（江苏专用）高考数学 专题2 函数概念与基本初等函数 7 函数的单调性与最值 理-人教版高三数学试题

训练目标(1)函数单调性的概念；(2)函数的最值及其几何意义.训练题型(1)判断函数的单调性；(2)利用函数单调性比较大小、解不等式；(3)利用函数单调性求最值.解题策略(1)判断函数单调性常用方法：定义法、图象法、导数法、复合函数法；(2)分段函数单调性要注意分界点处函数值的大小；(3)可利用图象直观研究函数单调性.1．函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是__________________．2．已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________．3．函数f(x)＝eq\f(1,1－x1－x)的最大值是________．4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－ax－5，x≤1，,\f(a,x)，x>1))在R上为增函数，则a的取值范围是________．5．函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．6．函数f(x)＝|log3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．7．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是________．8．(2015·上海黄浦区期中调研测试)若函数f(x)＝2x2＋ax＋1－3a是定义域为R的偶函数，则函数f(x)的单调递减区间是________．9．设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间(－∞，2]上是减函数，则实数a的最大值为________．10．若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是________．11．(2015·洛阳二模)函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(logax)(0<a<1)的单调减区间是________．12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(logeq\f(1,2)a)≤2f(1)，则a的取值范围是________．13．(2015·广东深圳五校联考)已知函数f(x)＝－x3－x＋sinx，当θ∈(0，eq\f(π,2))时，恒有f(cos2θ＋2msinθ)＋f(－2m－2)>0成立，则实数m的取值范围是________．14．(2015·昆明模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f(－eq\f(1,2))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为________．(用“>”连接)答案解析1．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.2．[1，eq\f(3,2))解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))解得1≤x<eq\f(3,2)，故满足条件的x的取值范围是1≤x<eq\f(3,2).3.eq\f(4,3)解析因为f(x)＝eq\f(1,x－\f(1,2)2＋\f(3,4))，所以当x＝eq\f(1,2)时，f(x)取得最大值eq\f(4,3).4．[－3，－2]解析要使函数在R上是增函数则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)≥1，,a<0，,－1－a－5≤a，))解得－3≤a≤－2.5．[2,4]解析由f(x)＝(x－2)2＋1知，当x＝2时，f(x)的最小值为1，当f(x)＝5，即x2－4x＋5＝5时，解得x＝0或x＝4.依据图象(图略)，得2≤m≤4.6.eq\f(2,3)解析令f(x)＝0，得x＝1；令f(x)＝1，得x＝eq\f(1,3)或3.因为f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故b－a的最小值为1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).7．(－1，＋∞)解析由题意知，存在正数x，使a>x－eq\f(1,2x)，所以a>(x－eq\f(1,2x))min，而函数f(x)＝x－eq\f(1,2x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1.8．(－∞，0]解析由已知得a＝0，从而f(x)＝2x2＋1，由复合函数的单调性可知函数f(x)的单调递减区间是(－∞，0]．9．－2解析函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－eq\f(a－2,2)，则函数f(x)在(－∞，－eq\f(a－2,2))上单调递减，在区间[－eq\f(a－2,2)，＋∞)上单调递增，所以2≤－eq\f(a－2,2)，解得a≤－2.10．0≤m≤4解析由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(2)＞f(0)，解得a＜0.又因为f(x)图象的对称轴为x＝－eq\f(－4a,2a)＝2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.11．[eq\r(a)，1]解析由图象可知，函数y＝f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(eq\f(1,2)，＋∞)，单调递增区间为[0，eq\f(1,2)]．∵0<a<1，∴函数y＝logax在定义域内单调递减．由题意可知，0≤logax≤eq\f(1,2)，解得eq\r(a)≤x≤1，即所求递减区间为[eq\r(a)，1]．12.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))解析由题意知a>0，又logeq\f(1,2)a＝log2a－1＝－log2a.∵f(x)是R上的偶函数，∴f(log2a)＝f(－log2a)＝f(logeq\f(1,2)a)．∵f(log2a)＋f(logeq\f(1,2)a)≤2f(1)，∴2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．又因f(x)在[0，＋∞)上递增，∴|log2a|≤1，－1≤log2a≤1，∴a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).13．[－eq\f(1,2)，＋∞)解析因为函数f(x)＝－x3－x＋sinx是奇函数且f′(x)＝－3x2－1＋cosx≤0，所以函数f(x)＝－x3－x＋sinx在R上是减函数．不等式f(cos2θ＋2msinθ)＋f(－2m－2)>0等价于f(cos2θ＋2msinθ)>－f(－2m－2)＝f(2m＋2)⇔cos2θ＋2msinθ<2m＋2⇔2m(1－sinθ)>cos2θ－2⇔m>eq\f(cos2θ－2,21－sinθ)＝eq\f(sin2θ＋1,2sinθ－1)，θ∈(0，eq\f(π,2))．记g(θ)＝eq\f(sin2θ＋1,2sinθ－1)，令sinθ＝t∈(0,1)，则g(t)＝eq\f(t2＋1,2t－1)，g′(t)＝eq\f(2tt－1－t2＋1,2t－12)＝eq\f(t2－2t－1,2t－12)＝eq\f(t－12－2,2t－12)<0在t∈(0,1)上恒成立，所以函数g(t)＝eq\f(t2＋1,2t－1)在t∈(0,1)上是减函数，从而g(θ)＝eq\f(sin2θ＋1,2×sinθ－1)<eq\f(02＋1,2×0－1