贵州省黔西南布依族苗族自治州2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题【含答案解析】

黔西南州2023～2024学年度第一学期期末教学质量监测高一数学一、单选题：每小题5分，共8个小题，合计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，集合，下列表述正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据子集定义得出结果即可.【详解】已知集合，集合，所以.故选：C.2.下列命题中真命题是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，，则【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质可判断选项B，C，取特殊值验证可判断选项A，D错误.【详解】对于选项A，当时，则，所以A错误；对于选项B，因为，则，在不等式两边同乘以，所以，所以B正确；对于选项C，，所以，所以C错误；对于选项D，当，则，所以D错误.故选：B.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性可直接判断出答案.【详解】是奇函数，不满足题意；的定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意；是非奇非偶函数，不满足题意；是偶函数，且在区间上单调递增，满足题意；故选：D4.在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，终边经过点，则的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用任意角的三角函数定义得出值.【详解】因为角以轴的正半轴为始边，终边经过点，则由任意角的三角函数定义得:.故选:C.5.已知命题，那么是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，直接判断即可.【详解】命题，为存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定为：,.故选：B.6.关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足，解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或.故选：A.7.函数的图象如图所示，则的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合图象，根据定义域与特殊值应用排除法得到答案.【详解】由图象可知，的定义域为，对于C，D选项，，定义域为，排除C，D；对于B选项，，定义域为，当时，，排除B，对于A，的定义域为，且其在上单调递减，在上单调递增，故A正确.故选：A.8.定义在上的函数，满足，，且为偶函数，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，确定，，且是周期为4的周期函数，利用赋值法即可求解.【详解】因为为偶函数，所以关于对称，所以，又因为，所以，故，从而，又，所以，从而，所以，故函数是周期为4的周期函数；由，得，，，故，因为，所以，即，又因为，所以，令，得，则，从而，因为函数是周期为4的周期函数；所以,所以.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用函数的对称性得出的周期；二是利用条件求出一个周期内函数值的和.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根据对数的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解.【详解】根据对数的运算法则和运算性质，可得：，，，.故选：ABC.10.关于函数，下列说法正确的是（）A.方程无实数根 B.在上的最小值为4C.是定义域内的偶函数 D.是定义域内的奇函数【答案】BD【解析】【分析】根据题意，结合基本不等式，以及函数的奇偶性的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】由函数，其定义域为，当时，，当且仅当时，即时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为，对于A中，方程有唯一的实数根，所以A不正确；对于B中，函数在上的最小值为，所以B正确；对于C、D中，由，所以函数为奇函数，所以C错误，D正确.故选：BD.11.已知函数，其零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用零点存在定理结合函数图象可得答案.【详解】，因为，所以区间内存在零点；因为，所以区间内存在零点；因为，所以区间内存在零点；作出与的图象，结合与的图象的交点情况可知区间内没有零点；故选：ABC.12.函数（，）的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.的表达式可以写成B.的图象关于直线对称C.在区间上单调递增D.若方程在上有且只有6个根，则【答案】ABD【解析】【分析】根据图象可求得函数的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.【详解】对A，由，得，即，又，，又的图象过点，则，即，，即得，，又，，所以，故A正确；对B，，故B正确；对C，当时，则，由余弦函数单调性知，在单调递减，故C错误；对于D，由，得，解得或，，方程在上有6个根，从小到大依次为：，而第7个根为，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共计20分.13.已知幂函数恒过定点，则函数的解析式为______.【答案】【解析】【分析】将代入函数解析式，待定系数法求即可．【详解】由题：，得：，所以的解析式为．故答案为：．14.已知，且为第一象限角，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据同角三角关系运算求解即可.【详解】因为，且为第一象限角，所以.故答案为：.15.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若此扇形的半径为3，则其面积为______.【答案】【解析】【分析】利用扇形的面积公式求解即可.【详解】设扇形面积为，弧长为，圆心角为，半径为；则，故答案为：16.已知函数，若在区间内任意两个实数，（），都有恒成立，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】不妨设，根据题意转化为，令，得到函数在上单调递减，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】不妨设，因为，可得，即，令，可得函数在上单调递减，因为函数的图象开口向上，对称轴为，则，即实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共6个题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.其中17题10分，其余每小题12分，合计70分.17.已知全集，集合，集合.（1）求；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据交集的定义进行求解；（2）根据补集、并集的定义进行求解.【小问1详解】已知集合，集合，则.【小问2详解】已知全集，，则，又，则.18（1）已知函数，求证：；（2）已知函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见过程；（2）或.【解析】【分析】（1）写出并化简后与比较发现相等即可；（2）根据二次函数的解析式，求出二次函数的单调区间，由题是其单调区间的子区间，列出不等式求解即可．【详解】（1）由题：，得证．（2）二次函数图象开口向上，对称轴直线，所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上具有单调性，所以或，解得：或．19.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数，当时，求的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可得，进而可求最小正周期；（2）根据图象变换可得，以为整体，结合正弦函数的性质分析求解.【小问1详解】由题意可得：，所以函数的最小正周期.【小问2详解】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数，因为，则，若，即，可得，解得，所以的解集为.20.已知函数.（e为无理数，（1）若函数为奇函数，求参数的值；（2）在（1）条件下，求函数在上的最大值与最小值之和.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）根据奇函数定义分析求解；（2）根据题意分析可知为定义在上的奇函数，结合奇函数的对称性运算求解.【小问1详解】由题意可知：的定义域为，因为函数为奇函数，则，可得，整理得，注意到，则，可得，即.【小问2详解】由（1）可得：为定义在上的奇函数，对于，因为，即恒成立，可知的定义域为，又因为，所以为定义在上的奇函数，则为定义在上的奇函数，且连续不断，所以在上存在最大值和最小值，设当时，取到最大值，由奇函数的对称性可知当，取到最小值，所以函数在上的最大值与最小值之和为.21.如图①，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图②，一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水下则为负数），与时间（单位：）之间的关系是.（1）盛水筒旋转一周需要多少秒？盛水筒出水后至少经过多少秒就可以达到最高点；（2）当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态），并说明理由.【答案】（1）旋转一周需要60秒，出水后至少经过20秒就可以达到最高点；（2）处于向下的运动状态，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用周期计算旋转一周需要的时间，利用取最大值时的值得盛水筒出水后达到最高点的最短时间；（2）由区间内函数的单调性，判断盛水筒的运动状态.【小问1详解】因为的最小正周期，所以盛水筒旋转一周需要60秒；时，，当，有，则，解得，又，所以时，，盛水筒出水后至少经过20秒就可以达到最高点.【小问2详解】盛水筒处于向下运动的状态，理由如下：，当，有，此时单调递减，所以盛水筒处于向下运动的状态.【点睛】方法点睛：利用函数解析式计算周期，由函数值求自变量，运动状态的实际意义是研究函数单调性.22.已知函数（1）若，求的值；（2）若函数有5个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）0或或（2）【解析】【分