2018-2023年高考数学真题汇编：概率（附答案解析）

2018-2023年高考数学真题知识点分类汇编：概率

选择题（共17小题）

1.（2022•全国）在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，则这3个数的和能

被3整除的概率是（）

A.ɪB.ɪC.ɪD.ɪ

283145

2.（2022•甲卷）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A.ɪB.ɪC.2D.2

5353

3.（2022∙乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知

该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为Pl,P2,P3,且P3>P2>P1>O∙记该棋手连

胜两盘的概率为P，则（）

A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，P最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

4.（2022•新高考I）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率

为（）

A.ɪB.AC.—D.2

6323

5∙（2021∙全国）3位男同学与3位女同学随机排成一行，其中两端都不是女同学的概率为

（）

A.ɪB.ɪC.ɪD.ɪ

2456

6.（2021•新高考∏）某物理量的测量结果服从正态分布N（10,。2）,则下列结论中不正

确的是（）

A.。越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.1）内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

第1页（共28页）

7.（2021∙乙卷）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于工的概率

4

为（）

A.—B.—C.—D.—

932329

8.（2021•甲卷）将4个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.ɪB.2C.2D.A

3535

9.（2021•甲卷）将3个1和2个。随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

10.（2021∙新高考I）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的

随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第

二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两

次取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

II.（2021•乙卷）在区间（0,ɪ）随机取1个数，则取到的数小于工的概率为（）

23

A.3B.2C.—D.ɪ

4336

12.（2020•全国）从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的

概率是（）

A.ɪB.-ɪC.ɪD.ɪ

51055

13.（2020•新课标1）设。为正方形的中心，在。，A,B,C,。中任取3点，则

取到的3点共线的概率为（）

A.ɪB.2C.—D.A

5525

14.（2020∙新课标∏）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊

跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超

过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积

压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

第2页（共28页）

15.（2019•全国）在RtZiZBC中，AB=BC,在5C边上随机取点尸，则NB∕P<30°的概

率为（）

A.ɪB.近C.2D.近

2332

16.（2019•浙江）设OVaVL随机变量X的分布列是

XOa1

Pɪɪ

__ɪ________京__ɪ__

则当α在（0,1）内增大时，（）

A.D（X）增大B.D（X）减小

C.D（X）先增大后减小D.D（X）先减小后增大

17.（2019∙新课标ΠI）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

（）

A.ɪB.ɪC.ɪD.ɪ

6432

二.填空题（共7小题）

18.（2023•上海）已知事件/的对立事件为、若尸（/）=0.5,则尸C）=.

19.（2023•上海）为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有

4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为.

20.（2022•天津）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到N的概率

为;已知第一次抽到的是/,则第二次抽取/的概率为.

21.（2022∙上海）为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共

8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为.

22.（2022∙浙江）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随

机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为奉则P（t=2）=,E（Q=.

23.（2022•甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率

为.

24.（2022•新高考∏）已知随机变量X服从正态分布N（2,。2）,且p（2<χW2.5）=0.36,

则尸（X>2.5）=.

≡.解答题（共6小题）

25.（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10

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分，负方得O分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲

学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

（1）求甲学校获得冠军的概率；

（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

26.（2022•全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得3局的运动员获

胜，并结束比赛.设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为2,乙赢的概率

3

为工

3

（1）求甲获胜的概率；

（2）设X为结束比赛所需要的局数，求随机变量X的分布列及数学期望.

27.（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到

9.50机以上（含9.50〃?）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收

集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：〃?）：

甲：9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25；

乙：9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23；

丙：9.85,9.65,9.20,9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、内的比赛成绩相互独立.

（I）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

（II）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期

望EX；

（III）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要

求证明）

28.（2021•北京）在核酸检测中，“上合1”混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一

起进行1次检测，如果这A个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的

检测结果都为阴性，检测结束：如果这4个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性,

此时需对每人再进行1次检测，得到每人的检测结果，检测结束.

现对10（）人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这IOO人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检

测.

（i）如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数：

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(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为L∙设X是检测的总次数，求X

11

的分布列与数学期望E(X).

(II)将这IOO人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设

y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证

明)

29.(2021∙新高考II)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物

为第O代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每

代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的

个数，P(.X=i')=pi(ι=0,1,2,3).

(I)已知Po=O.4,PI=O.3,p2=0.2,p3=0.1,求E∞;

(11)设P表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，P是关于X的方程：

po+pιx+pd2+p3χ3=X的一■个最小正实根，求证：当E(X)WI时，p=1,当E(X)>1

时，p<l;

(III)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

30.(2021•新高考1)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有48两类问题.每位参加比

赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学

比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，

该同学比赛结束.4类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；8类问题中的

每个问题回答正确得80分，否则得0分.

已知小明能正确回答人类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正

确回答问题的概率与回答次序无关.

(1)若小明先回答/类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

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2018-2023年高考数学真题知识点分类汇编：概率

参考答案与试题解析

一.选择题（共17小题）

1.（2022•全国）在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，则这3个数的和能

被3整除的概率是（）

A.ɪB.ɪC.ɪD.ɪ

283145

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】基本事件总数"=cj=84,1,4,7被3除余1：2,5,8被3除余2；3,6,9

刚好被3除，若要使选取的三个数字和能被3整除，则需要从每一组中选取一个数字，

或者从一组中选取三个数字，由此能求出结果.

【解答】在1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数，

基本事件总数〃=Cm=84,

∙.T,4,7被3除余1；2,5,8被3除余2；3,6,9刚好被3除，

.∙.若要使选取的三个数字和能被3整除，

则需要从每一组中选取一个数字，或者从一组中选取三个数字，

.∙.这3个数的和能被3整除的不同情况有：

C3C3C3+C3C3=3°,

.∙.这3个数的和能被3整除的概率为P=iθ=-L.

8414

故选：C.

【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.（2022∙甲卷）从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（）

A.ɪB.ɪC.2D.Z

5353

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

第6页（共28页）

【分析】根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2

张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2),(L3),(1,

4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种取法，

其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,

5),(4,6),共6种情况，

则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率尸=&=2；

155

故选：C.

【点评】本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题.

3.(2022∙乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知

该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为》，P2,必，且P3>P2>P1>O∙记该棋手连

胜两盘的概率为P，则()

A.P与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，P最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，P最大

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；数学运算；数据分析.

【分析】已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，Z错

误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连嬴两盘的概率，比较大小即可.

【解答】解：N选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以尸受比赛次

序影响，故/错误；

设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率

为P乙，棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为尸型

P甲=(1-P2)pip3+p2pi(I-P3)+(1-P3y)P∖p2+p3pI(1-P2)=2[pi(p2÷p3)-2pτp2p3],

同理可得，P乙=2.2(P1+P3)-2"P卒3]，

P丙=2∣>1P3+夕2,3-2pipM，

P丙・P甲=2pz(p3-p1)>0,P丙-P乙=2pι(p3-p2)>0,

第7页(共28页)

•••尸丙最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大.

故选：D.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率

乘法公式的灵活运用.

4.（2022•新高考I）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率

为（）

A.ɪB.ɪC.AD.2

6323

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；数学模型法；概率与统计；数学运算.

【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率

公式计算即可得到答案.

【解答】解：从2至8的7个整数中任取两个数共有c；=21种方式，

其中互质的有：23,25,27,34,35,37,38,45,47,56,57,58,67,78,共14种,

故所求概率为9=2∙

213

故选：D.

【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题.

5.（2021•全国）3位男同学与3位女同学随机排成一行，其中两端都不是女同学的概率为

（）

A.ɪB.ɪC.ɪD.ɪ

2456

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【分析】利用排列知识求得基本事件总数，再求出两端都不是女同学的事件数，然后利

用古典概型概率计算公式求解.

【解答】解：3位男同学与3位女同学随机排成一行，排法总数N=A"

其中两端都不是女同学的排法种数为A2Aj

A3A41

则其中两端都不是女同学的概率为P=-^-=1.

ʌθ5

第8页（共28页）

故选：C.

【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

6.（2021•新高考II）某物理量的测量结果服从正态分布N（10,o2）,则下列结论中不正

确的是（）

A.。越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.1）内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义对四个选项逐一分析判断即可.

【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N（10,。2）,

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差。2越小，则分布越集中，

对于。越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在（9.9,10.1）内

的概率越大，故选项《正确：

对于8,测量结果大于10的概率为0.5,故选项8正确；

对于C,由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概

率，故选项C正确；

对于。，由于概率分布是集中在10附近的，（9.9,10.2）分布在10附近的区域大于（10,

10.3）分布在10附近的区域，

故测量结果落在（9.9,10.2）内的概率大于落在（10,10.3）内的概率，故选项。错误.

故选：D.

【点评】本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义，解题的关键是利用正

态分布曲线的对称性，属于基础题.

7.（2021•乙卷）在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于工的概率

4

为（）

A.ɪB.骂C.—D,2

932329

【考点】几何概型.

第9页（共28页）

【专题】数形结合；转化法；概率与统计；数学运算.

,

0<x<l

【分析】由题意可得可行域：'ι<y<2,可得三角形的面积，结合几何概型即可得出

f

0<x<ι

【解答】解：由题意可得可行域：Iι<y<2,可得三角形的面积=工x3x3=-L

<724432

x+y±

I-X=23

3232

故选：B.

AV

2

【点评】本题考查了线性规划知识、三角形的面积、几何概型、对立事件的概率计算公

式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8.（2021•甲卷）将4个1和2个O随机排成一行，则2个O不相邻的概率为（）

A.ɪB.2C.2D.A

3535

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】分别计算出4个1和2个。随机排成一行的种数以及2个O不相邻的种数，然

后由古典概型的概率公式求解即可.

【解答】解：6个空位选2两个放0,剩余4个放1,故总的排放方法有或=15种，

利用插空法，4个1有5个位置可以放0,故排放方法有Ca=I辞中，

U

所以所求概率为也■=2.

153

第10页（共28页）

故选：C.

【点评】本题考查了古典概型概率公式的应用，排列组合的应用，对于不相邻问题，一

般会运用插空法进行求解，属于基础题.

9.(2021•甲卷)将3个1和2个O随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】先计算出3个1和2个。随机排成一行，2个0相邻的概率，再利用对立事件概

率之和等于1,即可求解.

【解答】解：将两个0捆绑在一起，进行插空，故共有A：种方法，

故2个0不相邻的概率尸=1-5=0.6.

,2.3

卜2卜3

故选：C.

【点评】本题主要考查古典概型计算公式，排列组合公式在古典概型计算中的应用，属

于基础题.

10.(2021•新高考I)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的

随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第

二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两

次取出的球的数字之和是7"，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算.

【分析】分别列出甲、乙、丙、丁可能的情况，然后根据独立事件的定义判断即可.

【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：(2,6),(3,5),(4,4),(5,

3),(6,2),

两点数和为7的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),

第11页(共28页)

p（甲）=L，p（乙）=2，p（丙）=_^=-L,p（T）=—^―=工，

666×6366×66

AzP（甲丙）=OW尸（甲）P（丙），

B-.P（甲丁）=J-=P（甲）P（丁），

36

C：P（乙丙）=」二Wp（乙）P（丙），

36

D：P（丙丁）=0≠P（丙）P（T）.

故选：B.

【点评】本题考查相互独立事件的应用，要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，

属于中档题.

11.（2021•乙卷）在区间（0,ɪ）随机取1个数，则取到的数小于工的概率为（）

23

A.3B.2C.ɪD.ɪ

4336

【考点】几何概型.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计：数学运算.

【分析】我们分别计算出区间（0,ɪ）和（O,ɪ）的长度，代入几何概型概率计算公

23

式，即可得到答案.

【解答】解：由于试验的全部结果构成的区域长度为工-0=工，

22

构成该事件的区域长度为工-0=1,

33

ɪ

所以取到的数小于工的概率P=W-=2.

3ɪ3

2

故选：B.

【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，其中根据已知条件计算出基本事件总数对

应的几何量的大小，和满足条件的几何量的大小是解答本题的关键，属基础题.

12.（2020∙全国）从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的

概率是（）

A.ɪB.ɪC.2D.ɪ

51055

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

第12页（共28页）

【分析】根据组合数公式，计数原理，古典概率的概率公式即可求解.

【解答】解：从写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任选2张共有Ca=Io个结果，

O

而2张卡片上的数字和为偶数的条件为2个奇数或2个偶数，

.∙.2张卡片上的数字和为偶数包含c"cg=4个结果，

Λ2张卡片上的数字和为偶数的概率是—丸=2.

105

故选：C.

【点评】本题考查古典概率的概率公式，组合数公式及计数原理，属基础题.

13.（2020•新课标1）设。为正方形/8。的中心，在。，A,B,C,。中任取3点，则

取到的3点共线的概率为（）

A.ɪB.2C.ɪD.A

5525

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】根据古典概率公式即可求出.

【解答】解：O,A,B,C,。中任取3点，jft⅛OAB,OAC,OAD,OBC,OBD,OCD,

ABC,ABD,ACD,8CA十种，

其中共线为4O,C和8,O,。两种，

故取到的3点共线的概率为尸=2=工，

105

故选：A.

【点评】本题考查了古典概型概率问题，属于基础题.

14∙（2020∙新课标∏）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成

1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊

跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超

过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积

压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者（）

A.10名B.18名C.24名D.32名

【考点】等可能事件和等可能事件的概率.

【专题】计算题；对应思想；定义法；概率与统计：数学运算.

第13页（共28页）

【分析】由题意可得至少需要志愿者为160°+500-1200=i8名.

50

【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,就按1600份计算，

第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按2100份计算，

因为公司可以完成配货120（）份订单，则至少需要志愿者为1600+500-1200=18名,

50

故选：B.

【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题.

15.（2019•全国）在RtZ∖ZBC中，AB=BC,在8C边上随机取点P,则NA4P<30°的概

率为（）

A4B∙4c∙iD∙4

【考点】几何概型.

【专题】计算题；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】我们要根据已知条件，动点尸到定点B的距离|尸8|对应线段的长度，代入几何

概型计算公式即可求出答案.

【解答】解:

在RtZ∖∕8C中，AB=BC,RtZ∖∕8C为等腰直角三角形，令/B=BC=I,则：/C=&；

在BC边上随机取点P,当N8∕P=30°时，SP=tan30o=近，

3

在BC边上随机取点P,则N8∕P<30°的概率为：P=上巳=退，

BC3

【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等,

而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关.解决的步骤均为：求

出满足条件/的基本事件对应的“几何度量"N（A）,再求出总的基本事件对应的“几

何度量”N,最后根据尸=IL”求解.属于基础题.

N

第14页（共28页）

16.(2019•浙江)设0<α<l.随机变量X的分布列是

X0a1

P__ɪ____ɪɪ____ɪɪ__

则当。在(0,1)内增大时，()

A.D(X)增大B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大

【考点】离散型随机变量及其分布列.

【专题】转化思想；数学模型法；概率与统计；逻辑推理.

【分析】方差公式结合二次函数的单调性可得结果

【解答】解：E(X)=0X∙l+αX∙λ+lX工=史工，

3333

D(X)=(.≥tl)2×A+(a-2×A+(1-2χL

333333

(a+l)2+(2α-1)2+Ca-2)2]--Ca2-a+∖)――(a-―)2+-

279926

V0<α<l,：.D(X)先减小后增大

故选：D.

【点评】本题考查方差的求法，利用二次函数的单调性是关键，考查推理能力与计算能

力，是中档题.

17.(2019•新课标川)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是

()

A.ɪB.ɪC.AD.ɪ

6432

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】排列组合.

【分析】利用古典概型求概率原理，首先用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列

找出分子，再

全部排列找到分母，可得到答案.

【解答】解：方法一：用捆绑法将两女生捆绑在一起作为一个人排列，有/3342=12种

排法，

4

再所有的4个人全排列有：A4=24种排法，

第15页(共28页)

利用古典概型求概率原理得：p=12=工，

242

方法二：假设两位男同学为/、B,两位女同学为°、D,所有的排列情况有24种，如下:

(ABCD)(ABDC)(ACBD)(ACDB)(ADCB)(ADBC)

(BACD)(BADC)(BCAD)(BCDA)(BDAC)(BDCA)

(CABD)(CADB)(CBAD)(CBDA)(CDAB)(CDBA)

(DABC)(DACB)(DBAC)(DBCA)(DCAB)(DCBA)

其中两位女同学相邻的情况有12种，分别为(ABCD).(ABDC).(ACDB).(ADCB).

(BACD)、(BADC)、(BCDA),(BDCA).(CDAB),CCDBA\(DCAB×(DCBA),

故两位女同学相邻的概率是：p=22=工，

242

故选：D.

【点评】本题考查排列组合的综合应用.考查古典概型的计算.

二.填空题(共7小题)

18.(2023•上海)已知事件Z的对立事件为\若P(4)=0.5,则P(I)=0.5.

【考点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算.

【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解.

【解答】解：事件N的对立事件为仄，

若尸(Z)=0.5,则尸(A)=1-0.5=0.5.

故答案为：0.5.

【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

19.(2023•上海)为了学习宣传党的二十大精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已知有

4名男生，6名女生，从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为0.5.

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】对应思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据古典概型求解即可.

【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为c；O=孚畏*=120，

恰有1名男生2名女生的事件个数为c1c,4X∙p*^=6C>,

第16页(共28页)

则恰有1名男生2名女生的概率为ɪɪo5,

120

故答案为：0.5.

【点评】略

20.(2022•天津)52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到/的概率

为_工_;已知第一次抽到的是/,则第二次抽取/的概率为

22117

【考点】条件概率与独立事件.

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到力的概率，再由条件概率的公式即

可求得在第一次抽到Z的条件下，第二次抽到Z的概率.

【解答】解：由题意，设第一次抽到/的事件为8,第二次抽到/的事件为C,

则P(BC)P(S)=-⅛-=-l-,

52512215213

1

-P(BC)_22j^_1

：.P(CI8)

P(B)_L^17,

13

11

221'^17'

【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于基础题.

21∙(2022∙上海)为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共

8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的概率为_3_.

7

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算.

【分析】由题意，利用古典概率的计算公式，计算求得结果.

【解答】解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检

测，

则每一类都被抽到的方法共有C；・C：・C：+C；种，

而所有的抽取方法共有CW种，

小c；Y303

故每一类都被抽到的概率为

c8而T

第17页(共28页)

故答案为：—

7

【点评】本题主要考查古典概率及其计算公式的应用，属于基础题.

22.(2022•浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随

机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为"则尸聂=2)=_迫E(P

357

【考点】离散型随机变量的期望与方差.

【专题】分类讨论；转化思想；综合