高考数学一轮复习讲义：椭圆、双曲线及抛物线（无答案）

椭圆、双曲线及抛物线

学问点一、椭圆

1、椭圆的定义

平面内与两个定点F∣,F,的距离的和等于常数(大于IKBI)的点的就迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦

点间的距离叫做椭圆的焦距.

集合？={加附尸］|+附尸2|=2",|尸尸2|=2。，其中AO,OO,且α,C为常数：

⑴当2α>∣BBI时,尸点的轨迹是椭圆；

(2)当2“=IQBI时,P点的轨迹是线段；

(3)当2αV∣尸1尸2∣时,一点不存在.

2、椭圆的标准方程和几何性质

Ag=I(o>b>O)方+'=I(QQO)

标准方程

ɪ

图形

范围-b<y<b-a<v<a—q≤r≤4Z,~b≤x<b,

对称性对称轴：坐标轴,对称中心：(0.0)

A∖(-a,O),A2(a,0),4(0,一⑶,42(0,4),

顶点

B∣(0,一6),S?(0,b)Bd~bfO)tB?(b,0)

性质

轴长轴ZlZ2的长为2α,短轴61色的长为2〃

Wsi一尸2∣=2C

离心率C=5e∈{OJ)

a,b,C的关系c2=fl2~Z?2

小题速通

22

1.(2019•浙江高考)椭圆］+宁=1的离心率是()

2.在平面直角坐标系附中，ZUBC上的点N,C的坐标分别为(-4,0),(4,0),若点8在椭圆会+］=1上，则SinZ+sinC

sinA+C

=()

4545

ʌ-ɜB-3C5D-4

X2V2

3.已知椭圆χ+嬴=l(m>0)的焦距为8,则〃7的值为()

A.3或√?TB.3C.√41D.±3或±√?T

4.若焦点在X轴上的椭圆，+}•=1的离心率为:，则机=.

清易错

,χ2∖p∙

1>求椭圆的标准方程时易忽视推断焦点的位置，而干脆设方程为余+R=∖(a>b>O).

2、留意椭圆的范围，在设椭圆a+E=I(QQO)上点的坐标为P(x,历时，[x∖<a,阳这往往在求与点尸有关的最值问

题中特别有用，也是简洁被忽视而导致求最值错误的缘由.

变式训练

γ-V24

1.已知椭圆q∙+±=ι的离心率为不则发的值为()

1919

A.-21B.21C.一行或21D.χ或一21

2.已知椭圆C:]+[=l的左、右焦点分别为Q,F1,椭圆C上的点/满足若点尸是椭圆C上的动点，则

百F∙瓦？的最大值为()

A.坐B.岁C.∣D.y

学问点二、双曲线

1、双曲线的定义

平面内与两个定点F∣,F,的距离的差的确定值等于非零常数(小于IFIBl)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做现

曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

集合尸={Λf∣∣∣WII-IMF2∣∣=2α},IFlBI=2c,其中α,C为常数且tf>0,c>0.

(1)当2α<∣Q尸2∣时,P点的轨迹是双曲线；

⑵当24=IQBI时.尸点的轨迹是两条射线；

(3)当20>∣尸1尸2∣时,P点不存在.

2、标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在X轴上的双曲线的标准方程为"一京=l(t7>0,⅛>0);

(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为力一次=l(4>0,b>0).

3、双曲线的性质

X2)>2

标准方程/一方=l(α>0,⅛>0)/一条=l(α>0,Λ>0)

图形

范围x≥α或x≤-",yGR底一α或yN。，x≡R

对称性对称轴：坐标轴,对称中心：原点

顶点4(-aθ),Aι(a.0)A∖(0i-a)tA2(Oia)

性质

ba

渐近线y=±-x=±x

'ayb

离心率e=~,e∈(l,+∞)

a,b,c的关系c2=a2+b2

线段小/2叫做双曲线的实轴，它的长∣4"2∣=2”;

实虚轴线段囱&叫做双曲线的虚轴，它的长|8i&|=2b；

“叫做双曲线的实半轴长，6叫做双曲线的虚半轴长

小题速通

1.（2019•天津高考）已知双曲线点一g=l（a>O,b>0）的左焦点为广，离心率为√Σ若经过F和P（0,4）两点的直线平行于双曲

线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）

2.已知双曲线过点（2,3）,其中一条渐近线方程为y=√5x,则双曲线的标准方程是（）

3.（2019・张掖一诊）如图，Fι,B分别是双曲线六一右=1（。>0,b>0）的左、右焦点，过FI的直线/与双曲线的左、右两

支分别交于点5,4若ZUBB为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

ASb-4裾

C辛D,√3TTV

4.已知尸为双曲线C:一W=I的左焦点，P,。为C上的点.若P0的长等于虚轴长的2倍，点/（5,0）在线段P0上，

则APQF的周长为.

清易错

1、留意区分双曲线中的α,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c关系，在椭圆中层=〃+c2,而在双曲线中¢2=*+〃

2、易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系.当焦点在X轴上，渐近线斜率为当焦点在y轴上，渐近线斜率为±*

变式训练

1.双曲线5⅛Ξ一亲=I（O<m<3）的焦距为（）

A.6B.12C.36D.2√36-2m2

2.已知直线/:4x+3厂20=0经过双曲线C:J-p=l的一个焦点，且与双曲线C的一条渐近线平行，则双曲线C的

实轴长为（）

A.3B.4C.6D.8

学问点三、抛物线

1、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线/（/不经过点尸）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线

I叫做抛物线的准线.

2、抛物线的标准方程与几何性质

y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py[p>0)X2=~2py[p>0)

标准方程

P的几何意义：焦点F到准线/的距离

图形

顶点0(0,0)

对称轴y=0X=O

哈-电，《

焦点ο)K2'θ90,-f

离心率e=l

准线方程X=2「2

-——2—2y≡→

范围x≥0,y∈Rx<0,y∈Ry≥0,XeRy<0,x∈R

开口方向向右向左向上向下

焦半径（其中P（X0,次））∖PF∖=~y0+^

∣PF∣=XO÷2∣PF∣=-x0÷2∣PF∣=^O÷2

小题速通

、χ2v2

1.已知抛物线顶点在原点，焦点为双曲线石一γj=l的右焦点，则此抛物线的方程为（）

A.y2=2xB.y2=4xC.y2=IOxD.y2=20x

2.若抛物线y=4f上的一点M到焦点的距离为1,则点历的纵坐标是（）

A.T7B.77CAD.0

16168

3.若点尸为抛物线y=2x2上的动点，b为抛物线的焦点，则IPA的最小值为（）

A.2B.zC.τD.,∣

Z4O

4.已知抛物线V=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为.

清易错

1、抛物线的定义中易忽视”定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直

线.

2、抛物线标准方程中的参数p,易忽视只有p>0才能证明其几何意义是焦点户到准线/的距离，否则无几何意义.

变式训练

1、动圆过点（1,0）,且与直线x=-l相切，则动圆的圆心的轨迹方程为

2、抛物线8./+^=0的焦点坐标为.

学问点四、直线与圆锥曲线的位置关系

1、直线与圆锥曲线的位置关系

推断直线/与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线/的方程Zx+8y+C=0（4,B不同时为0）代入圆锥曲线C的方

程F（x,y）=0,消去式也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量力的一元方程.

7[Ax+By+C=Q,

北尸X,y=0,消去y,得“x2+⅛x+c∙=0.

⑴当a≠0时，设一元二次方程αχ2+⅛r+c=0的判别式为/,则/>00直线与圆锥曲线C相交;

/=Oo直线与圆锥曲线C相切;

∕<0o直线与圆锥曲线C相离.

(2)当a=0,厚O时，即得到一个一次方程，则直线/与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线,

则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是ifr;若C为抛物线，则直线/与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.

2、圆锥曲线的弦长

设斜率为代的直线/与圆锥曲线相交于两点、则

t≠0)Cn,B,A(x∖,yl),B(X2,y2),

P4β∣=√l+Z-∣x∣-X2∣

--∖∣1+k2∙∖∣X∣÷X22-4X∣X2

=ʌyi+⅛lyι-ʃ2∣=ΛJ1+∕∙J八+"2-4yιj⅛

小题速通

1.直线y=Aχ-%+l与椭圆/+5=1的位置关系为()

A.相交B.相切C.相离D.不确定

2.过抛物线χ2=8y的焦点尸作直线/交抛物线于4,B两点、,若线段ZB中点”的纵坐标为4,则∣J8∣=.

3.已知双曲线C∙.ʒ-p=l(a>0,6>0)的渐近线与圆(x—2/+y2=1相交，则双曲线C的离心率的取值范围是.

清易错

1、直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不愿定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线

与双曲线相交于一点.

2、直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与抛物线的对称轴平行时也相交于一点.

变式训练

hX2p2

1.直线尸7+3与双曲线,一台=1的交点个数是()

A.1B.2C.1或2D.0

2.过点((M)作直线，使它与抛物线炉=4x仅有一个公共点，这样的直线有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

过关检测练习

一、选择题

1.抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，若其上一点P(m,l)到焦点的距离为5,则抛物线的标准方程为()

A.y=8χ2B.y=l6x2

C.x2=SyD.x2=16y

2

χ2p

2.椭圆正+大=1的焦距为2巾，则〃7的值为()

A.9B.23

C.9或23D.16一由或16+S

3.过抛物线y2=4x的焦点的直线/交抛物线于尸(Xy∖),0(x2,/)两点，假如X∣+X2=6,则『。|=()

A.9B.8

C.7D.6

若双曲线ζ2的左、右焦点分别为为双曲线上一点，满足而［示的点尸依次记为

4.C:J-y=lF∣,F2,PC=0P1,P2,

尸3,尸4,则四边彩尸|尸223尸4的面积为()

A^B.2√5

Cr^-D.2√6

v2χ2

5.若双曲线上一F=Im>0,b>0)的离心率为限,则其渐近线方程为()

A.y=±3xB.尸土乎

C.γ=±2xD.>=±；X

6.已知椭圆C:/+∣=l(α>8>0)的左、右焦点为Q,F2,离心率为坐，过B的直线/交C于4B两点、,若AARB的

周长为4小，则椭圆C的方程为()

A.y+^=1B.y+j,∙2=1

2222

D+1

c∙⅞+^8=1∙⅞4=

7.已知双曲线卷一3=1的右焦点为凡若过点尸的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是

()

A(一坐,唱B∙(-√3-√3)

C--坐,阴D.[-√3,√3]

8.已知Q,尸2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且NQP尸2=；,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最

小值为()

C.1D.√2

二、填空题

v2

9.(2019•北京高考)若双曲线x2-j=l的离心率为S，则实数加=.

X2y23

10.(2019•全国卷□)双曲线靛一W=l(α>O)的一条渐近线方程为J=尹，则Q=.

11.与椭圆§+彳=1有相同的焦点，且离心率为V的椭圆的标准方程为.

2

12.(2019・西安中学模拟)如图，过抛物线y=%的焦点厂的直线/与抛物线和圆i)2=ι交于4&c,。四点，

则方>~DC-.

三、解答题

13.已知椭圆C:a+a=l(0>6>0)的短轴长为2,且函数y=x2—缁的图象与椭圆C仅有两个公共点，过原点的直线/

与椭圆C交于Λ/,N两点、.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点尸为线段MN的中垂线与椭圆C的一个公共点，求APMN面积的最小值，并求此时直线/的方程.

14.已知点F为抛物线E-.炉=2川仍>0)的焦点，点/(2,⑼在抛物线E上，且MF=3.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知点G(—1,0),延长4尸交抛物线E于点8,证明：以点F为圆心且与直线G月相切的圆必与直线GS相切.

高考探讨课一、椭圆命题3角度——求方程、研性质、用关系

全国卷5年命题分析

考点考查频度考查角度

椭圆的标准方程5年2考求椭圆的标准方程

椭圆的几何性质5年3考求离心率，求参数

直线与椭圆的位置关系5年6考弦长问题、面积最值、斜率范BI

题型一、椭圆的定义及标准方程

例、(1)若椭圆C:卷+m=1的焦点为Q,尸2,点尸在椭圆C上，且IPQl=4,则NEPF2=()

ʌπe兀

A-6B§

C⅞_5π

DT

(2)(2019•大庆模拟)如图，已知椭圆C:ʒ+p=l(a>⅛>0),其中左焦点为F(一2小，0),P为C上一点，满足QPl=I。尸

且IPFI=4,则椭圆C的方程为()

1

A∙⅛+^5=1It

c∙⅛+w=1Dm⅛=1J

方法技巧

(1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再依据条

件建立关于。，b的方程组.假如焦点位置不确定，可把椭圆方程设为蛆2+〃产=1(机>o,n>o,加制)的形式.

(2)椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦

定理.

即时演练

∖p∙χ2

1.在平面直角坐标系XQy中，P是椭圆号+1=1上的一个动点，点4(1』)，B(0,-1),则IRiI+∣P5∣的最大值为()

A.2B.3

C.4D.5

2.已知K,B是椭圆C：a+本=I(Ab>0)的两个焦点，尸为椭圆C上的一点，且尸Flj,尸尸2.若△尸E尸2的面积为9,则6

题型二、椭圆的几何性质

χ2v2b

例、(1)(2019・江苏高考)如图，在平面直角坐标系XQy中，F是椭圆滔+订=l(α>b>O)的右焦点，直线产］与椭圆交于8,

C两点，且乙SFC=90°,则该椭圆的离心率是.

ɔ2

(2)如图，椭圆5+1=l(α>b>0)的左、右焦点分别为Q,F2,过B的直线交椭圆于P,0两点，PQA-PFi.

①若FFII=2+也，∣PF2∣=2-√2,求椭圆的标准方程；

②若∣P0∣=4PB且为<*求椭圆离心率e的取值范围.

方法技巧

椭圆几何性质的应用技巧

(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图森进行分析，即使画不出图再，思索时也要联想到一个图彩.

(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，-a<x<a,-h<y<h,O<e<∖,在求椭圆相关量的范围时，要留

意应用这些不等关系.

即时演练

1.已知椭圆E的左、右焦点分别为Q,F2,过Fl且斜率为2的直线交椭圆E于P,。两点，若ABPB为直角三角形，

则椭圆E的离心率为.

2.已知椭圆C:S+g=l(a>b>O)的左、右焦点分别为F∣,尸2,点P为椭圆C与y轴的交点，若以Q,F2,P三点为顶

点的等腰三角形确定不行能为钝角三角形，则椭圆。的离心率的取值范围是.

题型三、直线与椭圆的位置关系

例、(2019•天津高考)设椭圆宗+==l(4>6>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为行已知/是抛物线产=2/»仍>0)的焦点，

F到抛物线的准线/的距离为;.

(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；

(2)设/上两点P,0关于X轴对称，直线NP与椭圆相交于点3(8异于点X),直线80与X轴相交于点D若A∕PO的

面积为半，求直线/尸的方程.

方法技巧

(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与

系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用"点差法”解决往往会更简洁.

(2)设直线与椭圆的交点坐标为4(xι,y∖),5(X2,次)，则.用=，(l+K)[(χ∣+χ2)2-4XM

=N(I+55+及)2—4yιg](%为直线斜率).

[提示]利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的状况下进行的，不要忽视判别式.

即时演练

1.设椭圆会+g=l(a>fr>0)的两焦点为Q,F2,斜率为左的直线过右焦点与椭圆交于B,与y轴交于C,B为CFi

的中点，若冏骂则椭圆离心率e的取值范围为.

2.(2019・江苏高考)如图，在平面直角坐标系XOy中，椭圆E：a+*=l(α>6>0)的左、右焦点分别为E,尸2,离心率为:，

两准线之间的距离为8.点尸在椭圆E上，且位于第一象限，过点Q作直线PQ的垂线∕ι,过点尸2作直线尸尸2的垂线A

(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线A,/2的交点。在椭圆E上，求点P的坐标.

高考真题演练

1.(2019∙全国卷□)已知椭圆C:S+∕=l(α>6>0)的左、右顶点分别为小，A2,且以线段44为直径的圆与直线瓜一砂

+2时=0相切，则C的离心率为()

A坐B坐C坐D.∣

2.(2019・全国卷□)设4,8是椭圆C:全+]=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足N4WB=120。，则m的取值范围

是()

A.(0,l]U[9,+∞)B.(0,√3]U[9,+∞)C.(0,l]U[4,+∞)D.(0,√3]U[4,+∞)

3.(2019•全国卷口)直线/经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到/的距离为其短轴长的;，则该椭圆的离心率为

()

A.gB.；C.∣∙Dt

4.(2019・全国卷□)已知《是椭圆E:"+5=1的左顶点，斜率为％(4>0)的直线交E于4,"两点，点N在E上，MAl.

NA.

(1)当|4M=MNI时，求WN的面积；(2)当20M=M川时，证明：√3<Λ<2.

5.(2019•全国卷□)已知椭圆C:9x2+^2=w2(m>0),直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点4,B,线段

/8的中点为M.

(1)证明：直线。河的斜率与/的斜率的乘积为定值；

(2)若/过点(蓝，"，，延长线段OM与C交于点P,四边形。/尸8能否为平行四边形？若能，求此时/的斜率；若不

能，说明理由.

高考达标检测

一、选择题

1.假如/+02=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数上的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(O,+∞)

ɔ2

2.已知直线2Ax—y+l=O与椭圆，+弃=1恒有公共点，则实数的取值范围为()

A.(1,9]B.[1,+∞)

C.[1,9)U(9,+∞)D.(9,+oo)

3.椭圆a+g=l(a>z>°)的中心在原点，Fi，B分别为左、右焦点，A,8分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一

点，且尸尸i_Lx轴，PF2//AB,则此椭圆的离心率为()

ʌɜ

O

4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点Q,F2,它们在第一象限的交点为4,且“尸IL4B,ZJF∣F2=30,则椭圆与双曲线

的离心率之积为()

A.2B.√3

C.∣D坐

2________

5.已知P(X0,M))是椭圆C:亍+产=1上的一点，Fi,凡是C的左、右焦点，若丽•游<0,则Xo的取值范围为()

明

AG坐噌B∙T

3,3JDT用

6.中心为原点，一个焦点为尸(0,5g)的椭圆，截直线y=3χ-2所得弦中点的横坐标为;，则该椭圆方程为()

A⅛+⅛=1B⅛+⅛=1

C⅛+⅞=1D⅛+⅛=1

二、填空题

7.若尸B分别是椭圆E：χ2+f=i((χb<i)的左、右焦点，过点Fl的直线交椭圆E于4B两点、.若MQI=3/因，AF2

J_x轴，则椭圆E的方程为.

8.已知过点M(∖,一1)的直线/与椭圆于+[=1相交于A,B两点，若点M是AB的中点，则直线/的方程为

72

9.椭圆市+5=1的左、右焦点分别为a,Fi,过椭圆的右焦点同作一条直线/交椭圆于P,。两点，则M1P。内切圆面

积的最大值是.

三、解答题

10.已知尸1,尸2是椭圆a+g=l(α>b>0)的左、右焦点，点P(-l,e)在椭圆上，e为椭圆的离心率，且点M为椭圆短半

轴的上顶点，AWQ尸2为等腰直角三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点B作不与坐标轴垂直的直线/,设/与圆χ2+/=4+廿相交于4,S两点，与椭圆相交于C,。两点，当天才•百N

=2且∕∈[∣,l]时，求ABCQ的面积S的取值范围.

11.已知尸1,尸2分别是长轴长为2碑的椭圆C:a+g=l(a>Q0)的左、右焦点，Ai,小是椭圆C的左、右顶点，P为

椭圆上异于4,出的一个动点，O为坐标原点，点M为线段Rh的中点，且直线叫2与OM的斜率之积恒为一".

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点Q且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆于4,B两点、,线段N8的垂直平分线与X轴交于点N,点N的横坐标

的取值范围是(一(，0),求线段月B长的取值范围.

12.已知椭圆C:a+W=I(QQO)的离心率为坐焦距为2啦，过点。(1,0)且不过点E(2,l)的直线/与椭圆C交于4

B两,点,直线NE与直线x=3交于点

(1)求椭圆C的方程：

(2)若48垂直于X轴，求直线"5的斜率：

(3)试推断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由.

实力提高训练题

已知椭圆M:1(Ab>0)的右焦点尸的坐标为(1,0),P,0为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF_LQF,C为

P0中点，线段P。的垂直平分线交X轴，y轴于点Z,8(线毁尸0不垂直X轴)，当0运动到椭圆的右顶点时，IPFl=坐.

(1)求椭圆M的方程；(2)若SMBO:SABCF=3:5,求直线P。的方程.

高考探讨课二、双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质

全国卷5年命题分析

考点考查频度考查角度

双曲线的定义及标准方程5年1考求双曲线的标准方程

双曲线的几何性质-5年7考-由离心率求渐近线、求离心率、求实轴长范围问题

直线与双曲线的位置关系未独立考⅛

题型一、双曲线的定义及标准方程

例、(1)设尸1,B是双曲线工2—石=1的两个焦点，户是双曲线上的一点，且IPFlI=尸2∣,则APB∕72的面积等于()

A.4√2B.8√3C.24D.48

(2)已知双曲线C:J-p=l(a>O,b>0)的离心率为2,且右焦点到一条渐近线的距离为小，则双曲线的方程为()

A］一(=1B.x2—^=1C.ʃ2-y=1D.x2~^^-1

方法技巧

解双曲线定义及标准方程有关问题的2个留意点

(1)应用双曲线的定义需留意的问题：

在双曲线的定义中要留意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的确定值为一非零常

数，且该常数必需小于两定点的距离若定义中的“确定值''去掉，点的轨迹是双曲线的一支.同时留意定义的转化应用.

(2)求双曲线方程时一是标准形式推断；二是留意α,dc的关系易错易混.

即时演练

1.若双曲线宁一］|=1的左焦点为尸，点P是双曲线右支上的动点，/4(1,4),则IPFI+1以I的最小值是()

A.8B.9

C.10D.12

2.已知双曲线宏一*=l(α>0)的一条渐近线方程为y=2x,则该双曲线的焦距为.

题型二、双曲线的几何性质(渐近线与离心率问题)

双曲线的渐近线与离心率问题是高考命题的热点.

常见的命题角度有：

(1)已知离心率求渐近线方程；

(2)由离心率或渐近线求双曲线方程；

(3)利用渐近线与已知直线位置关系求离心率.

角度一：已知离心率求渐近线方程

1.已知双曲线C:a一点=l(α>0,Qo)的离心率为杀则C的渐近线方程为()

A.y=?B.y=±gxC.尸土5D.y=±x

角度二：由离心率或渐近线求双曲线方程

2.(2019•全国卷口)已知双曲线C:点一方=l(α>0,b>0)的一条渐近线方根为y=坐x,且与椭圆为+餐=1有公共焦点，则

。的方程为()

Aq_且=1B--^=1c--∙^=lD^--^=I

A-8101B451c541LL431

角度三：利用渐近线与已知直线位置关系求离心率

3.双曲线^∣-p=l(a>0,b>0)的左、右焦点分别为尸F2,直线x=α与双曲线Λ/的渐近线交于点P,若sin/PFR

=；,则该双曲线的离心率为.

方法技巧

解决有关渐近线与离心率关系问题的2个留意点

(1)已知渐近线方程)，=掰k,若焦点位置不明确要分∣"7∣=t或ImI=称探讨.

(2)留意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用.

题型三、直线与双曲线的位置关系

例、已知双曲线C:ʒ-^7=1(a>0,加>0)的焦距为4,离心率为2,

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线/:y=Ax+机(A≠0,加邦)与双曲线C交于不同的两点C,D,假如C,。都在以点4(0,-1)为圆心的同一个圆

上，求实数机的取值范围.

方法技巧

直线与双曲线的位置关系推断方法和一个技巧

(1)推断方法

直线与双曲线的位置关系的推断与应用和直线与椭圆的位置关系的推断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消

元后，留意二次项系数是否为0的推断.

(2)一个技巧

对于中点弦问题常用"点差法”，但须要检验.

^⅞时演炼一

已知双曲线今一本=l(α>0,b>0)的右焦点为F(c,0).

(1)若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程；

(2)经过原点且倾斜角为30。的直线/与双曲线右支交于点X,且尸是以NF为底边的等腰三角形，求双曲线的离心

率e的值.

高考真题演练

1.(2019∙全国卷口)已知F是双曲线C:ɪ2—：=1的右焦点，P是C上一点，且尸产与X轴垂直，点力的坐标是(1,3),则2UPF

的面积为()

1Cl八3

ʌaɜB，2eɜD，2

χ2