第2课（A基础）等比数列（解析版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第2课：等比数列教学目标1、理解等比数列的概念；2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项；3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列；4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用；5、会求无穷等比数列前n项和的极限；6、等比数列综合运用.重点1、理解等比数列的概念；2、理解公比的概念并会求公比，掌握等比中项的概念并会求等比中项；3、掌握等比数列通项公式及其求法，并会判断数列是否是等比数列；4、熟练掌握等比数列前n项和公式以及相关运用；5、会求无穷等比数列前n项和的极限；6、等比数列综合运用.难点等比数列综合运用.（一）等比数列及其通项公式知识梳理1、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列叫做等比数列，而这个表示每一项与其前一项的比的常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.数学语言：或.注：公比时，数列是常数列.2、等比中项根据等比数列的定义，有,从而，即或（同号），在这两种情形下，成等比数列，此时叫做与的等比中项。【注释】【注释】①如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方必等于其前后两项的积；②同号的两个数才有等比中项，且它们的等比中项有两个；③是与的等比中项，，成等比数列.3、通项公式，，为正整数4、等比数列的判定方法（1）定义法：（为正整数，是常数）或是等比数列。（2）中项法：(为正整数)且是等比数列。（3）通项公式法：是等比数列。例题精讲【例1】有下列4个说法：①等比数列的某一项可以为0；②等比数列的公比取值范围是；③若，则，，成等比数列；④若一个常数列是等比数列，则这个数列的公比是1．其中正确说法的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【难度】★★【答案】【解析】解：等比数列的每一项不能为0，故①错误；等比数列的公比，故②错误；若，取，满足条件，则，，不成等比数列，故③错误；④若一个常数列是等比数列，则，故这个数列的公比是1，④正确；故选：．【例2】如果，，，，成等比数列，那么A．， B．， C．， D．，【难度】★★★【答案】【解析】解：，，，，成等比数列，设公比为，则，．，，故选：．【例3】在等比数列中．（1）已知，，求；（2）在等比数列中，，，则____________．（3），，则____________．（4）等比数列中，，，则公比____________．（5）设是正项等比数列，且，，则的通项公式为____________．【难度】★★★【答案】见解析【解析】解：设等比数列的公比为．，，，，即，，化为：，解得，．，，，，或8．（2）由，，可得：，，解得，．则．故答案为：128．（3），，，，．，则．故答案为：．（4）等比数列中，，，则公比．故答案为：2．（5）是正项等比数列，且，，则，即，解得，（舍去），，故答案为：，．【例4】若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第____________组．（写出所有符合要求的组号）①与；②与；③与；④与．（其中为大于1的整数，为的前项和．【难度】★★★【答案】①④【解析】解：（1）由和，可知和．由可得公比，故能确定数列是该数列的“基本量”，故①对；（2）由与，设其公比为，首项为，可得，，，，；满足条件的可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量，②不对；（3）由与，可得，当为奇数时，可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量．（4）由与由，故数列能够确定，是数列的一个基本量；故答案为：①④．【例5】已知数列的通项公式，判断它是否为等比数列．（1）；（2）；（3）；（4）．【难度】★★【答案】见解析【解析】解：（1），故是以3为公比的等比数列；（2），故是以8为公比的等比数列；（3）故是以为公比的等比数列；（4）该数列不是等比数列．【例6】已知数列、都是项数相同的等比数列，判断下列数列是等比数列是____________．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．【难度】★★★【答案】①②③⑦⑧⑩【解析】解：设数列、的公比分别为，，则①当时，为常数，故数列为等比数列；②当时，为常数，故为等比数列；③当时，为常数，故数列为等比数列；④若，则不是等比数列，若，则是等比数列；⑤当时，数列不是等比数列；⑥若，满足数列是等比数列，但．则数列不一定是等比数列；⑦是公比为的等比数列，⑧是公比的等比数列；⑨不是等比数列；⑩是公比为的等比数列，故答案为：①②③⑦⑧⑩巩固训练 1、如果数列是等比数列，且，，则数列是（）A．等比数列 B．等差数列C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列【难度】★★【答案】【解析】设，则，则，则数列是等差数列，公差为故答案选2、等比数列中，，，，则（）A．3 B．4 C．5 D．6【难度】★★【答案】【解析】等比数列中，，，，∴，∴，n−1=3，n=4；.故选：.3、若等比数列满足，则其公比为（）A． B． C． D．【难度】★★【答案】【解析】解：设等比数列公比为，又等比数列满足，.故选：.4、已知等比数列中，，，则该数列的通项____________．【难度】★★【答案】，【解析】解：由题得，，∴，.5、在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（）A．6 B．5 C．-6 D．-5【难度】★★★【答案】【解析】各项均为正数的等比数列中，，，

.故答案选：、已知中，三内角依次成等差数列，三边依次成等比数列，则是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形【难度】★★★【答案】【解析】中，三内角依次成等差数列，则，因为，则，三边依次成等比数列，则，由余弦定理可得，代入可得化简可得，即，而，由等边三角形判定定理可知为等边三角形，故选：.7、若是等比数列，下列结论中不正确的是A．一定是等比数列 B．一定是等比数列 C．一定是等比数列 D．一定是等比数列【难度】★★★【答案】【解析】解：设等比数列的公比为，则为常数，所以一定是等比数列，正确．为常数，所以一定为等比数列；正确．当时，有，此时是每一项均为0的等比数列；错误．为常数，所以一定为等比数列，正确．故选：．（二）等比数列前n项和知识梳理1、等比数列的前项和公式前项和公式：或。注：若，则前项和可假设为：2、无穷等比数列的前项和的极限以为首项的无穷等比数列，当公比时，有例题精讲【例7】（1）已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则____________．【难度】★★【答案】93．【解析】解：设等正项比数列的公比为，由，得，又，则，解得或（舍去），所以．故答案为：93．（2）已知正项等比数列的前项和为，且，则____________．【难度】★★【答案】．【解析】解：设等比数列的公比为，由，得，解得或（舍去），则，所以．故答案为：．（3）已知等比数列的前项和为，且，，则____________．【难度】★★【答案】120．【解析】解：等比数列的前项和为，，，，成等比数列，，即，解得，，即，解得．故答案为：120．（4）是等比数列的前项和，若，则____________．【难度】★★★【答案】．【解析】解：当时，，当时，，当时，，由等比数列的中项性质可得，即，解得或0（舍去）．故答案为：．【例8】（1）已知等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，则____________．【难度】★★【答案】3．【解析】解：等比数列的首项为2，公比为，其前项和记为，则．故答案为：3．（2）等比数列的通项公式为，且存在，则实数的取值范围是____________．【难度】★★★【答案】，．【解析】解：等比数列的通项公式为，且存在，可得，，解得，，故答案为：，．（3）循环小数化为最简分数，则____________.【难度】★★★【答案】51712【解析】循环小数化为最简分数，∴，设，则，解得，∴，，∴.故答案为：51712.（4）如图，已知正的边长是1，面积是，取各边的中点、、，的面积为，再取各边的中点、、的面积为，以此类推…，求所有三角形的面积和.【难度】★★★★【答案】【解析】解：由图可知，记三角形的面积为，由题意有，，即是以为首项，为公比的等比数列，又因为，由无穷等比数列所有项的和的公式有所有三角形的面积和为，故所有三角形的面积和为.巩固训练 1、无穷等比数列的通项公式为，则其所有项的和为__________．【难度】★★【答案】2【解析】由，得，，，.故答案为：.2、在无穷等比数列中，若，则的取值范围是________.【难度】★★★【答案】【解析】设等比数列的公比为，则其前项和为：，若时，，若时，，因此且，，即，所以当时，；当时，.因此，的取值范围是.故答案为：3、将无限循环小数化为分数，则所得最简分数为____________.【难度】★★★【答案】【解析】设，则，由可知，解得.故答案为：.4、如图，由编号，，…，，…（且）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为，则所有圆柱的体积的和为_______________（结果保留）．【难度】★★★★【答案】【解析】由于圆柱都是等边圆柱,体积比等于相似比的立方,编号的体积是:

由编号，，…，，…（且的圆柱自下而上组成,体积是一个等比数列,公比为；由无穷递缩等比数列求和公式可得，所有圆柱的体积的和为.故答案为.（三）等比数列综合知识梳理1、等比数列的性质:（1）若是等比数列，且，则，特别地，当时，.（2）数列为等比数列，则数列（为非零常数）为等比数列.（3）数列为等比数列，每隔（正整数）项取出一项仍为等比数列.（4）如果是各项均为正数的等比数列，则数列是等差数列.（5）若为等比数列，则数列成等比数列.（6）当时，，则为递增数列，，则为递减数列.当时，，则为递减数列，，则为递增数列.当时，则为常数列；当时，该数列为摆动数列.在等比数列中，当项数为时，若是公比为的等比数列，则2、等差与等比的互变关系：（1）成等差数列成等比数列；（2）成等差数列成等差数列；（3）成等比数列（）成等差数列；（4）成等比数列成等比数列；例题精讲【例9】“”是“，，，成等比数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【难度】★★★【答案】【解析】解：根据题意，若“”，不一定有“，，，成等比数列”，如时，反之，若“，，，成等比数列”，必有“”，则“”是“，，，成等比数列”的必要不充分条件，故选：．【例10】已知等比数列的公比，其前项的和为，则与的大小关系是A． B． C． D．【难度】★★★【答案】【解析】解：故选：．【例11】设无穷等比数列，则“”是“为递减数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【难度】★★★【答案】【解析】解：因为无穷等比数列，，所以公比满足，所以有，即为递减数列；而无穷等比数列如果是递减数列，它的第一项和第二项可以为负，如，所有不一定可以得到，所以“”是“为递减数列”的充分而不必要条件，故选：．【例12】已知数列，均为正项等比数列，，分别为数列，的前项积，且，则的值为____________．【难度】★★★【答案】【解析】解：数列，均为正项等比数列，它们的公比分别为、，，分别为数列，的前项积，，，，解得，；由，，解得，；，则，故答案为：【例13】已知正项等比数列满足：，，若存在两项，使得，则的最小值为A． B． C． D．【难度】★★★【答案】【解析】解：，，，，，，正项等比数列，，，，，，，，，当且仅当，即，时取等号，故选：．【例14】已知等差数列，其前项的和为，则下列结论不正确的是A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．若，，则 D．若，，则【难度】★★★【答案】【解析】解：设等差数列的公差为，对于，则，则，故数列为等差数列，故正确；对于，则数列为等比数列，故正确；对于，，，则，，则，故正确；对于，，，解得，，，故不正确；故选：．【15】设数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列．已知，，．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和．【难度】★★★【答案】（1），；（2）．【解析】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，得，即，解得，，又，，则；（2）由（1）得，，则，可得，两式作差可得：，因此，．巩固训练 1、数列是正项等比数列，是等差数列，且，则有（）A． B．C． D．与大小不确定【难度】★★★【答案】【解析】因为数列是正项等比数列，所以，当且仅当时等号成立，又因为是等差数列，所以，所以，即.2、在正项等比数列中，和为方程的两根，则()A．16 B．32 C．64 D．256【难度】★★★【答案】【解析】因为a1和a19为方程x2﹣10x+16＝0的两根，所以a1•a19＝a102＝16，又此等比数列为正项数列，解得：a10＝4，则a8•a10•a12＝（a8•a12）•a10＝a103＝43＝64．故选项为：.3、已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（）A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有【难度】★★★【答案】【解析】A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；D：当时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.故答案选4、已知数列的前项的乘积为，若，则当最大时，正整数___________．【难度】★★★【答案】3【解析】因为，所以当时，所以当n=3时取得最大5、已知数列，，且对于任意的都有，则实数的取值范围是______.【难度】★★★★【答案】【解析】，则：6、已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【难度】★★★【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设等比数列的公比为，有，解得，，所以；（2）由（1）知，有，从而.实战演练实战演练一．填空题（共6小题）1、已知等比数列的公比且则________.【难度】★★【答案】【解析】解：等比数列的公比，.故答案为:2、在等比数列的值为____________.【难度】★★【答案】【解析】解：根据等比数列的性质得到a3a5a7a9a11＝a75＝243；∴a7＝3，而根据等比数列的性质得到，∴＝a7＝3.3、已知数列的各项均为正数，且，则__________.【难度】★★【答案】9【解析】解：由可得：，即，因为，所以，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以.故答案为：94、在递增等比数列中，是其前项和，若，，则_________.【难度】★★【答案】【解析】是等比数列，所以有，，因为是递增等比数列，解得，，所以，得或（舍），，所以．5、若首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，则的值为_____________．【难度】★★★【答案】．【解析】解：首项为1、公比为的无穷等比数列的各项和为，表示该数列的前项和，，，所以．故答案为：．6、设数列的前项和为，且满足，则使，成立的的最大值为____________．【难度】★★★【答案】3【解析】解：，当时，，即，故；当时，两式相减得.故数列为首项为，公比为的等比数列，可得，，当时，，即也符合，故数列的通项公式为：，故；由，可得，整理可得：，即可得，故的最大值为：.二．选择题（共4小题） 7、等比数列的各项都为正数，且，等于（）A． B． C． D．【难度】★★【答案】【解析】解：由题,因为,即,所以,故选：．8、若是一个等比数列的前项和，，，则等于（）A． B． C． D．【难度】★★【答案】【解析】由题意可知，、、成等比数列，即、、成等比数列，所以，，解得，故选D.9、关于数列,给出下列命题：①数列满足,则数列为公比为2的等比数列；②“,的等比中项为”是“”的充分不必要条件：③数列是公比为的等比数列,则其前项和；④等比数列的前项