高考数学二轮复习五 解析几何 02 圆锥曲线的方程（解析版）

重点探究跟踪训练

02圆锥曲线的方程

1.（2022•银川三模）抛物线y2=4x的焦点到双曲线f-x'l的渐近线的距离是（）.

A.—B.-C.-D.-

3233

【答案】B

【解析】抛物线y=4x的焦点为（1,0）,双曲线9-χ2=l的一条渐近线方程可设为y=√3x,即

√3χ-y=0,焦点（1,0）到渐近线√^χ-y=0的距离d~v30"y.

22

ΛJ（√3）+1

2.（2022•海东模拟）已知椭圆C:1+*l（a>b>0）,直线x=⅛与椭圆C交于A,B两点,0为原点,

azb"3

若aAOB是等腰直角三角形,则椭圆C的离心率为（）.

λ√2d√2r√3n√14

A.-D.-C.-D.

4224

【答案】D

【解析】将Xq代入椭圆C中,得A（*宇），B（1-罕），由题意得卓得即匕邛,所以椭圆

3333333a4

C的离心率e="手

3.（2022•衡阳三模）己知双曲线C,-χ2=l的上、下焦点分别为F1,艮,点P在X轴上,线段

PFl交双曲线C于点Q,ZkPQFz的内切圆与直线QFz相切于点M,则线段MQ的长为（）.

A.1B.2C.√3D.√2

【答案】D

【解析】设IQMl=X,∣F2M∣=y,则IQNl=X,HH∣=y.∙.∙∣PFJ=∣PF2∣,.∙.∣NFJ=∣HF2∣,.∙.x+QF.∣=y.

由双曲线的定义可知∣QFjTQF∣I=2a=2√2,即x+y-∣QFι∣=2a,解得x=a=√2.

4.（2022•湖北质检）己知抛物线C的焦点为F,点A,B在抛物线上,过线段AB的中点M作抛

物线C的准线的垂线,垂足为N,以线段AB为直径的圆过点F,则黑的最大值为（）.

∣AB∣

A-B.-C.-D.1

232

【答案】C

【解析】如图，以开口向右的抛物线为例,过点A,B作AA',BB'垂直抛物线的准线,垂足为

点A',B',设∣AF∣=a,∣BF∣=b,

22

贝“MN|JAA',BB'LIAFI;IBFl=半,以线段AB为直径的圆过点F(则AF_LBF,∣AB∣=√a+b,

则黑「JWh则(揶T：•2⅛⅛τW当且仅当a=b时取等号，即黑的

∣AB∣√a2+b22√a2+b2∣AB∣4(az+bz)42(a2+b2)2∣AB∣

最大值为当

5.(2022•大连一模)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是

离心率相同的椭圆.某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同,其平面图如图2所示,若由外层椭

圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,BD,且两切线斜率之积等于-|,则

椭圆的离心率为().

A.iβ.-C.-D.—

3334

【答案】C

【解析】设外层椭圆方程为曰+*1,则内层椭圆方程为£+9=λ(0<λ<ι),

a2b2a2b2

设过A点的切线方程为y=k,(x÷a),k1<0,

与今弋尸入入<1)联立并整理得(b2+a⅛ι)x'+2a3kχx+akɪ-λa⅛^=0,

由Δι=4a"k二-4(b'+a%：)(a"kK入a2b2)ɪθ,得

设过点B的切线方程为y=k2χ÷b,

22

与，会λ(°<λ⑴联立并整理得6+£岭)χ2+2a⅛3x+(bλ)a2b¼,

由Δ2=4alk2b2-4(b2+a2k∣)(l-λ)a2b2=0,得吟Wb,

λb2

IiTf∩ιr2ιr2-.(I-入)b、-

从川k1k2(1-λ)a2λa2a49»

故¾所以椭圆的离心率为fiɪv.

az3Na'3

6.(2022•广东三模)已知椭圆融1=1(0<b<3)的左、右焦点分别为F,.E2,过F,的直线交椭圆

于48两点,若脚21+艘2|的最大值为10,则b的值是（）.

A.2√2B.√2C.√3D.√6

【答案】C

【解析】=FiP为椭圆的两个焦点，

9b”

Λ∣AF1∣+∣AF2∣=6,∣BF1∣+∣BF2∣=6,

.∙.∆AF2B的周长为∣AB∣+∣AF2∣+∣BF2∣=∣AF1∣+∣AF2∣+∣BF∕+∣BF2Fi2,BP∣BF2∣+∣AF2∣=12-∣AB∣.

若IABl最小,则∣BF2∣+∣AF2∣最大.

又当ABJ_X轴时,IABI最小,此时IABl至考，

故12-g~=10,解得b=√3.

7.（2022•山西模拟）已知过点（2,2√I）的抛物线C:f=2px（p>0）的焦点为F,点P是其准线1

上一点,连接PF并延长交抛物线C于点Q.若屈=2而,则IQl等于（）.

79

L-B.-C.6D.9

22

【答案】B

【解析】将点（2,2百）代入yZ=2px（p>0）,解得p=3,即抛物线C的方程为y2=6x,设准线1与

X轴交于点A,则IAFl=3.

过点Q作QQ」准线L垂足为点QK图略），则QQJ=IFQl.

因为AF〃QQ,,PF=2FQ,----∣,

所以QQiI=~,即IFQl=|.

8.（2022•江西联考）设是双曲线的两个焦点,P是双曲线上任意一点,过点R作

NFFF2平分线的垂线,垂足为M,则点M到直线x+y-4√2=0的距离的最大值是（）.

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】不妨设点P在双曲线的右支上,延长PF21F1M相交于N,

因为NFIPM=NNPM,PMlF1N1所以ARPMgZSNPM,故为Fj=IPNL

由双曲线的定义可知IPFIHPF21=2a=IPNHPFzI=2a=INF21=2a=4,

设M(xo,yo),F,(-√7,0),F2(√7,0),则N(2x0+√7,2y0),XiNhI=4,故四+福=4,

即点M是在以(0,0)为圆心，以2为半径的圆上.圆心(0,0)到直线x+y-4√2=0的距离

d普4>2,所以直线与圆相离，则点M到直线x+y-4√2=0的距离的最大值是d+2=6.

√2

9.(2022•江西大联考)已知双曲线Cι⅛⅛l(a>0,b>0)的一条渐近线与直线1:x+3y+2022=0

垂直,则双曲线C的离心率为.

【答案】√To

【解析】因为直线hx+3y+2022=0的斜率为所以与直线1:x+3y+2022=0垂直的双曲线

的渐近线的斜率为3,

所以P=3,所以双曲线C的离心率e'=用W=ʃl+(-)2=√Iθ.

aay∣a2yja

10.(2022∙南充模拟)能说明“若m(n+l)≠0,则方程式+号1表示的曲线为椭圆或双曲线”

mn+1

是错误的一组m,n的值是.(【答案】不唯一,满足条件即可)

【答案】m=l,n=0(【答案】不唯一)

22(m>0,

【解析】若方程±+2=l表示的曲线为椭圆,则n+1>0,

mn+71

Im≠n+1;

若方程次+1=1表示的曲线为双曲线,则∏ι(n+l)<0.

mn+1

则只需满足m=n+l≠0或尸：°)则方程匕士ι表示的曲线既不是椭圆，也不是双曲线，

则一组不满足题意的解为m=l,n=0.

11.(2022•德州二模)己知抛物线χ2=2py(p>0)的焦点为F,0为坐标原点,A(t,1)是抛物线第

一象限上的点，∣AF∣=5,直线AF与抛物线的另一个交点为B,则SΔΛOB=

【答案】40

【解析】V∣AF∣=l+⅛,则p=8,.∙.抛物线方程为x2=16y.

把A(t,1)代入抛物线方程得t2=16且t>0,则t=4,

VA(4,l),F(0,4),则直线AF的斜率k⅛-J,

二直线AF的方程为y=Λ+4,即3x+4y-16=0,

4

联立方程苣Μ6=。,解咪普咪力