（江苏专用）高考数学一轮复习 第十章 统计、概率 第5讲 几何概型练习 理-人教版高三数学试题

1.在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，cosx的值介于0到eq\f(1,2)之间的概率为________.解析若cosx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，利用三角函数性质解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数是等可能的，结合几何概型的概率公式可得所求概率为P＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,3))),\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2))))＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)2.(2016·东北三省三校联考)实数m是[0，6]上的随机数，则关于x的方程x2－mx＋4＝0有实根的概率为________.解析方程x2－mx＋4＝0有实根，则Δ＝m2－4×4≥0，∴m≥4或m≤－4，又m∈[0，6]，∴4≤m≤6，∴关于x的方程x2－mx＋4＝0有实根的概率为eq\f(6－4,6－0)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)3.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为________.解析设AC＝xcm，0＜x＜12，则CB＝(12－x)cm，要使矩形面积大于20cm2，只要x(12－x)＞20，则x2－12x＋20＜0，解得2＜x＜10，所求概率为P＝eq\f(10－2,12)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)4.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是________.解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝eq\f(阴影面积,长方形面积)＝eq\f(\f(1,2)π×12,1×2)＝eq\f(π,4).答案eq\f(π,4)5.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为________.解析∵大正方形的面积是34，∴大正方形的边长是eq\r(34)，由直角三角形的较短边长为3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4，∴小花朵落在小正方形内的概率为P＝eq\f(4,34)＝eq\f(2,17).答案eq\f(2,17)6.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________.解析设阴影部分的面积为S，由题意知eq\f(S,S正方形)＝eq\f(180,1000)，解得S＝0.18.答案0.187.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为eq\f(5,6)，则m＝________.解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.当m≤2时，由题意得eq\f(2m,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝2.5，矛盾，舍去.当2＜m＜4时，由题意得eq\f(m－（－2）,6)＝eq\f(5,6)，解得m＝3.即m的值为3.答案38.一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________.解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜蜂“安全飞行”的概率为P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).答案eq\f(1,27)9.在区间[1，5]和[2，4]上分别各取一个数，记为m和n，则方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是________.解析∵方程eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)10.(2016·南通质检)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为________.解析建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部.要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分.故所求概率P＝eq\f(S阴影,S正方形)＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).答案eq\f(3,4)11.(2016·宿迁测试)设不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2≥0，,x≤4，,y≥－2))表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离不小于2的概率是________.解析作出平面区域D，可知平面区域D是以A(4，3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离不小于2.所以P＝eq\f(S△AED,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×6×3,\f(1,2)×10×5)＝eq\f(9,25).答案eq\f(9,25)12.(2015·苏州调研)在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足∠AMB>90°的概率为________.解析如图，以AB为直径作圆，则圆在正方形ABCD内的区域为半圆，其面积S＝eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，满足条件∠AMB>90°的点M在半圆内，故所求概率P＝eq\f(S阴影,S正方形ABCD)＝eq\f(\f(π,2),22)＝eq\f(π,8).答案eq\f(π,8)13.(2016·南京质检)已知函数f(x)＝kx＋1，其中实数k随机选自区间[－2，1].∀x∈[0，1]，f(x)≥0的概率是________.解析由∀x∈[0，1]，f(x)≥0得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（0）≥0，,f（1）≥0，))解得－1≤k≤1，所以所求概率为eq\f(1－（－1）,1－（－2）)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)14.(2015·南京调研)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4，0≤c≤4.记函数f(x)满足条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（2）≤12，,f（－2）≤4))为事件A，则事件A发生的概率为________.解析由题意，得eq\b\lc\{(\a