,,x－2y＋3≥0,,x－5≤0,>>则z＝x＋y的最大值为________.9[解析]作出可行域如图.z＝x＋y可化为y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z过A<5,4>时,z取得最大值,最大值为z＝5＋4＝9.15.<2018年新课标Ⅱ理>已知sinα＋cosβ＝1,cosα＋sinβ＝0,则sin<α＋β>＝________.－eq\f<1,2>[解析]由sinα＋cosβ＝1,两边平方,得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1,①由cosα＋sinβ＝0,两边平方,得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0,②①＋②,得2＋2<sinαcosβ＋cosαsinβ>＝1,即2＋2sin<α＋β>＝1,解得sin<α＋β>＝－eq\f<1,2>.16.<2018年新课标Ⅱ理>已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为eq\f<7,8>,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5eq\r<15>,则该圆锥的侧面积为________.40eq\r<2>[解析]由题意可得sin∠AMB＝eq\r<1－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<7,8>>>2>＝eq\f<eq\r<15>,8>.S△SAB＝eq\f<1,2>|SA|2sin∠AMB＝5eq\r<15>,即eq\f<1,2>|SA|2·eq\f<eq\r<15>,8>＝5eq\r<15>,解得SA＝4eq\r<5>.SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为eq\f<eq\r<2>,2>×4eq\r<5>＝2eq\r<10>,则该圆锥的侧面积＝eq\f<1,2>×4eq\r<10>×4eq\r<5>π＝40eq\r<2>π.17.<2018年新课标Ⅱ理>记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1＝－7,S3＝－15.〔1求{an}的通项公式；〔2求Sn,并求Sn的最小值.[解析]〔1设等差数列{an}的公差为d.S3＝3a1＋3d＝3×<－7>＋3d＝－15,解得d＝2.∴an＝a1＋<n－1>d＝－7＋2<n－1>＝2n－9.〔2Sn＝eq\f<n<a1＋an>,2>＝eq\f<n<－7＋2n－9>,2>＝n2－8n.∵Sn＝n2－8n＝<n－4>2－16,∴当n＝4时,Sn有最小值为－16.18.<2018年新课标Ⅱ理>如图是某地区20XX至2016年环境基础设施投资额y<单位:亿元>的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据20XX至2016年的数据<时间变量t的值依次为1,2,…,17>建立模型①:eq\o<y,\s\up6<^>>＝－30.4＋13.5t；根据20XX至2016年的数据<时间变量t的值依次为1,2,…,7>建立模型②:eq\o<y,\s\up6<^>>＝99＋17.5t.〔1分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；〔2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.[解析]〔1对于模型①,当t＝19时,eq\o<y,\s\up6<^>>＝－30.4＋13.5×19＝226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.对于模型②,当t＝9时,eq\o<y,\s\up6<^>>＝99＋17.5×9＝256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.〔2模型②得到的预测值更可靠.∵从总体数据看,该地区从20XX到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,而从20XX到20XX间递增的幅度较小些,从20XX到2016年间递增的幅度较大些,∴利用模型②的预测值更可靠些.19.<2018年新课标Ⅱ理>设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k<k＞0>的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.〔1求l的方程；〔2求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.[解析]〔1抛物线C的焦点为F<1,0>.当直线的斜率不存在时,|AB|＝4,不合题意.设直线AB的方程为y＝k<x－1>,A<x1,y1>,B<x2,y2>.联立eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y＝k<x－1>,,y2＝4x,>>消去y,得k2x2－2<k2＋2>x＋k2＝0,∴x1＋x2＝eq\f<2<k2＋2>,k2>,x1x2＝1.由|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f<2<k2＋2>,k2>＋2＝8,解得k＝1.∴直线l的方程y＝x－1.〔2由〔1得AB的中点坐标为D<3,2>,则直线AB的垂直平分线方程为y－2＝－<x－3>,即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为<x0,y0>,则eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<y0＝－x0＋5,,<x0＋1>2＝eq\f<<y0－x0＋1>2,2>＋16,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x0＝3,,y0＝2>>或eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<x0＝11,,y0＝－6.>>∴所求圆的方程为<x－3>2＋<y－2>2＝16或<x－11>2＋<y＋6>2＝144.20.<2018年新课标Ⅱ理>如图,在三棱锥P­ABC中,AB＝BC＝2eq\r<2>,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O为AC的中点.〔1求证:PO⊥平面ABC；〔2若点M在棱BC上,且二面角M­PA­C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.[解析]〔1证明:∵AB＝BC＝2eq\r<2>,AC＝4,∴AB2＋BC2＝AC2,即△ABC是直角三角形.又O为AC的中点,∴OA＝OB＝OC.∵PA＝PB＝PC,∴△POA≌△POB≌△POC.∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC＝0,∴PO⊥平面ABC.〔2以O坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.易知A<0,－2,0>,P<0,0,2eq\r<3>>,C<0,2,0>,B<2,0,0>,eq\o<BC,\s\up6<→>>＝<－2,2,0>.设eq\o<BM,\s\up6<→>>＝λeq\o<BC,\s\up6<→>>＝<－2λ,2λ,0>,0＜λ＜1,则eq\o<AM,\s\up6<→>>＝eq\o<BM,\s\up6<→>>－eq\o<BA,\s\up6<→>>＝<－2λ,2λ,0>－<－2,－2,0>＝<2－2λ,2λ＋2,0>,则平面PAC的一个法向量为m＝<1,0,0>.设平面MPA的法向量为n＝<x,y,z>,则eq\o<PA,\s\up6<→>>＝<0,－2,2eq\r<3>>,则n·eq\o<PA,\s\up6<→>>＝－2y－2eq\r<3>z＝0,n·eq\o<AM,\s\up6<→>>＝<2－2λ>x＋<2λ＋2>y＝0.令z＝1,则y＝－eq\r<3>,x＝eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,1－λ>,即n＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,1－λ>,－eq\r<3>,1>>.∵二面角M­PA­C为30°,∴cos30°＝eq\f<m·n,|m||n|>＝eq\f<eq\r<3>,2>,即eq\f<eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,λ－1>,eq\r<eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<eq\f<<λ＋1>eq\r<3>,1－λ>>>2＋1＋3×1>>＝eq\f<eq\r<3>,2>,解得λ＝eq\f<1,3>或λ＝3<舍去>.∴n＝<2eq\r<3>,－eq\r<3>,1>,eq\o<PC,\s\up6<→>>＝<0,2,－2eq\r<3>>.PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ＝|cos〈eq\o<PC,\s\up6<→>>,n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<eq\f<－2eq\r<3>－2eq\r<3>,eq\r<16>·eq\r<16>>>>＝eq\f<4eq\r<3>,16>＝eq\f<eq\r<3>,4>.21.<2018年新课标Ⅱ理>已知函数f<x>＝ex－ax2.〔1若a＝1,求证:当x≥0时,f<x>≥1；〔2若f<x>在<0,＋∞>只有一个零点,求a.[解析]〔1证明:当a＝1时,f<x>＝ex－x2,则f′<x>＝ex－2x.令g<x>＝ex－2x,则g′<x>＝ex－2.令g′<x>＝0,解得x＝ln2.当x∈<0,ln2>时,g′<x>＜0；当x∈<ln2,＋∞>时,g′<x>＞0.∴g<x>≥g<ln2>＝eln2－2·ln2＝2－2ln2＞0.∴f<x>在[0,＋∞>单调递增,则f<x>≥f<0>＝1.〔2f<x>在<0,＋∞>只有一个零点,等价于方程ex－ax2＝0在<0,＋∞>只有一个根,即a＝eq\f<ex,x2>在<0,＋∞>只有一个根,转化为y＝a与G<x>＝eq\f<ex,x2>的图象在<0,＋∞>只有一个交点.易得G′<x>＝eq\f<ex<x－2>,x3>.当x∈<0,2>时,G′<x>＜0；当x∈<2,＋∞>时,G′<x>＞0.∴G<x>在<0,2>单调递减,在<2,＋∞>单调递增.当x→0时,G<x>→＋∞；当x→＋∞时,G<x>→＋∞.∴f<x>在<0,＋∞>只有一个零点时,a＝G<2>＝eq\f<e2,4>.22.<2018年新课标Ⅱ理>在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1