浙江省温州市2023届高三下学期返校统一测试数学（解析版）

2022学年高三第二学期温州市普通高中返校统一测试

数学试题

选择题部分（共60分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.命题“太wR,/=1”的否定形式是（）

A.3x∈R,x≠lfiKx≠-lB.HxeR,x≠↑S,x≠-∖

C.VxeR,XHI或XH-ID.VxeR,XHI且x≠T

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称命题的否定求解即可.

【详解】解：由特称命题的否定形式得：命题“3XeR,V=-的否定形式是：VχeR,x≠↑^x≠-↑.

故选：D

2.已知X∈C,下列选项中不是方程d=ι的根的是（）

1

ʌ1riɪʌ/ɜ.rD6

A.ID.—+ɪC.——1-JO.-------------ɪ

222222

【答案】B

【解析】

【分析】利用因式分解与复数的性质求根即可.

【详解】因为ΛJ=I,χ∈c,

所以χ3一1=0，即（X-D（X2+x+l）=0,

M用-1?ʌ/ʒ10√3i

解得X=1或X=------'——=--?,

222

故选项ACD中是方程d=ι的根，B中不是.

故选：B

3.A,8是OC上两点，A8∙Ad=4,则弦A3的长度是（）

A.1B.2C.2√2D.不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量的数量积运算及余弦定理求解即可.

【详解】设OC半径为，，NACB=

则AB.AC=(CB-CA)∙(-⅛)=-r2cos(9+r2=4'

由余弦定理知AB=√C42+CB1-2CA-CBCOSθ=√2r2-2r2cos6»=√2^4=2√2，

故选：C

4.通过长期数据研究某人驾驶汽车的习惯，发现其行车速度V(公里〃卜时)与行驶地区的人口密度P(人

/平方公里)有如下关系：v=5θ∙(θ.4+e^ooo°4p),如果他在人口密度为。的地区行车时速度为65公里/

小时，那么他在人口密度为巴的地区行车时速度约是()

2

A.69.4公里/小时B.67.4公里/小时C62.5公里/小时D.60.5公里/小时

【答案】B

【解析】

【分析】由题知e<oo0<M"=O.9,进而得e-°∙°0∞2"=J而，进而代入计算即可得答案.

【详解】解：由题知65=50∙(0.4+eQ≡4"),整理得广颂004"=0.9

ɪ

0000

所以e-0.00002</=(e~∙°4"F=八百

所以，当他在人口密度为1的地区行车时速度V=50•(0.4+e-υo∞020)=5θ∙(θ.4+√(λ9)≈67.4公里/小

时，

故选：B

5.(――χ+l)(l+χ)9展开式中含χ5的系数是()

A.28B.-28C.84D.-84

【答案】C

【解析】

【分析】根据(l+x)9展开式的通项，分别求出展开式中含/、％4、χ5的项的系数，即可得出答案.

【详解】(l+x)9展开式的通项为4+I=GI∙p-,.χr=q∙χ"r=0,l,2,,9.

当d-X+l选取/时，由已知可得，应选取(l+x)9展开式中含/的项，

由r=3,可得4=C>χ3=84χ3;

当x2-x+l选取-X时，由已知可得，应选取(l+x)9展开式中含/的项，

由厂=4,可得n=C>∕=126χ4;

当d-x+1选取1时，由已知可得，应选取(l+x)9展开式中含炉的项，

由r=5,可得4=C>χ5=126X5.

所以，(Y-χ+l)(l+χ)9展开式中含15的系数是1x84-1x126+1x126=84.

故选：C.

6.某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用IO合一混管检

验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验.记10合一混管

检验次数为4,当E(G=Io时，10名人员均为阴性的概率为()

A.0.01B.0.02C.0.1D.0.2

【答案】C

【解析】

【分析】依据题意写出随机变量J的的分布列，利用期望的公式即可求解.

【详解】设10人全部为阴性的概率为P,混有阳性的概率为I-P,

若全部为阴性，需要检测1次，若混有阳性，需要检测11次，

则随机变量J的分布列

I11

PPI-P

E(O)="+11(1—")=10,解得p=0∙l,

故选：C.

7.下列实数中，最小的是O

A.sin2().1B.sin0.12C.tan20.1D.tan0.12

【答案】A

【解析】

【分析】利用作差法结合三角函数同角三角关系式与正余弦性质，可得Xe((U)时，tanx>sinx,

tan2χ>si∏2χ,即可得tanO.F>sinO.V,tan?。」>siι√O.I，再构函数/(X)=SiYx—SinX2,χ∈(θ,i),

求导，结合不等式放缩判断导数符号，即可得函数单调性从而可判断siι√().l与sin().F的大小，即可得答

案.

【详解】解：当Xe(0,1)时∙，tanX—SinX=sinX=SirIX(I_c°s")，

cosxcosx

其中SinX>。,COSX>。，所以tanx-SinX>0,则tanx>sinx,BPtan0.12>sinθ.l2;

当x∈(0,1)时，tanx>O,sinx>O,所以tan-—si/χ=(tanx+sinx)(tanx-sin%)>0,

则tan'AsiMχ,即tan20.1>sin20.1;

设/?(%)=sinx-x,xE(0,1),所以/T(X)=COSΛ-1<O,A(%)在(0,1)上单调递减，

所以MX)<力(0)=。，即SinXV%,

又y=cosx在(Oj)上单调递减，且χ∈(0,l)时，χ2<χ,所以COSX2>COSX，

作差法有sii?0.1-SinOl2,⅛∕(x)=sin2x-sinx2,x∈(0,l),

所以/'(X)=2sinxcosx-2XCOSX2<2xcos%—2xcosX2=2x(COSX-COSX<O,

则函数/(x)在(0,1)上单调递减，贝∣J∕(x)<∕(0)=0,所以SiVx<sind,即SirsiVSinOf;

综上，可知Sin20.1最小.

故选：A.

22

8.直线/与双曲线二-4=1(4>0力>0)的左，右两支分别交于点A,B,与双曲线的两条渐近线分别交

cΓb

于点C,D(A,C,D,B从左到右依次排列)，若Q4"LQB,且IACI,∖CD∖,|。8|成等差数列，则双

曲线的离心率的取值范围是O

J孚+°°]B,[2√2,√iθ]C.[®,2司D,[^0,+∞)

-√2

【答案】D

【解析】

【分析】先设直线方程及四个点，联立后分别求出两根和和两根积，再应用IAC∣CDL成等差

数列，列式求解即可

【详解】设4(%,,必)，3(工2，%)，0(%3，%)，。(％4，%)，直线48：丫=丘+加，

1

s-2akm

y-kx-t-m^+X2=a2k2-b2

可得(人2_〃2&2)尤2_2%2如_々2加2_々262=0,贝人

联立d/_

〔/卞=1a2m2+a2b2

2=H

-2a2km

y=kx+m

联立χ2y2可得仅2-a2k2^x2-2ka2mx-a2m2=O,则<

22②

I/一瓦=°anv

XiXi=CΓk2-b2

ci1b2{k2+1)

因为。4_1_。5,所以x∣∙¾+(g+"z)(g+"z)=0,所以租2>0③

b2-a2

因为m2>0,所以b2>∕,所以/>2,即得e>J5④

因为七+/=玉+%，所以Co中点为AB的中点，所以IAq=IB",

因为IAq,ICQI,忸q成等差数列，所以IACl=ICq=IBq,又因为斗，c,。，台从左到右依次排列，所

以IABI=3|叫

b2(b2-9a2)

所以归-Zl=3|&一项|，代入①②③有如=

a2(9b2-a2

因为女220且e2>2,又因为〃>/,则9">∕所以〃≥%z2,所以02—129,即eN√iU

综上，e>√10

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得O分.

(兀、

9.设函数激尢)=SinS+三(。>0),则()

I5√

A.若。=1,则/(χ)在0,|上单调递增

B.若0=2,则/O)在［0,π］有2个极值点

C.若0=3,则/(χ)的图象关于中心对称

D.若/(x+6π)=∕(x),则。的最大值为:

【答案】BC

【解析】

【分析】根据正弦型函数的单调性、对称性、最值、周期判断ABCD选项即可.

【详解】当⑦=1时，/(x)=Sin(X+g],0<χ≤-,.∙.2E<X+Ξ≤2Ξ,故/(X)在∣^0,[]上不单调,

V5)25510L2J

故A不正确；

当。=2时，/(x)=sinf2x+^L∙,0≤x≤π,.∙.-≤2x+-≤-f

∖ɔ✓555

πTTTT3JT3TT13TT

当2x+乙=巳或2彳+二二一时，函数取得极值，故函数有2个极值点一，—,故B正确;

52522020

当°=3时，/(x)=sin3x+^,X=-X代入，可得/(-K)=Sin(3x(-微)+g)=sin()=0,即

∖ɔ)151ɔ\155)

[-]⅛'°J为函数图象的一个对称中心’故C正确；

2π1

当/(x+6π)=∕(x)时，6π>T=-,所以。2—,故D错误.

ω3

故选：BC

10.《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准，它适用于全

日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织4000名大一新生进行

体质健康测试，现抽查200名大一新生的体测成绩，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为

[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100).则下列说法正确的是()

B.估计该样本的均值是80

C.估计该样本的中位数是86

D.若测试成绩达到85分方可参加评奖，则有资格参加评奖的大一新生约为2200人

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据频率分布直方图，可判断A项；根据频率分布直方图，估计出平均数，可判断B项；根据频

率分布直方图，估计出中位数，可判断C项；根据频率分布直方图，测试成绩达到85分的频率为0.55,

即可估算有资格参加评奖的人数.

【详解】对于A项，由频率分布直方图可得，最高小矩形为［85,90),所以可估计该样本的众数是

85+90=87.5,故A项正确；

2

对于B项，由频率分布直方图,可估计该样本的均值是0.()20x5x72.5+0.030x5x77.5+0.040x5x82.5

+0.050×5×87.5+().035×5×92.5+0.025×5×97.5=85.625，故B项错误；

对于C项，由频率分布直方图可得,成绩在［70,85)之间的频率为().()2()*5+().()30*5+().040*5=0.45,

在［70,90)之间的频率为0.020×5+0.030×5+0.040×5+0.050×5=0.7,

所以可估计该样本的中位数在［85,90)内.

设中位数为X,则由0.45+------χ0.25=0.5可得，x=86,故C项正确；

90-85

对于D项，由频率分布直方图可得,测试成绩达到85分的频率为0.050x5+0.035x5+0.025x5=0.55,

所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为4000x0.55=2200人，故D项正确.

故选：ACD.

11.如图，ABCZ)为等腰梯形，AB//CD,且AD=。C=CB=BAB=2,44∣,BBi,CC1,DD1

均垂直于平面ABCD.DD1=BBi=CC1-AA1=2,则以下结论正确的是()

A./434=90°B.NA4G有可能等于90。

2

c.最大值为60。D.M=3时，点4，B1,C1,。共面

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图形，利用线面垂直、勾股定理、余弦定理和四点共面的相关知识逐项进行分析即可求解.

【详解】对于A，过。作Z)ElAB，连接DB,DlBt,

C

因为ABCf)为等腰梯形，且AB=2CD,CD=2,所以A£=1，则。E=G,在RtAOEB中，

BD=4DE1+EB1=2√3>所以AB?=AD2+BD2'

则BDLAD，由OA垂直于平面ABCr>，且ADU平面ABC。，则。R，80,DD1AD=D,

DDl,ADU平面A，所以BD上平面AA。。,ΛtZ),⊂平面Λ1A。。，所以Bo_LAQ∣.因为BB,,

。。均垂直于平面ABC。，所以BBJ∕DD∣,又因为8月=。A,所以四边形88QO为矩形，所以

DB//DiBt,则BQLAR,所以幺24=90。，故选项A正确；

对于B，过点A分别作AQLC£,4尸，8片，过点用作B/LCG,连接AC,

C

由选项A的分析可知：AC=BD=26,因为AA∣,BB-CCl,Oa均垂直于平面A5C。，且

DD1=BBl=CCi-AAi=2,所以4Q=AC=26,QG=2,在心4QC∣中，

222

AC1=JAQ2+QQ2=4,设AA1=心则CG=2+f,GP=r，所以4G=y∣B1P+PCt=√4+Z,

22

同理A4=y∣AiF+FB-=J16+(2T)2=√r-4r+20,

若NABIG=90°,则AG?=ABj+gC；，即16=2*一4/+24，也即产-2f+4=0,因为

A=2-4xlχ4=-14<0,所以方程无解，则NABIG不可能等于90。，故选项B错误；

对于C,过4作AG_L£>A，

由题意可知：DlG=2-f,则Λιq=jAG2+GDj=y]4+(2τ)2=J/_今+8,由选项B分析可得:

2

4B1=√Z-4∕+20，由选项A的分析可知：BlDl=BD=2yβ,

设NQA耳=&，在-AA与中，由余弦定理可知:

AB2+AD2-BD22r2-8r+28-12√z2-4z+8

131i1i

cosa=-ɪ--------------=―l=~l=/

2A4∙AR2√r2-4z+20∙√∕2-4r+8√r2-4r+20

Vr-4r+8m1

令广一书+8=疗(租≥2),则々+a。√z√+i2L12

∖m2

12I?1

因为根224,所以0<F<3,贝∣J1<J1+二≤2,所以一？CoSa1,

2

nr∖m2

因为0°<α<180°,所以0°<aW60°,则N?A片的最大值为60。，故选项C正确;

对于选项D，根据前面选项的分析可知：DE,DR,DC两两垂直,

建立如图所示空间直角坐标系，

21

因为A41=],AD=DC=CB=-AB=2,DD]=BB}=CC]-AA.=2f

则A(0,0,2),Λ1(√3,-l,∣),B1(√3,3,2)ICI(0,2,∣),

42______.----------

则Λ1β1=(0,4,-)，DiC2=(0,2,-),所以44=2DG,则AiBi∕∕2DiCi,

则A4//AG，所以点A，B1,C1,。四点共面，故选项D正确，

故选：ACD.

12.已知正〃1边形AA2…4",一质点〃从A点出发，每一步移动均为等可能的到达与其相邻两个顶点

之一.经过〃次移动，记质点M又回到AI点的方式数共有凡种，且其概率为6，则下列说法正确的是()

A.若机=3,则%=4B.若加=4,则生“=2”1

C.若帆=6,则6I=0,ZeN*D.若帆=6,则”

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据所给规则，直接判断A,根据规则，分析变化规律，归纳得出结论判断B,根据规则直接判

断C,列举所有可能由古典概型求解判断D.

【详解】对A,加=3时，如图，

4二力2

经3步从4回到4,仅有4→4→4→A,

与4->4->4->4两种，所以见=2,故A错误；

对B,若m=4时，如图,

4=0M2=2,（4→A2→A的4→A4→A）,记从A3出发经过〃步到a的方法数为打，则

∖1〜C（先走两步回到A1有2种，化归为出〃，先走两步到有2种，化归为久〃），所以

也"+2=24,,+2%

a4a

2,,+2=2n>因为“2=2,所以4“=2∙4"T=22"T,故B正确；

对C,加=6时，显然走奇数步无法回到4,故2*τ=（）,Z∈N*,故C正确；

走6步共有26=64种走法（每一步顺时针或逆时针），Al出发回到Al有.2种情形,①一个方向连续走6步，

2911

有2种；②2个方向各走3步，有屐=20种，所以4=20+2=22,所以《==点，故D正确.

故选：BCD

非选择题部分（共90分）

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.

13.若抛物线以坐标轴为对称轴，原点为焦点，且焦点到准线的距离为2,则该抛物线的方程可以是

.（只需填写满足条件的一个方程）

【答案】丁=一40一1）或｝；2=41+1）或/=一4（>,一1）或;（;2=4（/+］）（答案不唯一其它满足要求的

答案也可）

【解析】

【分析】先求焦点到准线的距离为2的抛物线的标准方程，通过平移变换确定符合要求的抛物线方程.

【详解】焦点为（1,0）,准线为x=-l的抛物线的标准方程为V=4x,

将其向左平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线,

其方程为V=4(x+1),

焦点为(-1,0),准线为X=I的抛物线的标准方程为V=-4X,

将其向右平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，

其方程为y2=τ(χ-1),

焦点为(0,1),准线为y=T的抛物线的标准方程为f=4y,

将其向下平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，

其方程为I区”……|,

焦点为［亘三I，准线为y=1的抛物线的标准方程为I冈］,

将其向上平移一个单位，可得一条焦点为原点，焦点到准线的距离为2的抛物线，

其方程为恒L.....I，

故答案为：y2=_4(X—l)或y2=γ(χT)或I区:…--M区A....-1(注意答案不唯一,其它

满足要求的答案也可)

14.正四面体ABCD棱长为2,E,F,G分别为AB，CD,A。的中点，过G作平面a_LM,则平面

α截正四面体ABC。，所得截面的面积为.

【答案】1

【解析】

【分析】根据题意作出图形，利用线面垂直的判定可得截面为边长为1的正方形，进而求解.

【详解】分别取I习∙I的中点Iw1连接与

i0l"

由题意可知:6≡≡3flS",又因为I囚「`”且

'1.,所以四边形GHMN为平行四边形，由因为IqlF且×l

所以_ZLj------------------

-∣∣.[ZIΞΞΞΞΞ_«O-J----------

所以囚则平行四边形GHMN为菱形，

因为A8C。为正四面体，所以三角形ABe是边长为2的正三角形，

所以I冈,~!且CE=百,同理DEIAB且ED=6，

又ITlI，I711平面I丁|」，所以AB7.平面Iτη」,

又因为［冈.一］平面F］，所以ITI~|，

因为I区∙1,I囚I，所为W~1，所以菱形GHMN为正方形.

因为CE=6，ED=百且尸为8的中点，所以EFJ.CD,

因为HG//CD,所以EF工HG,同理防_L〃M，HMHG=H,HM,HGu平面GHMN,所

以EF上平面GHMN,所以过G作平面a_LEE,则平面α截正四面体ABC。所得的图形即为正方形

GHMN,所以截面面积为S=IXl=1,

A

故答案为：1∙

15.由直线构成的集合M={∕∣∕的方程为2α+（l-r）y=l+产,f∈R},若{/”勾）之加，且4〃4,则

4与4之间的距离为.

【答案】2

【解析】

【分析】根据题意，分1-『=。与i—∕≠o两种情况讨论，根据直线平行得出4弓=-1,代入两平行线间

[距离公式即可求解.

【详解】当I-Z3=0时,即f=±l,I：2tx=1+Z2>当1=1时,l∖X=∖»当£=—1时,l'.X=-∖>

故{∕∣,4}={x=T,x=l}±M,此时〃〃2，4与4的距离为2;

当1一产工0时，y=——二.+"I,

I-Z2I-Z2

又因为/1〃4，所以'=∙~τ¾^=%2=^^[2,2,且仇=,#b1=：+',

I-GI-'2]—'1]_G

所以爪1一名）=以1—彳）=&-2）（缶+1）=0，

因为彳*»2，所以印2=-1，且4过（4，1）

又直线4:2qχ+（iY）y=ι+g,

【答案】⑴-

3

⑵3#)

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理边化角结合三角恒等变换求解;

（2）利用等面积法可得,从而得S,再根据余弦定理，联立方程

组求出6=26，从而可求三角形的面积.

【小问1详解】

因为。COSC+WsmC=],所以bcosC+屏SinC-α-c=O,

Q+C

所以sin3cosC÷y∣3sinBsinC-sinA-sinC=O

因为A+8+C=τc,所以SinBcosC+V3sinβsinC-sin(B+C)-sinC=O.

所以6sin3sinC-CoSBSinC-SinC=0，

又因为C∈(0,兀),sinC>0,所以GSinB-CoSB=1，

ITTπ5兀

所以Sin(B-£)=因为B∈(0,π),所以

266,^6^

所以6-'=色，所以3=W∙

663

【小问2详解】

因为ABC内切圆的面积为无，所以内切圆半径厂=1.

由于θ，所以，①

由余弦定理。22

2=a+c-2accosB得，"×∣

即向,②

可

联立①②可得

解得⅛=2√3或响I（舍去），

2n-4,n=2k—1

(2)已知Cn=a∙b,其中a=V（Z∈N*）,｛%｝的前〃项和为T.，求

ftf14-n,n=2k

【答案】（I）an=T

【解析】

【分析】（1）由递推公式可得：。,用=2。“，所以数列｛《,｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，利用等

比数列的通项公式即可求解；

，且%，+-=4,

⑵结合（1）可得:

c2n-2+c2n-3

一项开始，相邻的两项结合构成一个公比为4的等比数列，利用等比数列的前1项和公式即可求解.

【小问1详解】

由0,4+∣=2片一〃4+1+2〃氏可得：回

则a.=2%,又4=2,所以数列｛0,,｝是以2为首项，以2为公比的等比数列，

所以旧-.

【小问2详解】

[71

由（1）可得：，

所以叵],

则+J,-=4,又因为'L

c2n-2+C2n-3

所以（〃=）（¾+。）+（）（

（A+c2+e5+Q+∙∙∙+C2,E+c2tl）,

则Q

20.中国共产党第二十次全国代表大会报告指出：坚持精准治污、科学治污、依法治污，持续深入打好蓝

天、碧水、净土保卫战，加强污染物协同控制，基本消除重污染天气、每年的《中国生态环境状态公报》

都会公布全国339个地级及以上城市空气质量检测报告，以下是2017-2021五年339个城市空气质量平均

优良天数占比统计表.

年份2017年2018年2019年2020年2021年

年份代码七12345

百分比K7879.3828787.5

55

并计算得：Zy2=34321.74,ZXa=I268.1.

/=1/=1

(1)求2017年一2021年年份代码与339个城市空气质量平均优良天数的百分比的样本相关系数(精确到

0.01)；

(2)请用相关系数说明该组数据中〉与X之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于X的回归

直线方程(精确到0.01)和预测2022年(χ=6)的空气质量优良天数的百分比；

(3)试判断用所求回归方程是否可预测2026年(x=l())的空气质量优良天数的百分比，并说明理由.

.∑(χ,-χ)(χ-7)

(回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：人=上―------------，a=y-bχ}

∑u,∙-ɪ)2

/=]

z(ɪ,-ɪ)(ʃ/-ʃ)

附：相关系数r=I“曰“，82.762~6849.22，√756.4≈27.5∙

χ22

J∑(l-^)∑(yi-y)

V/=I∕=ι

【答案】(1)0.97；

(2)9=2∙67x+74.75;90.77%.

(3)答案见解析.

【解析】

∑U-^)(χ-7)

【分析】(1)由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数r=I5*5，

χ2

J∑(l-τ)∑(y.-yf

V/=1/=I

即可得出答案；

(2)由(1)知，raθ.97接近1,即可说明线性相关关系极强.根据(1)中求出的数据，即可求出R=2.67,

6=74.75,进而得到回归直线方程.代入x=6,即可预测2022年的空气质量优良天数的百分比;

(3)将X=IO代入(2)中的回归直线方程，可得$=101.45>100,显然不合常理，可根据回归直线的

意义及其局限性说明.

【小问1详解】

由已知可得,S,≡

所以,SI

S

ZS

55

所以E(Xi-元).=2无；_5元2=10.

55

又Σ(V一方2=Σy；一592B34321.74-5×6849.22=75.64,

5

Za-T)(X-刃

i=l≈瓷匕，也，0.97

所以，「

5-5√756.427.5

χ22

∑(i-^)∑(yi-y)

Z=IZ=I

【小问2详解】

由(I)知，y与X的相关系数rX0.97接近I,所以y与X之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模

型进行拟合.

∑(χ,-^)(x-y)267

因为B=

5=2.67,6=82.76-2.67x3=74.75,

210

∑(jci-x)

i=l

故回归直线方程为9=2.67X+74.75.

当X=6时，y-2.67×6+74.75=90.77,

故2022年的空气质量优良天数的百分比为90.77%.

【小问3详解】

由(2)知，当X=IO时，闫|，显然不合常理.

其原因如下：

根据该组数据的相关系r"0∙97,是可以推断2017年一2021年间>与X两个变量正线性相关，且相关程度

很强，由此来估计2022年的空气质量优良天数的百分比有一定的依据.但由于经验回归方程的时效性，随

着国家对生态环境的治理，空气质量优良天数的百分比增加幅度会变缓，且都会小于1,故用该回归直线

方程去预测今后几年的空气优良天数会误差较大，甚至出现不合情理的数据.

21.如图，椭圆、+丁=1的左右焦点分别为《，乙，点月(牙0，儿)是第一象限内椭圆上的一点，经过

三点P,耳，尸2的圆与y轴正半轴交于点A(0,χ),经过点8(3,0)且与X轴垂直的直线/与直线AP交于

点Q.

(2)试问：X轴上是否存在不同于点8的定点股，满足当直线MP，MQ的斜率存在时，两斜率之积为

定值？若存在定点M,求出点M的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在点,θ],可使得直线MP与MQ的斜率之积为定值，该定值为-2.

【解析】

【分析】(1)设尸(X。，儿)、圆的方程d+(y)2=∕(r>0),代入卜6,0)、(毛,%)及A(0,y)可解

1

得以=一，即可证：

%

(2)设M(八0)(m≠3),由A,P,。三点共线心P=心2得为，即可表示出女MP∙%M2讨论定值是否存

在.

【小问1详解】

囚

代入S"…及(%%),得

两式相减，得S

所以圆的方程为国即S

0

令X=0,得

-------1

由叵］；，可得弘=一，即X)M=1.

ʃo

小问2详解】

国,

设M(∕n,0)(zn≠3),由(1)知,由A,P,Q三点共线,得，解得

ɜ(ʃo~1)+⅞

3(y；~^l)+∙⅞

则kk――比一X。%

^-MP^MQ一

m3-mx(x-m)(3-w)

X0-00

3,

代入"=-苧，得一尸+i

Ao(XO-'")(3一机)(⅞-∣n)(3-m)

当且仅当;3即Y时，%%=募为定值∙

综上，存在点M(g4,0),可使得直线MP与MQ的斜率之积为定值，该定值为-

3

【点睛】探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再

证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

22.若函数AX),g(x)的图象与直线X=团分别交于A,B两点，与直线X=n分别交于C,D两点(m<n),

且直线AC,Bo的斜率互为相反数，则称Ax),g(x)为“(加,")相关函数”.

(1)/(x),g(x)均为定义域上的单调递增函数，证明：不存在实数的n,使得/(x),g(x)为“(加,〃)相

关函数”；

αr

⑵/(x)=e,g(x)=oc2,若存在实数〃τn>0,使得Ax),g(χ)为“(私〃)相关函数”，且IABl=IC4，

求实数4的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；

(2)(4e2,+∞)u{0}.

【解析】

【分析】(1)根据函数单调递增，可推出直线AC,BD的斜率均为正数，即可证明；

(2)首先讨论α=O是否满足题意，数形结合可知，由题可知帆-4=1时满足题意；再讨论α≠O时，

/(n)+g(n)=f(m)+g(ni),f(n)-g(n)=f(ni)-g(m)或/(〃)-g(n)=-f(ni)+g{m},联立且由

(1)可判断出由此可得出，〃和〃的等式关系,建立一个关于机或"的方程，将方程根的问题转化

为函数零点问题，利用导数求出函数单调区间，讨论。的取值范围对零点的影响即可.

【小问1详解】

设A(ZnJ(m)),/(八)).由/(x)单调递增，则f(")>∕W).

rι,,f(n)-f{m)_

则kAC=JJ>0.

n-m

同理可得，⅛>θ∙

所以，直线AC,Bo的斜率均为正数，不可能互为相反数.

即不存在实数相，〃，使得F(X),g(x)为“(加,〃)相关函数”.

【小问2详解】

情况一：当α=O时，/(x)=l,g(x)=O,若"=1,则存在实数相〃>0,使得f(χ),g(χ)为“(九〃)

相关函数”，且IABI=IcDI；

情况二：当α≠0时

因为/(χ),g(χ)为“(加,〃)相关函数”，所以有∕5)+g(")=/(〃?)+gθ).

g∣∣Aβ∣=∣CZ)∣,所以有/(〃)-g(〃)=/(m)-g(X^/(〃)-g(〃)=-/O)+gO).

国一回"“

①联立,可得,所以a=0.

则有/(χ)=l,g(x)=O,此时有•1'•I,满足题意;

/(«)+g(〃)=/(，〃)+g(Mfff(m)=g(〃)

,可得〈

/(«)-g(n)=-f(m)+g(m)[g(m)=∕(")

e"=an

因为m〃>0,所以方程组〈“一2,则α>0∙

e