（江苏专用）高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第2讲 空间点、线、面之间的位置关系练习 理-人教版高三数学试题

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c________(填位置关系).解析当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交.答案平行、相交、异面都有可能2.(2016·江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是________.解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.答案相交、平行或异面3.平面α，β相交，在α，β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面.解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面.答案1或44.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对.解析如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线eq\f(12×4,2)＝24(对).答案245.(2016·哈尔滨一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为________.解析如图，过点B作直线BE∥CD，交DA的延长线于点E，连接PE.∴∠PBE(或其补角)是异面直线CD与PB所成角.∵△PAB和△PAD都是等边三角形，∴∠PAD＝60°，DA＝PA＝AB＝PB＝AE，∴∠PAE＝120°.设PA＝AB＝PB＝AE＝a，则PE＝eq\r(3)a.又∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝eq\r(2)a，∴在△PBE中，PB2＋BE2＝PE2，∴∠PBE＝90°.即异面直线CD与PB所成角为90°.答案90°6.如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与c，b与c的位置关系是________.解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.答案a∥b∥c7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交.答案48.(2016·南京、盐城调研)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为________(写出所有正确结论的程序).解析A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，但C∉平面AD1C1B，C1∉AM，因此直线AM与CC1是异面直线，同理AM与BN也是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，但N∉平面MBB1，B∉MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确.答案③④二、解答题9.如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，E1，F分别是棱AD，A1D1，BC的中点.求证：(1)E1C1綊AF；(2)∠BEC＝∠B1E1C1.证明(1)因为F为BC的中点，E为AD的中点，所以AE綊FC，所以四边形AECF为平行四边形，所以AF綊EC.连接EE1，因为E1为A1D1的中点，E为AD的中点，所以EE1綊DD1，又DD1綊CC1，所以EE1綊CC1，所以四边形ECC1E1为平行四边形，所以E1C1綊EC，所以E1C1綊AF.(2)由(1)知EE1綊DD1，又DD1綊B1B，所以E1E綊B1B，所以四边形E1EBB1是平行四边形，所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠B1E1C1与∠BEC的两边方向都相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.10.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点.(1)求四棱锥O－ABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，所以四棱锥O－ABCD的体积V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA的中点，所以ME∥OC，则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，∵(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(5))2，∴△DEM为直角三角形，即∠MED＝90°，∴tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).∴异面直线OC与MD所成角的正切值为eq\f(\r(6),3).能力提升题组(建议用时：20分钟)11.给出以下命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.则以上命题正确的是________(填序号).解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案①12.四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为eq\r(5)，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为________.解析因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.在△PAB内，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5).答案eq\f(\r(5),5)13.对于四面体ABCD，下列命题①相对棱AB与CD所在直线异面；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.其中正确的是________(填序号).解析对于①，由四面体的概念可知，AB与CD所在的直线为异面直线，故①正确；对于②，由顶点A作四面体的高，当四面体ABCD的对棱互相垂直时，其垂足是△BCD的三条高线的交点，故②错误；对于③，当DA＝DB，CA＝CB时，这两条高线共面，故③错误；对于④，设AB、BC、CD、DA的中点依次为E、F、M、N，易证四边形EFMN为平行四边形，所以EM与FN相交于一点，易证另一组对棱中点连线也过它们的交点，故④正确.答案①④14.如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E，F，G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点.(1)解∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f