山东省青岛市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一模）按题型汇编

山东省青岛市三年（2021届-2023届）高考数学模拟题（一

模）按题型汇编

一、单选题

1.（2021•山东青岛•统考一模）已知集合A={y∣y=Iog2X,X>4},B={xeR卜=/

贝IJaA）IB=（）

A.(-e,2]B.[2,+∞)C.[0,2]D.(0,2)

2.（2021.山东青岛.统考一模）若α,夕表示两个不同的平面，机为平面ɑ内一条直线,

则（）

A."〃?//夕'是M/尸的充分不必要条件

B.“血力”是α%的必要不充分条件

C.”是“α∙L∕?”的必要不充分条件

D.“相，尸”是“a，£”充要条件

Tt

3.（2021•山东青岛•统考一模）已知双曲线=1的一条渐近线的倾斜角为三，则

该双曲线的离心率为（）

A.ɪB.-C.—D.2

223

4.（2021•山东青岛・统考一模）18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上

的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，IZl=IOZ也即复数Z的模

的几何意义为Z对应的点Z到原点的距离.在复平面内，复数4=三?（i是虚数单位,

aeR）是纯虚数，其对应的点为Z°,Z为曲线上|=1上的动点，则Zo与Z之间的最小

距离为()

ɔ

A.~B.1C.-D.2

22

5.(2021.山东青岛.统考一模)若〃X)=•劈;不等式的解集为

()

A.(-l,0)u(√3-l,+∞)B.(-∞,1-√3)VJ(1,+∞)

C.(-ɪ,θ)ʊ(θ,^-l)D.(-∞,-l)u(√3-l,+∞)

6.（2021•山东青岛•统考一模）已知角O终边上有一点Pltangπ,2sin[-*π]）,贝IJCOSe

的值为（）

A.ɪB.--C.-也D.3

2222

7.（2021•山东青岛•统考一模）已知y=∕（χ）为奇函数，y=f（χ+l）为偶函数，若当

x∈[0,l]时，/（x）=Iog2（x+«）,则"2021）=（）

A.-1B.0C.1D.2

8.（2021.山东青岛.统考一模）在抛物线，第一象限内一点（%,%）处的切线与*轴

交点横坐标记为。向，其中〃eN*,已知/=32,S“为{4}的前〃项和，若机≥5“恒成

立，则加的最小值为（）

A.16B.32C.64D.128

9.（2022•山东青岛•统考一模）已知全集U={T,0,1,3,6},A={0,6},则gA=（）

A.{-l,3}B.{-l,l,3}C.{0,l,3}D.{θ,3,6）

10.（2022•山东青岛・统考一模）若命题“VxeR,Or?十1≥fr，为真命题，则实数。的取

值范围为（）

A.a>0B.>0C.a<0D.a≤∖

11∙（2022∙山东青岛.统考一模）已知Z=詈，i为虚数单位，则IW=（）

A.ʒB,ɪC.逑D.交

2222

12.（2022.山东青岛•统考一模）若双曲线fc∕-8χ2=8的焦距为6,则该双曲线的离心率

为（）

A.—B,-C.3D.—

423

13.（2022•山东青岛.统考一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有

人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而

税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为”今有人持金出五关，第1关

收税金为持金的;，第2关收税金为剩余金的：，第3关收税金为剩余金的第4关

收税金为剩余金的!，第5关收税金为剩余金的g,5关所收税金之和恰好重1斤.问

56

一ʌf10x÷l,x>l/、

原来持金多少？”.记这个人原来持金为α斤，设f（zx）=i则/（。）=（）

试卷第2页，共16页

A.-5B.7C.13D.26

14.（2022.山东青岛.统考一模）甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率

为0∙6,乙获胜的概率为0.4,若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（）

A.0.36B.0.352C.0.288D.0.648

15.(2022•山东青岛・统考一模)已知函数/(x)=sin25-CoS25+1(0<O<1),将/(X)

的图象先向左平移:个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数g（χ）的图

象，若g（x）图象关于（：,（））对称，则0为（）

A.-1B.ɪ1C.-2D.-3

4234

16.（2022.山东青岛.统考一模）设“力是定义域为R的偶函数，且在［0,+司上单调递

/4A

C=f-3一§,则。，b,C∙的大小关系为

\/

()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

17.（2023∙山东青岛・统考一模）己知全集U=R,A={x∣3<xv7},β=∣x∣∣x-2∣<4∣,

则下图中阴影部分表示的集合为（）

A.{x∣-2<x≤3}B.{x∣-2<x<3∣C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2,3}

18.（2023•山东青岛•统考一模）已知复数Z满足z（l+i）=2,则N的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.—i

19.（2023•山东青岛•统考一模）在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边

为X轴的非负半轴，终边经过点卜in年,cosD贝IJSinC=（）

A.&B.--C.D.ɪ

2222

20.（2023•山东青岛•统考一模）龙洗，是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗,

为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm,盆口直

径40cm,盆底直径20cm.现往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（）

A.1824cm3B.2739cm,C.3618cm,D.4512cm,

21.（2023・山东青岛・统考一模淀义域为口的函数〃同满足：当工目0，1）时，〃力=3'-1,

且对任意实数x,均有〃x）+"x+l）=l,则F（IOg34）=（）

42

A.3B.2C.-D.-

33

22

22.（2023•山东青岛•统考一模）已知双曲线cJ-*l（α>0力>0）的左、右焦点分

别为耳，F2,直线y=Kx与C的左、右两支分别交于4,B两点，若四边形AKBg为

矩形，则C的离心率为（）

A.叵"B.3C.√3+lD.√5+l

2

23.（2023∙山东青岛.统考一模）某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路,

1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对的概率为0.8,没有思路的题目，只好任

意猜一个答案，猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做

对的概率为（）

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

24.（2023•山东青岛•统考一模）已知函数=XjgSinx,若q0,总，

α=/（（CoSe）,6=∕（（sin6∣）s'nfl）,c=-f（-g）,贝Ij”，⅛,C的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>a>b

二、多选题

25.（2021•山东青岛•统考一模）己知圆C：x2+y2-kx+2y+-k2-k+l=0,下列说法

4

正确的是（）

A.Z的取值范围是k>0

B.若k=4,过M（3,4）的直线与圆C相交所得弦长为2√L方程为12x-5y-16=0

C.若左=4,圆C与圆X?+），=1相交

试卷第4页，共16页

12

D.若左=4,m>0H>0,直线〃犹一〃>一1=0恒过圆C的圆心，则一+—≥8恒成立

fmn

26.（2021•山东青岛.统考一模）已知W=（2sin4∙∣,cos4∙∣-"x））,£=0,_£|,若。与

b共线，则下列说法正确的是（）

A.将的图象向左平移W个单位得到函数^=}。$（2》+5）+；的图象

B.函数的最小正周期为九

C.直线X=BE是f（x）的一条对称轴

D.函数/（x）在1一2）上单调递减

27.（2021•山东青岛•统考一模）若实数a<A,则下列不等式成立的是（）

A.若a>l,则Iog“必>2

B（I"/]

C.若4>0,则上>工

}+a∖+b

D.若〃?>g,”,Z?∈（1,3）,则g（/-∕）+α-6>0

28.（2021.山东青岛.统考一模）在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹簸或苇蒿等

材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为'‘灯罩斗笠"，不

同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡

量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽20力厘米，关于此斗笠，下列说法

A.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120。

B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为IoOG平方厘米

C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为16（X）万平方厘

米

D.此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为2（）G-30厘米

29.（2022•山东青岛•统考一模）某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业

的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减

免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直

方图，则下列结论正确的是（）

A.推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高

B.推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高

C.推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡

D.推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化

30.（2022•山东青岛•统考一模）已知向量。=（2,1）,⅛=（x,x+l）f则下列结论正确的是

（）

A.若a_L方，则X=B.若α〃入则x=±2

C.若X=1,则Ia-*2D.若x=l,则”与5的夹角为锐角

31.（2022•山东青岛•统考一模）已知椭圆C：E+±=1的左、右焦点分别是《，F2,

43

”（g,%）为椭圆C上一点，则下列结论正确的是（）

A.△例耳鸟的周长为6B.鸟的面积为巫

3

C.片鸟的内切圆的半径为姮D.耳心的外接圆的直径为当

9H

32.（2022•山东青岛・统考一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为

rk=l,好=2,母线48长为2,E为母线AB中点，则下列结论正确的是（）

试卷第6页，共16页

A.圆台母线A8与底面所成角为60。B.圆台的侧面积为12万

C.圆台外接球半径为2D.在圆台的侧面上，从C到E的最短路

径的长度为5

33.（2023•山东青岛・统考一模）在（2X-£]的展开式中,下列说法正确的是（）

A.常数项是1120B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256D.各项的系数之和为256

34.（2023•山东青岛・统考一模）下列说法正确的是（）

A.若直线“不平行于平面α,aaa,则α内不存在与“平行的直线

B.若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面夕，则α〃夕

C.设/,m,"为直线，tn,〃在平面α内，则"/_Le”是7,加且的充要条件

D.若平面αl■平面%,平面4_L平面α-则平面α与平面夕所成的二面角和平面％与

平面夕I所成的二面角相等或互补

35.（2023.山东青岛•统考一模）1979年,李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智

趣题L5只猴子分一堆桃子,怎么也不能分成5等份,只好先去睡觉,准备第二天再分.夜里

1只猴子偷偷爬起来,先吃掉1个桃子,然后将其分成5等份,藏起自己的一份就去睡觉了;

第2只猴子又爬起来,吃掉1个桃子后,也将桃子分成5等份,藏起自己的一份睡觉去了；

以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子?最后至少剩下多少个桃子?

下列说法正确的是（）

A.若第〃只猴子分得。个桃子（不含吃的）,则5b,l=4⅛τ-1（"=2,3,4,5）

B.若第〃只猴子连吃带分共得到4个桃子,则｛%｝（〃=1,2,3,4,5）为等比数列

C.若最初有3121个桃子,则第5只猴子分得256个桃子（不含吃的）

D.若最初有k个桃子,则Z+4必有55的倍数

36.（2023•山东青岛・统考一模）已知A、B是平面直角坐标系Xay中的两点，若

OA=λ<9B（Λ∈R）,OAOB=r2[r>Q）,则称B是A关于圆V+y?=产的对称点.下面

说法正确的是（）

A.点（U）关于圆χ2+丁=4的对称点是（-2,-2）

B.圆x?+y2=4上的任意一点A关于圆/+V=4的对称点就是A自身

22222

C.圆X+（y-⅛）=⅛（⅛>0）上不同于原点O的点M关于圆x+y=∖的对称点N的轨

迹方程是y=L

2h

D.若定点E不在圆U∕+>2=4上，其关于圆C的对称点为。，A为圆C上任意一点，

则黑为定值

三、填空题

37.（2021.山东青岛.统考一模）二项式（V-4）6展开式中的常数项为.（用数

X

字作答）

38.（2021.山东青岛•统考一模）已知非零向量α,b满足I笳=2∣i∣,且αJ√α+力，则向

量的夹角是.

39.（2021•山东青岛•统考一模）某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用

大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接

受大密度集中培训的55个学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员

一次考试通过的有30个.根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关“

犯错误的概率不超过.

n^ad-bc∖

(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)

P(κ2≥k)0.050.0250.0100.001

k3.8415.0246.63510.828

40.（2022.山东青岛.统考一模）（x-2y）5的展开式中V/的系数是.（用数字作

答）

41.（2022♦山东青岛・统考一模）已知αe（θ,］）,若tan（α+（）=2,则Sina=.

42.（2022•山东青岛・统考一模）截角四面体（亦称“阿基米德多面体”）的表面由四个正

三角形和四个正六边形组成，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小

正四面体而得到的几何体.若一正四面体的棱长为3,则由其截得的截角四面体的体积

试卷第8页，共16页

为______

43.(2023•山东青岛•统考一模)已知0(0,0),A(l,2),B(3-1),若向量机〃。4,且求

与OB的夹角为钝角，写出一个满足条件的切的坐标为.

44.(2023•山东青岛•统考一模)已知。为坐标原点，在抛物线V=2px(p>0)上存在两

点E,凡使得OM是边长为4的正三角形，则P=.

45.(2023∙山东青岛•统考一模)湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计

划在如图所示的四边形ABa>区域建一处湿地公园.已知4MB=90。，ZDBA=45°,

ZBAC=30o,ZDBC=60o,AB=2√Σ千米，则CD=千米.

四、双空题

46.(2021.山东青岛•统考一模)2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛

22

物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z：Y=4y的焦点为尸，圆尸：x+(y-l)=4

/2\

与抛物线Z在第一象限的交点为尸in,—,直线/：x=f(0<r<㈤与抛物线Z的交点

\4/

为A,直线/与圆F在第一象限的交点为B,则机=；.E43周长的取值范围为

47.(2022.山东青岛•统考一模)已知函数/(x)=e-*-e",若函数MX)="x-4)+x,

则函数MX)的图象的对称中心为；若数列｛%｝为等差数列,

ai+a2+a3+∙+α∣∣=44,Λ(β1)+A(a2)++Λ(αll)=

48.(2023•山东青岛•统考一模)设函数/(x)是定义在整数集Z上的函数，且满足

/(0)=l,/(1)=0,对任意的X,丫€2都有〃犬+刊+/@—力=2/。)/&),则

/(l2+22+∙∙∙+20232)

"3)=---------：/(12)+/(22)+-+/(20232)=

五、解答题

49.（2021.山东青岛.统考一模）从①S,,=〃[〃+向；②Sli=%,α4=axa1；③α∣=2,a4

是小,4的等比中项这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答.

已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,‘公差”不等于零，.

（1）求数列｛%｝的通项公式：

（2）若bn=%-%,数列出｝的前〃项和为此，求明.

50.（2021.山东青岛•统考一模）如图，在.ΛfiC中，ABlAC,AB=AC=2,点E,F

是线段BC（含端点）上的动点，且点E在点尸的右下方，在运动的过程中，始终保持

（1）写出。的取值范围，并分别求线段AE,A尸关于。的函数关系式；

（2）求△£?!F面积S的最小值.

51.（2021•山东青岛•统考一模）在四棱锥P-ABCD中，上4_1_平面ABC£>,ADHBC,

BCLCD,PA=AD-=2,CD=I,BC=3,点、M,N在线段BC上，BM=2MN=I,

ANCMD=E,。为线段收上的一点.

4

（2）若平面MQA与平面PAN所成锐二面角的余弦值为彳，求直线MQ与平面ABa）所

成角的正弦值.

52.（2021.山东青岛•统考一模）某商场每年都会定期答谢会员，允许年度积分超过指定

积分的会员参加特价购物赠券活动.今年活动的主题为“购物三选一，真情暖心里”，符

合条件的会员可以特价购买礼包A（十斤肉类）礼包8（十斤蔬菜）和礼包C（十斤鸡

试卷第10页，共16页

蛋)三类特价商品中的任意一类，并且根据购买的礼包不同可以获赠价值不等的代金券

2

根据以往经验得知,会员购买礼包A和礼包B的概率均为y.

(1)预计今年有400名符合条件的会员参加活动，求商场为此活动需要准备多少斤鸡

蛋合理;

(2)在促销活动中，若有甲、乙、丙三位会员同时参与答谢活动，各人购买礼包相互

独立，已知购买礼包A或礼包8均可以获得50元商场代金券，购买礼包C可以获得25

元商场代金券，设y是三人获得代金券金额之和.求y的分布列和数学期望.

2

53.(2021•山东青岛•统考一模)在平面直角坐标系中，已知椭圆C：J+^-=l(α>⅛>0)

的离心率为乎，右焦点为尸2,上顶点为&,点P(a,b)到直线a42的距离等于1.

(2)若直线/：，=依+%(m>0)与椭圆C相交于A,B两点，。为AB中点，直线OE,

DF分别与圆W：父+&-3〃?)2=加2相切于点心F,求NEwF的最小值.

54.(2021•山东青岛・统考一模)青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用,

衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率.曲线的曲率定义如下：若户«)是的导函

数，/"(χ)是用》)的导函数，则曲线y=∕(χ)在点(XJ(X))处的曲率

K=

…「.已知函数〃若则

/(x)="e'-1nΛ•-CoS(X-I)(α≥0,6>0),α=0,

(ι÷[rω]2)5

曲线y=∕(χ)在点(IJ⑴)处的曲率为史.

(I)求b；

(2)若函数存在零点，求。的取值范围；

(3)已知1.098<山3<1.099,e°wβ<1.050,^045<0.956.证明：1.14<lnπ<1.15.

55.(2022•山东青岛•统考一模)己知｛%｝为等比数列，％,%,%分别是下表第一、

二、三行中的数，且%,%,%中的任何两个数都不在下表的同一列，｛"｝为等差数列,

其前W项和为S“，⅛ο1=b3-2b,,S7=Ia3.

第一列第二列第三列

第一行152

第二行4310

第三行9820

(1)求数列｛4｝,｛4｝的通项公式;

⑵若ς,=[lg¼],其中[x]是高斯函数,表示不超过X的最大整数，如[lg2]=0,[lg98]=1,

求数列｛%｝的前100项的和几0∙

56.(2022•山东青岛•统考一模)在JIBC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,

(sinB-sinC)"=sin2A-sinBsinC.

(1)求角A；

⑵若b=5,BC边上的高为吆且，求边J

7

57.(2022.山东青岛•统考一模)如图①,在梯形ABC。中，AB//DC,AD=BC=CD=2,

AB=A,E为AB的中点，以DE为折痕把VAz)E折起，连接A8,AC,得到如图②的

几何体，在图②的几何体中解答下列两个问题.

试卷第12页，共16页

A

(2)请从以下两个条件中选择一个作为已知条件，求二面角O-AE-C的余弦值.

①四棱锥A-BCDE的体积为2；

②直线AC与EB所成角的余弦值为逅.

4

注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.

58.(2022•山东青岛•统考一模)已知。为坐标原点，点过动点W作直线x=-；

的垂线，垂足为点F,OWEF=Q,记W的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程;

⑵若A，βl,A2,层均在C上，直线A4，4鸟的交点为Alβ,lΛB2,求

四边形AA由与面积的最小值.

59.(2022•山东青岛•统考一模)规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各

一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.如果每一轮取到的

两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败.在抽取过程中，如果某一轮成功，

则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下

去，直至成功.

(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行

抽球试验的轮次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望；

(2)为验证抽球试验成功的概率不超过g,有IoOo名数学爱好者独立的进行该抽球试验,

记f表示成功时抽球试验的轮次数，丫表示对应的人数，部分统计数据如下：

t12345

y23298604020

求y关于f的回归方程y=2+α,并预测成功的总人数(精确到1)；

(3)证明:

Yjxiy,-nx∙y

附：经验回归方程系数：分=R---------,%=

∣=1

5_1_15

参考数据：ZX,2=1.46,X=0,46.X2=0,212(其中Xi=不，X=WZxQ.

60.(2022•山东青岛・统考一模)己知函数/(x)=e*+sinx-COSX-Or.

(1)若函数”x)在［0,+8)上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)设函数g(x)=/(X)Tn(I—x),若g(x)≥0,求α的值.

61.(2023•山东青岛・统考一模)已知函数/(x)=2cos2(yχ+sin2<υx(<υ>0),xl,巧是

/(x)的两个相邻极值点，且满足k-W∣=π.

⑴求函数”x)图象的对称轴方程；

⑵若/(C)=g，求sin2a∙

62.(2023•山东青岛・统考一模)已知等差数列｛4,,｝的前”项和为S"，公差d≠0,S2,S4,

S5+4成等差数列，α2,%,%成等比数列.

⑴求S“；

(2)记数列也,｝的前〃项和为2b“-T“=等，证明数列［々-J，为等比数列，并求

也｝的通项公式.

63.(2023•山东青岛・统考一模)如图，在RtjAB中，A4_L4?,且Λ4=4,AB=I,

将一R4B绕直角边必旋转,到处，得到圆锥的一部分，点。是底面圆弧8C(不

含端点)上的一个动点.

试卷第14页，共16页

P

(1)是否存在点。，使得BCLPD?若存在，求出Nc4。的大小；若不存在，请说明理

由；

(2)当四棱锥P-ASZJC体积最大时，求平面PC。与平面尸8。夹角的余弦值.

64.(2023♦山东青岛•统考一模)今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取

得了举世瞩目的非凡成就.某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开

展了航天知识测试(满分100分)，随机抽取了100名学生的测试成绩，按照［60,70),

［70,80),［80,90),［90,100］分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；

(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用P(X=Z)

表示这10名学生中恰有人名学生的成绩在［90,100］上的概率，求P(X=Z)取最大值时

对应的Z的值；

(3)从测试成绩在［90,100］的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机

挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛.现有甲、乙两人参加选拔,

在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立.记

甲、乙两人中进入复赛的人数为J,求J的分布列及期望.

65.(2023•山东青岛•统考一模)已知。为坐标原点，椭圆C:0+4=l(a”>O)的左，

i

右焦点分别为片，F1,A为椭圆C的上顶点，△A∕iK为等腰直角三角形，其面积为1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/交椭圆C于P,Q两点，点W在过原点且与/平行的直线上，记直线WP,WQ

的斜率分别为K，k2,AWPQ的面积为S.从下面三个条件①②③中选择两个条件，

证明另一个条件成立.

①S=Y1；②",=-《；③W为原点0.

22

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

66.(2023•山东青岛・统考一模)己知函数/(x)=lnx,圆C:/+(),_牙=2.

(1)若b=l,写出曲线y=∕(x)与圆C的一条公切线的方程(无需证明)：

(2)若曲线y=∕(x)与圆C恰有三条公切线.

⑴求b的取值范围；

(ii)证明：曲线。—炉=]上存在点7(孙矶,〃>0,〃>0),对任意χ>0,

f(mx)=f[x}+n-∖-b.

试卷第16页，共16页

参考答案：

1.C

【分析】先利用对数函数的值域和基函数的定义域化简集合A,B,再利用集合的补集和交

集运算求解.

【详解】因为集合A={y∣y=log2X,v>4}={y∣y>2},

所以%4={y∣y≤2},

"ɪ'

又B=<xeRy=χ2.=∣χ∈R∣χ≥θj,

所以则(QA)IB=[0,2]

故选：C

2.B

【分析】根据线面与面面平行、垂直的判定与性质即可判断结果.

【详解】A中，若“//£,根据面面平行的判定定理不能得到α〃?，A错；

B中，若a"β,根据面面平行的性质可得〃?///?,又因为，〃//用不能推出α〃/，B正确；

C中，若C万，根据面面垂直的性质不能推出，C错；

D中，若αJ∙∕,根据面面垂直判定不能推出〃D错

故选:B.

3.C

【分析】根据一条渐近线的倾斜角为£，由tang=?求得2,再由e=£=Jl+(21求解.

33baa∖{a)

【详解】因为双曲线N∙-E=l的一条渐近线的倾斜角为£，

Q-b-3

所以tan'=3=石=>?=,

3ba3

故选：C

4.B

【分析】因为Zo为纯虚数，化简可得a=—2,则z0=2i,设Z(x,y),用两点距离公式求解IZZM

的最小值即可.

答案第1页，共49页

a+2i(<7÷2Z)(1-Z)a+2+(2-Gi

【详解】由Z=--J八•儿、=——3~~J

e)lF+Tι(l-z)(l+i)2

因为复数Zo=与二(i是虚数单位，«eR)是纯虚数，所以α+2=0得a=-2

l+r

所以z°=2i,则4(0,2)

由于∣z∣=l,故设Z(x,y)且J+",-l≤y≤l

=χ2+-222

所以IZZoI∖∣(y2)=∖Jx+y+4-4y=y∣5-4y≥1

故Zo与Z之间的最小距离为1

故选：B.

5.A

【分析】分x≥0和x<0两种情况分别求解，再求并集即可.

【详解】当x≥0时，

Iog3(x+l)>ɪ=log,∖∕3=>x+1>ʌ/ɜX>Λ∕3-1

当XVo时，

2x>-=2-'=>x>-l.∙.-l<x<O

2

综上不等式/(χ)>:的解集为(-1,0)。(6-1,+8)

故选：A.

6.D

【分析】先算出点尸的坐标，再利用三角函数的定义计算即可.

【详解】因为tang;r=tan(7r+q)=tanq=6

所以p("τ)

所以侬"丁币=等

故选：D.

7.C

答案第2页，共49页

【分析】由"0)=0得α=l,y=∕(x+l)为偶函数得了(X)关于X=I对称，故周期为4,则

问题可解.

【详解】/(X)为奇函数,/⑼=0且“X)关于原点对称①

x∈[0,l]时/(x)=l0g2(x+α),Λlog2(0+α)=0,'.a=\

X∈[0,l]时/(x)=log,(x+l),

∙.∙y=∕(χ+ι)为偶函数关于y轴对称.

则/(X)关于X=I对称②

f(-x)=-f(x)

由①②可知『)√,v<

[/(x)=∕(2-x)

A/(X)=/(2-x)=-∕(x-2),∙∙./(x+2)=-∕(x).

；•/(x+4)=-/(x+2)=(X))=∕(x),

.∙∙f(x)周期为4,/(2021)=/(1)=Iog22=1,

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据函数的对称性来求周期是本题的关键点.

8.D

【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到“向与可的关系，从而判断出｛《,｝是

以T为公比的等比数列，再根据等比数列前八项和公式求出S“，得到S”的范围,即可求出.

,

【详解】因为y=2χ2,y=4x,k=4an,所以切线：y-2¾=4¾(x-¾)

令尸0,X*,.∙.%吟，¾=32,则q=64≠0,有芳=].

1

4√T1小「

.∙.｛%｝是以3为公比的等比数列∙S,,=L'了」=[28j',而0<6J≤g,

'^2

644S,,<128..∙.”z≥S"恒成立=zπ≥128,即加的最小值为128.

故选：D.

9.B

答案第3页，共49页

【分析】根据集合补集的概念及运算，即可求解.

【详解】由题意，全集U={-1,0,1,3,6},且A={0,6},

根据集合补集的概念及运算，可得。A={-1,1,3}.

故选：B.

10.B

【分析】结合二次函数的性质来求得。的取值范围.

【详解】依题意命题“Vx∈R,/+1≥(T'为真命题，

当α=0时，l≥0成立，

当4>0时，Or2+l≥0成立，

当a<0时，函数y=∕+ι开口向下，OX2+i≥0不恒成立.

综上所述，a≥0.

故选：B

11.C

【分析】利用复数的除法运算化简Z,从而求得∣z∣.

(3+4i)(Ji)=7+i=7J

(l+i)(l-i)222'

12.A

【分析】直接求出左，即可求出离心率.

【详解】因为由2_狂=8为双曲线，所以心0,化为标准方程为：?亍印

k

2+1=3,解得：k=l.

由焦距为6可得：c

所以双曲线为上-三=1.

81

所以双曲线的离心率为e=g=,=延

«√84

故选：A

答案第4页，共49页

13.C

【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到+工。+」〃+工4+工4=1，

22×33x44×55×6

求得。的值，代入函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意知：这个人原来持金为。斤，

第1关收税金为：斤；第2关收税金为。(l-g∙α=工斤；

2322×3

第3关收税金为?∙(l-2-3∙α=Jrα斤，

4263×4

以此类推可得的，第4关收税金为工•“斤，第5关收税金为Jτ∙“斤，

4x55x6

,,11111

所crκ以一&+---4+-------a-∖-----。+a=1↑,

22x33x44x55x6

即(1」+Li+1-,+!-1+1-3・O=(」)・〃=1,解得Q=Z

22334455665

/、[10x+I,x>lL66

又由"x=∣<n-，所以f6)=10xw+l=13.

[l-5x,0<x≤l55

故选：C.

14.D

【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第

三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可

【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为

0.6×0.6=0.36

二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为《0.6x0.4x0.6=0.288,

而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为0.36+0.288=0.648，

故选：D

15.A

【分析】化简/(X)解析式，根据三角函数图象变换求得g(x),由g(：J=O求得0的值.

【详解】/(x)=√2sinf2ωx-^+l,

/(x)的图象先向左平移:个单位长度，然后再向下平移1个单位长度,

得到函数g(x)=应Sin24x+：

答案第5页，共49页

故=血sin(竿+亨兀)=√∑sin(苧π)=0,

二「I40>-11

所以-----it=kπ,ω=k+-,keZ,

44

由于O<0><l,所以切=一.

故选：A

16.D

【分析】根据/(x)的奇偶性化简”S,c,结合/(X)的单调性确定“力，C的大小关系.

【详解】依题意/(x)是定义域为R的偶函数,

=/(-Iog23)=/(Iog23),

b5

=f^°Syβ-^=fɪog,2^-/(-Iog12)=/(Iog32),

(4\(4\

C=f-3^5=fɜʒ,

\/\/

Iog23>Iog22=1,

(口3/ɪ

23=8,35=3,23>,2>y,

11

3

1=Iog33>log,2>Iog33=-)

Λ1

0<33<3''=-,

3

由于〃x)在［0,y)上单调递增，所以α>b>c.

故选：D

17.