（江苏专用）高考数学 专题8 立体几何与空间向量 59 垂直的判定与性质 理-人教版高三数学试题

训练目标会应用线、面垂直的定理及性质证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的位置关系.训练题型(1)证明直线与平面垂直；(2)证明平面与平面垂直；(3)利用线、面垂直的性质证明线线垂直.解题策略证明线面垂直、面面垂直都必须通过证明线线垂直来完成，特殊图形中的垂直关系(如等腰三角形中线、直角三角形、矩形等)往往是解题突破点，也可利用线面垂直的性质证明线线垂直.1.如图所示，已知PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，点C是圆O上任意一点，过A作AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，求证：(1)AE⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面PBC；(3)PB⊥EF.2．(2015·南京、盐城第一次联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．求证：(1)OE∥平面BCC1B1；(2)平面B1DC⊥平面B1DE.3．(2015·德阳四校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.4．(2015·江西白鹭洲中学期末)如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O.将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B－ACD，点M是棱BC的中点，DM＝2eq\r(2).(1)求证：OM∥平面ABD；(2)求证：平面DOM⊥平面ABC；(3)求三棱锥B－DOM的体积．5.在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，AB＝AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM＝MA1吗？请你叙述判断理由．答案解析1．证明(1)因为AB是圆O的直径，所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.因为PA⊥圆O所在平面，即PA⊥平面ABC，而BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.又因为AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.(2)由(1)知AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.(3)因为AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.又AF⊥PB于F，且AF∩AE＝A，AF⊂平面AEF，AE⊂平面AEF，所以PB⊥平面AEF.又因为EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.2．证明(1)如图，连结BC1，设BC1∩B1C＝F，连结OF.因为O，F分别是B1D与B1C的中点，所以OF∥DC，且OF＝eq\f(1,2)DC.又E为AB的中点，所以EB∥DC，且EB＝eq\f(1,2)DC，从而OF∥EB，OF＝EB，即四边形OEBF是平行四边形，所以OE∥BF.又OE⊄平面BCC1B1，BF⊂平面BCC1B1，所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，DC∩B1C＝C，DC⊂平面B1DC，BC1⊂平面B1DC，所以BC1⊥平面B1DC.而BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC，又OE⊂平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.3．(1)证明如图所示，连结BC1，AD1，由正方体的性质可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB.又AB∩AD1＝A，AB⊂平面ABC1D1，AD1⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥平面ABC1D1，又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.(2)解如图所示，G点即为A1点．证明如下：由(1)可知AE⊥DA1，连结A1F，取CD的中点H，连结AH，EH，因为DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，AH⊂平面AHE，EH⊂平面AHE，所以DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.又DF∩A1D＝D，DF⊂平面DFA1，A1D⊂平面DFA1，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.4．(1)证明∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM∥AB.又∵OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，∴OM∥平面ABD.(2)证明∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱锥B－ACD中，OD⊥AC.在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，可得BD＝4.∵O为BD的中点，∴DO＝eq\f(1,2)BD＝2.∵O为AC的中点，M为BC的中点，∴OM＝eq\f(1,2)AB＝2.因此OD2＋OM2＝8＝DM2，可得OD⊥OM.∵AC∩OM＝O，AC⊂平面ABC，OM⊂平面ABC，∴OD⊥平面ABC.∵OD⊂平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC.(3)解由(2)得OD⊥平面BOM，∴OD是三棱锥D－BOM的高．由OD＝2，S△BOM＝eq\f(1,2)×OB×BMsin60°＝eq\r(3)，所以V三棱锥B－DOM＝VD－BOM＝eq\f(1,3)S△BOM×OD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×2＝eq\f(2\r(3),3).5．(1)证明∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC.∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，且AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，又∵CC1⊂平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)证明如图，延长B1A1与BM的延长线交于点N，连结C1N.∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1.∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1B1＝A1N，∴C1N⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，底面NB1C1∩侧面BB1C1C＝B1C1，又C1N⊂底面NB1C1，∴C1N⊥侧面BB1C1C.又∵C1N⊂截面C1NB，∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C，即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解如图，过M作ME⊥BC1于E，连结DE.∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，截面MBC1∩侧面BB1C1C＝BC1，又ME⊂截面MBC1，∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M、E、D、A四