（江苏专用）高考数学 专题7 不等式 52 不等式的综合应用 理-人教版高三数学试题

训练目标巩固不等式的基础知识，提高不等式在解决函数、三角函数、数列、向量、几何等方面的应用能力，训练解题步骤的规范性.训练题型(1)求函数值域、最值；(2)解决与数列有关的不等式问题、最值问题；(3)解决恒成立问题、求参数范围问题；(4)不等式证明.解题策略将问题中的条件进行综合分析、变形转化，形成不等式“模型”，从而利用不等式性质或基本不等式解决.1．(1)求函数y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的值域；(2)求函数f(x)＝x＋eq\f(x2＋1,x－1)(x>1)的最小值．2．(2015·江苏南通学情检测)已知a，b，c均为正数，求证：eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).3．(2015·福建长乐二中等五校期中联考)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)万元，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(万元)；当年产量不少于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？4．已知n∈N*且an＝eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)，求证：eq\f(nn＋1,2)<an<eq\f(n＋12,2)对所有正整数n都成立．5．(2015·海口一模)已知函数f(x)＝x＋eq\f(m,x)＋2(m为实常数)．(1)若函数f(x)图象上动点P到定点Q(0,2)的距离的最小值为eq\r(2)，求实数m的值；(2)若函数y＝f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；(3)设m<0，若不等式f(x)≤kx在x∈[eq\f(1,2)，1]时有解，求k的取值范围．答案解析1．解(1)令t＝eq\r(x－1)≥0，则x＝t2＋1.所以y＝eq\f(t,t2＋1＋3＋t)＝eq\f(t,t2＋t＋4).当t＝0，即x＝1时，y＝0.当t>0，即x>1时，y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)，因为t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(4)＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)≤eq\f(1,5)，即y的最大值为eq\f(1,5)(当t＝2，即x＝5时取得最大值)．所以t>0时，y∈(0，eq\f(1,5)]．所以y∈[0，eq\f(1,5)]．(2)令t＝x－1，故x＝t＋1，因为x>1，所以t>0.则函数f(x)可化为y＝(t＋1)＋eq\f(t＋12＋1,t)＝2t＋eq\f(2,t)＋3，因为t>0，所以2t＋eq\f(2,t)≥2eq\r(2t×\f(2,t))＝4，当且仅当2t＝eq\f(2,t)，即t＝1，x＝2时取等号．所以2t＋eq\f(2,t)＋3≥4＋3＝7，即函数f(x)的最小值为f(2)＝7.2．证明因为a，b，c都是正数，所以eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＝eq\f(1,c)(eq\f(a,b)＋eq\f(b,a))≥eq\f(2,c).同理可得eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(2,a)，eq\f(c,ab)＋eq\f(a,bc)≥eq\f(2,b)，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得eq\f(a,bc)＋eq\f(b,ca)＋eq\f(c,ab)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c).3．解(1)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；当x≥80，x∈N*时，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－(x＋eq\f(10000,x))，∴L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－2500<x<80，x∈N*，,1200－x＋\f(10000,x)x≥80，x∈N*.))(2)当0<x<80，x∈N*时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.当x≥80，x∈N*时，L(x)＝1200－(x＋eq\f(10000,x))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，∴当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1000>950.综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．4．证明因为eq\r(nn＋1)>eq\r(n2)＝n，所以an>1＋2＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，又eq\r(nn＋1)<eq\f(nn＋1,2)，所以an<eq\f(1＋2,2)＋eq\f(2＋3,2)＋…＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(5,2)＋…＋eq\f(2n＋1,2)＝eq\f(n＋12,2)，综合知结论成立．5．解(1)设P(x，y)，则y＝x＋eq\f(m,x)＋2，PQ2＝x2＋(y－2)2＝x2＋(x＋eq\f(m,x))2＝2x2＋eq\f(m2,x2)＋2m≥2eq\r(2)|m|＋2m＝2，当m>0时，解得m＝eq\r(2)－1；当m<0时，解得m＝－eq\r(2)－1.所以m＝eq\r(2)－1或m＝－eq\r(2)－1.(2)由题意知，任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1<x2，则f(x2)－f(x1)＝x2＋eq\f(m,x2)＋2－(x1＋eq\f(m,x1)＋2)＝(x2－x1)·eq\f(x1x2－m,x1x2)>0.因为x2－x1>0，x1x2>0，所以x1x2－m>0，即m<x1x2.由x2>x1≥2，得x1x2>4，所以m≤4.所以m的取值范围是(－∞，4]．(3)由f(x)≤kx，得x＋eq\f(m,x)＋2≤kx.因为x∈[eq\f(1,2)，1]，所以k≥eq\f(m,x2)＋eq\f(2,x)＋1.令t＝eq\f(1,x)，则t∈[1,2]，所以k≥mt2＋2t＋1.令g(t)＝mt2＋2t＋1，t∈[1,2]，于是，要使原不等式在x∈[eq\f(1,2)，1]时有解，当且仅当k≥[g(t)]min(t∈[1,2])．因为m<0，所以g(t)＝m(t＋eq\f(1,m))2＋1－eq\f(1,m)的图象开口向下，对称轴为直线t＝－eq\f(1,m)>0.因为t∈[1,2]，所以当0<－eq\f(1,m)≤eq\f(