（江苏专用）高考数学 专题5 平面向量 39 与平面向量有关的创新题 文-人教版高三数学试题

训练目标(1)平面向量知识的灵活应用；(2)学生创新能力的培养.训练题型(1)平面向量与其他知识的综合应用；(2)与平面向量有关的新定义问题.解题策略(1)利用平面向量的概念及运算将综合问题转化，脱去向量外衣后观察条件的实质；(2)从新定义出发，对条件转化，化为学过的知识后求解.1．已知向量a，b满足|a|＝eq\r(3)，|b|＝1，且对于任意实数x，不等式|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，设a，b的夹角为θ，则sinθ＝________.2．在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，当A＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积为________．3．设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定m，n之间的一种运算“”为mn＝(ac－bd，ad＋bc)．若a＝(－1，－2)，ab＝(4,5)，则b＝________.4．(2015·宜昌一模)已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△AOC的面积为________．5．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝eq\f(α·β,β·β).若平面向量a，b满足|a|≥|b|>0，a与b的夹角θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，且ab和ba都在集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)))n∈Z))中，则ab＝________.6．已知O是△ABC所在平面内一点，动点P满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))，λ∈(0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的________心．7．设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成．若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为________．8．若函数f(x)＝2sin(eq\f(π,6)x＋eq\f(π,3))(－2<x<10)的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与f(x)的图象交于B、C两点，O为坐标原点，则(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))eq\o(OA,\s\up6(→))＝________.9．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定义新运算mn＝(ac＋bd，ad＋bc)，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m都有mp＝m成立，则向量p＝________.10．在△ABC中，AC＝10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD＝5，且满足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,11)eq\o(DB,\s\up6(→)).(1)求|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|；(2)存在实数t≥1，使得向量x＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))，y＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，令k＝x·y，求k的最小值．答案解析1.eq\f(\r(6),3)2.eq\f(1,6)3.(－eq\f(14,5)，eq\f(3,5))4.eq\f(2,5)5.eq\f(3,2)6．垂解析向量eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))可化为eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))．因为cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝－cosB，而cos〈eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝cosC，所以(eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|cosB)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|cosC))eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|－|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝0，得eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，因此点P在过A且垂直BC的直线上，从而动点P的轨迹一定过△ABC的垂心．7.eq\f(π,3)解析设S＝x1y1＋x2y2＋x3y3＋x4y4，若S的表达式中有0个ab，则S＝2a2＋2b2，记为S1，若S的表达式中有2个ab，则S＝a2＋b2＋2ab，记为S2，若S的表达式中有4个ab，则S＝4ab，记为S3.又|b|＝2|a|，所以S1－S3＝2a2＋2b2－4ab＝2(a－b)2>0，S1－S2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3<S2<S1，故Smin＝S3＝4ab，设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cosθ＝4|a|2，即cosθ＝eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).8．32解析由f(x)＝0，解得x＝4，即A(4,0)，过点A的直线l与f(x)的图象交于B、C两点，根据对称性可知，A是线段BC的中点，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))eq\o(OA,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))eq\o(OA,\s\up6(→))＝2|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝32.9．(1,0)解析设p＝(x，y)，∵mp＝m，即(a，b)(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋by＝a，,ay＋bx＝b，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax－1＋by＝0，,ay＋bx－1＝0.))由于对任意向量m＝(a，b)，都有(a，b)(x，y)＝(a，b)成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0，,y＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))∴p＝(1,0)．10．解(1)由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(5,11)eq\o(DB,\s\up6(→))，且A，B，D三点共线，可知|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(5,11)|eq\o(DB,\s\up6(→))|.又AD＝5，所以DB＝11.在Rt△ADC中，CD2＝AC2－AD2＝75，在Rt△BDC中，BC2＝DB2＋CD2＝196，所以BC＝14.所以|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝14.(2)由(1)知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝16，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝10，|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝14，在△ABC中，由余弦定理得cosA＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|2＋|\o(AB,\s\up6(→))|2－|\o(CB,\s\up6(→))|2,2|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).由x＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→))，y＝teq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，知k＝x·y＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋teq\o(AC,\s\up6(→)))·(teq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,