（江苏专用）高考数学 专题6 数列 44 数列的通项及求法 理-人教版高三数学试题

训练目标(1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用.训练题型(1)由数列的递推公式求数列的通项；(2)由数列的前n项和求通项.解题策略求数列通项的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.1．已知a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为eq\f(1,3)的等比数列，则an＝________.2．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.4．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________.5．设函数f(x)＝lnx，数列{an}(n∈N*)满足a1＝1且an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)，则数列{an}的通项公式an＝________.6．数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，则a1＝________.7．(2015·广东揭阳一中上学期期中)已知数列{an}中，a1＝1，nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)，则数列{an}的通项为________．8．已知在正项数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3×2n，则数列{an}的通项公式为an＝________.9．已知数列{an}满足a1＝－1，a2>a1，|an＋1－an|＝2n，若数列{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝________.10．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝eq\f(1,2)，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．答案解析1.eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))解析由题意得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,3n－1)＝eq\f(1－\f(1,3n),1－\f(1,3))＝eq\f(3,2)(1－eq\f(1,3n))．2.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2))解析由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＝2n＋1－1，n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，所以数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝1，,2n，n≥2.))3．(－2)n－1＋1解析由已知可得an＋1－1＝－2(an－1)，所以数列{an－1}是等比数列，首项为1，公比为－2，故an－1＝(－2)n－1，即an＝(－2)n－1＋1.4．2eq\f(n2－n＋2,2)解析由题意得eq\f(an＋1,an)＝2n，所以eq\f(a2,a1)＝2，eq\f(a3,a2)＝22，eq\f(a4,a3)＝23，…，eq\f(an,an－1)＝2n－1，累乘得an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝2eq\f(n2－n＋2,2).5.eq\f(1,n)解析由题意得f′(x)＝eq\f(1,x)，从而an＋1＝eq\f(1,f′an＋1)＝eq\f(1,\f(1,an)＋1)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,an)＋1，所以数列{eq\f(1,an)}是首项为1，公差为1的等差数列，故eq\f(1,an)＝1＋n－1＝n，所以an＝eq\f(1,n).6.eq\f(1,2)解析由已知得an＝1－eq\f(1,an＋1)，a8＝2，所以a7＝1－eq\f(1,a8)＝eq\f(1,2)，a6＝1－eq\f(1,a7)＝－1，a5＝1－eq\f(1,a6)＝2，a4＝1－eq\f(1,a5)＝eq\f(1,2)，a3＝1－eq\f(1,a4)＝－1，a2＝1－eq\f(1,a3)＝2，a1＝1－eq\f(1,a2)＝eq\f(1,2).7．an＝n(n∈N*)解析∵nan＋1＝2(a1＋a2＋…＋an)，①∴当n≥2时，(n－1)an＝2(a1＋a2＋…＋an－1)，②①－②得nan＋1－(n－1)an＝2an，即nan＋1＝(n＋1)an，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋1,n)，∴an＝a1·eq\f(a2,a1)·…·eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(2,1)·…·eq\f(n,n－1)＝n.当n＝1时，结论也成立．∴an＝n.8．(3n－1)×2n－1解析在an＋1＝2an＋3×2n的两边同时除以2n＋1，得eq\f(an＋1,2n＋1)＝eq\f(an,2n)＋eq\f(3,2)，即eq\f(an＋1,2n＋1)－eq\f(an,2n)＝eq\f(3,2)，所以数列{eq\f(an,2n)}是以eq\f(a1,2)＝1为首项、eq\f(3,2)为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得eq\f(an,2n)＝1＋(n－1)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)n－eq\f(1,2)，所以an＝(eq\f(3,2)n－eq\f(1,2))×2n＝(3n－1)×2n－1.9.eq\f(－2n－1,3)解析由题意得a1＝－1，a2＝1，a3＝－3，a4＝5，a5＝－11，a6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得an＋1－an＝(－1)n＋12n，则利用累加法即得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n2n－1＝eq\f(－1[1－－2n],1－－2)＝eq\f(－2n－1,3).10．解(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，因而3p2－p＝0，解得p＝eq\f(1,3)或p＝0.当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝eq\f(1,3).(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.①因为eq\f(1,22n)<eq\f(1,22n－1)，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.②由①②知，a2n－a2n－1>0，因此a2n－a2n－1＝(eq\f(1,2))2n－1＝eq\f(－12n,22n－1).③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故a2n＋1－a2n＝－(eq\f(1,2))2n＝eq\f(－12n＋1,22n).④由③④可知，an＋1－an＝eq\f(－1n＋1,2n).于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(