第6章：空间向量与立体几何 章末检测试卷（解析版）

第6章：空间向量与立体几何章末检测一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知空间向量，，则下列向量中，使能构成空间的一个基底的向量是（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】A选项，设，即，所以，解得，，此时不能构成基底.B选项，，此时不能构成基底.C选项，，设，即，，此方程组无解，故此时能构成基底.D选项，，此时不能构成基底.故选：C2．（2021秋·北京·高二北师大实验中学校考期中）在空间直角坐标系中，已知点下列叙述中正确的是（）①点关于轴的对称点是②点关于平面的对称点是③点关于轴的对称点是④点关于原点的对称点是A．①②B．①③C．②④D．②③【答案】C【解析】点关于轴的对称点的坐标是，，，故①错误；点关于平面的对称点的坐标是，，，则②正确；点关于轴的对称点的坐标是，，，则③错误；点关于原点的对称点的坐标是，，，故④正确，故正确的命题的序号是②④，故选：C.3．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）若直线的方向向量分别为，则（）A．B．C．相交但不垂直D．平行或重合【答案】B【解析】由题意∵，∴，∴.故选：B.4．（2021秋·吉林白城·高二校考阶段练习）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系.，，，，，，设异面直线与所成角为，，，异面直线与所成角的大小是.故选：C.5．（2021秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）如图，平行六面体，其中，，，，，，则的长为（）A．B．C．D．10【答案】C【解析】，故，故.故选：C6．（2022秋·河南周口·高二统考期中）如图，平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.7．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设正方体的棱长为2，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量，则，取，得，所以，因为，所以在上单调递减，且，由复合函数单调性可知单调递增，所以在是严格减函数，所以时，取最小值，时，取最大值．所以的取值范围是．故选：C．8．（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）如图，是棱长为1的正方体，若P∈平面BDE，且满足，则P到AB的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，以点A为原点，分别为轴建立空间坐标系，,则，则,，，，设平面的一个法向量，则，令，则，且面，则，即，得，故，所以，，，则，P到AB的距离为.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知空间向量，则下列选项中正确的是（）A．当时，B．当时，C．当时，D．当时，【答案】ABD【解析】对于A，因为，，所以，解得，故A正确；对于B，因为，所以存在，使得，则，即，解得，故B正确；对于C，因为，所以，解得，故C错误；对于D，因为，则，所以，故D正确．故选：ABD.10．（2022秋·山东济宁·高二校考阶段练习）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）A．，，可以为任意向量B．对空间任一向量，存在唯一有序实数组，使C．若，，则D．可以作为构成空间的一组基底【答案】BD【解析】对于，因为是空间的一组基底，所以，，为不共线的非零向量，故选项错误；对于，由向量基本定理可知：空间任一向量，存在唯一有序实数组，使，故选项正确；对于，若，，则不一定垂直，故选项错误；对于，假设不能构成基底，则存在实数和使得成立，即，所以，方程组无解，故不共线，所以可以构成基底，故选项正确，故选：.11．（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）如图所示，平行六面体中，，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且，则下列结论正确的是（）A．B．平面C．D．【答案】ABC【解析】设，如图，则，，故，对于A，，，A正确；对于B，连接，设，连接，则由平行六面体可知，,，∴四边形是平行四边形，所以，∵平面，平面，∴平面，故B正确﹔对于C，，故，C正确；对于D，，故故不垂直，故D错误，故选：．12．（2023秋·湖北恩施·高二校联考期末）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（）A．当时，平面B．当时，存在唯一的点，使得与直线的夹角为C．当时，长度的最小值为D．当时，与平面所成的角不可能为【答案】ACD【解析】A选项：当时，的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确；B选项：当时，点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误；C选项：当时，点轨迹为线段，到线段的距离为，长度的最小值为．故C正确；D选项：当时，点轨迹为线段，过点做垂直平面于点，则在线段上，为直线与平面所成角，若，则，又点到线段上点的最小距离为，不存在，所以与平面所成角不可能为，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022秋·湖南怀化·高二校考期中）向量，若，且，则的值为__________.【答案】【解析】因为，，所以，解得，又因为，，所以，解得，所以.14．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知向量，，则在上的投影数量为_______【答案】【解析】，则在上的投影数量为.15．（2022春·江苏常州·高二校考阶段练习）向量，，，且，，则______.【答案】【解析】因，，而，则有，解得，即又，且，则有，解得，即，于是得，，所以.16．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且，，，则______.【答案】【解析】所以，所以.四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022秋·湖南怀化·高二校考期中）如图，在平行六面体中，，且，（1）试用表示向量.（2）若，，，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）即，∴.18．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在长方体中，，，E为中点．（1）证明：；（2）求DE与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）DE与平面所成角的正弦值为.【解析】（1）由已知两两垂直，以为轴正方向建立空间直角坐标系因为，，E为中点．所以，所以，所以，所以，所以（2）由（1），设平面的法向量为，则，故，取，则，所以为平面的一个法向量，设直线DE与平面所成角为，则，所以DE与平面所成角的正弦值为.19．（2021秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，底面ABC，，点D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，，.（1）求证：平面BDE；（2）求直线MN到平面BDE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）因为底面ABC，底面ABC，所以且，所以以为原点，所在直线为轴建系如图，因为，，D、E分别为棱PA，PC的中点，M是线段AD的中点，N是线段BC的中点，所以,设平面的法向量为，所以所以，令，则，因为，平面BDE，所以平面BDE.（2）,直线MN到平面BDE的距离即为在平面BDE法向量上的投影，设与的夹角为，则有所以，所以直线MN到平面BDE的距离为.20．（2022春·辽宁·高二统考学业考试）如图所示，在四棱锥，面，底面为正方形．（1）求证：面；（2）已知，在棱上是否存在一点，使面，如果存在请确定点的位置，并写出证明过程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为线段的中点时，面，理由见解析【解析】（1）在四棱锥中，面，面，面，∴，，在正方形中，，∵面，面,面，，∴面（2）建立空间直角坐标系如下图所示：设，则∴，，，，∴，在面中，，，设面的一个法向量为，∴即，解得，当时，，即，若面，则，∴，解得：，∴，∴当点为线段的中点时，面.21．（2023秋·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期末）在平面五边形中（如图1），是梯形，，，，，是等边三角形.现将沿折起，连接，得四棱锥（如图2）且.（1）求证：平面平面；（2）在棱上有点，满足，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）在图1中，取的中点，连，依题意得，，如图：则，，折叠后，在图2中，，如图：在中，，，，所以，所以，由，，，平面，平面，得平面，又平面，所以平面平面。（2）由（1）可知，两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，，，因为，所以，所以，所以，取平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，得，令，得，得，所以，由图形可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.22．（2022春·江苏常州·高二校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，、分别为和的中点，为棱上的动点.（1）是否存在点使平面？若存在，求出满足条件时的长度，若不存在，请说明理由；（2）当为何值时，平面与平面所成锐二面角的正弦值最